數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下比值審斂法的課堂教學(xué)實踐

趙建昕 毛俊超 李長文

[摘要]論文分析了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵、構(gòu)成要素以及其行為表現(xiàn)，比較了傳統(tǒng)的課堂教學(xué)與數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)的不同，概括出數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)的三個主要特征：一是重視培養(yǎng)觀念成分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)中的整體現(xiàn)素養(yǎng)，加強知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性，引導(dǎo)學(xué)生從整體性上認識數(shù)學(xué)的內(nèi)容;二是重視知識成分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)中的關(guān)聯(lián)性和策略性知識教學(xué)，加強數(shù)學(xué)的思想性教學(xué)和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng);三是重視精神成分的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的文化價值，加強數(shù)學(xué)教育的育人性。論文以此為指導(dǎo)，對正項級數(shù)的比值審斂法的課堂教學(xué)進行了教學(xué)設(shè)計，突出了該次教學(xué)內(nèi)容中蘊含的化歸和類比數(shù)學(xué)思想方法以及辯證思維的設(shè)計，收到了滿意的教學(xué)效果。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)素養(yǎng);比值審斂法;數(shù)學(xué)思想方法;辯證思維;數(shù)學(xué)文化

[中圖分類號]G642.0

[文獻標(biāo)識碼]A

[文章編號]2095-3437（2020）03-0086-03

數(shù)學(xué)兼具理科和文科的特質(zhì)，這是其不同于其他學(xué)科的獨有特點。抽象、邏輯性強等特點賦予了數(shù)學(xué)難學(xué)的標(biāo)簽，應(yīng)用廣泛、基礎(chǔ)性特點又賦予了她工具的美譽。正是其后者被過于看重，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中出現(xiàn)了偏重于數(shù)學(xué)計算和數(shù)學(xué)應(yīng)用的教育觀念，這種觀念下的教學(xué)必然將數(shù)學(xué)本身對人的價值觀、世界觀等的文化教育作用置若罔聞，忽視了數(shù)學(xué)抽象、邏輯性強對人的思維方面的訓(xùn)練作用，忽視了數(shù)學(xué)對人的思想品質(zhì)形成的教育價值。當(dāng)然，隨著教育界對數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)回歸，越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者嘗試在數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中轉(zhuǎn)變觀念，并在教學(xué)中不斷實踐數(shù)學(xué)教育的雙重性即工具性和教育性。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)是近幾年出現(xiàn)的數(shù)學(xué)教育的名詞，代表著數(shù)學(xué)教育的新觀念和發(fā)展方向。如何在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)？除了需要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，更需要對該觀念下的數(shù)學(xué)課堂有清晰的認識和界定。筆者在已有研究的基礎(chǔ)上，就數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵和數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)的主要特征進行了研究，并結(jié)合近幾年的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)經(jīng)驗，探討正項級數(shù)比值審斂法的課堂教學(xué)實踐。

一、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵和構(gòu)成要素目前學(xué)界并沒有形成統(tǒng)一的、清晰的描述。文獻[1]認為數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀、數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)能力的綜合體現(xiàn)。文獻[2]認為數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指經(jīng)過數(shù)學(xué)教育和實踐發(fā)展起來的參加社會生活、經(jīng)濟活動、生產(chǎn)實踐和個人決策所需的數(shù)學(xué)知識、技能、方法和能力，包括理解數(shù)學(xué)與社會的關(guān)系，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)以及形成數(shù)學(xué)的情感態(tài)度和價值觀等。其基本的含義是指學(xué)生能夠合理地將所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識運用到社會及個人生活中。文獻[3]認為數(shù)學(xué)素養(yǎng)是人們認識世界的一種數(shù)學(xué)特質(zhì)，屬于認識論和方法論的綜合性思維范疇，它具有概念化、抽象化、模式化的認識特征。它是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)形成數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，運用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題所獲得的特質(zhì)和修養(yǎng)，是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價值觀的綜合體。這三個文獻的共同點就是認為數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價值觀的綜合體，是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)起來的。文獻認為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的構(gòu)成要素包含數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀，其中數(shù)學(xué)情感態(tài)度價值觀包括對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有自信心，認識到數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值，能感受到數(shù)學(xué)的精確性、抽象性、概括性、應(yīng)用性、對稱性、統(tǒng)一性等。這為如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中落實數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)明確了教育的具體內(nèi)容。

綜上可見，與傳統(tǒng)的課堂教學(xué)相比，數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)應(yīng)包含數(shù)學(xué)知識成分、觀念成分和精神成分的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。具體而言，數(shù)學(xué)知識成分的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育應(yīng)突出數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)性和策略性知識，加強數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。觀念成分的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育應(yīng)重視知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性，引導(dǎo)學(xué)生從全局上考慮問題，從整體性上認識數(shù)學(xué)的內(nèi)容。精神成分的數(shù)學(xué)素養(yǎng)培育除了要豐富高層次的人文精神素養(yǎng)之外，還要孕育理性、求實、創(chuàng)新的科學(xué)精神素養(yǎng)，體現(xiàn)育人性。

二、數(shù)學(xué)素養(yǎng)理念下的課堂教學(xué)特征

與傳統(tǒng)的課堂教學(xué)相比，數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)概括起來應(yīng)突出以下三個方面。

（一）重視培養(yǎng)觀念成分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)中的整體現(xiàn)素養(yǎng)，加強知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性，引導(dǎo)學(xué)生從整體性上認識數(shù)學(xué)的內(nèi)容

數(shù)學(xué)作為一門具有抽象性、邏輯性和應(yīng)用性的學(xué)科，有著嚴(yán)密的科學(xué)體系和結(jié)構(gòu)。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認為學(xué)習(xí)的過程實質(zhì)上是學(xué)習(xí)者在一定的外界環(huán)境下，在其原有認知結(jié)構(gòu)上進行意義的自我建構(gòu)的過程，即個體掌握知識的過程就是在大腦中建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)的過程?？梢?，個體的知識結(jié)構(gòu)系統(tǒng)越有序就越有利于檢索和利用，檢索的時間越短利用的效率就越高。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)重視加強學(xué)生知識的系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，使新舊知識、相關(guān)知識之間的關(guān)系清晰明確，讓學(xué)生能夠形成層次累積的認知結(jié)構(gòu)，以提高知識的可分辨性和可利用性。

（二）重視知識成分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)中的關(guān)聯(lián)性和策略性知識教學(xué)，加強數(shù)學(xué)的思想性教學(xué)和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)的每個概念、知識點的產(chǎn)生，無不是充滿了數(shù)學(xué)家的聰明才智、智慧和創(chuàng)新，無不是蘊含著各類和各層次數(shù)學(xué)思想方法，有學(xué)科的具體思想方法如微積分中的微元法，也有歸納和演繹的較一般的思想方法，甚至還有量變與質(zhì)變的哲學(xué)思想方法如定積分的概念。因此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師在知識傳授和技能訓(xùn)練的同時，要有意識、有計劃、有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法，以提升學(xué)生的思維能力。要注重數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的過程、遇到的困難以及生成知識的思維啟迪，引導(dǎo)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)問題的生成過程、問題解決的思維過程以及方法的思考過程等。

（三）重視精神成分?jǐn)?shù)學(xué)素養(yǎng)中的文化價值，加強數(shù)學(xué)教育的育人性

數(shù)學(xué)除了具有工具性和基礎(chǔ)性作用之外，還有育人功能，具體體現(xiàn)在其理性求知、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、普遍的思想方法和語言以及獨特的審美價值等方面。這是數(shù)學(xué)學(xué)科的隱性教育功能，對于學(xué)生形成良好的心智模式意義重大。這就要求數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)有一個不同于傳統(tǒng)科學(xué)主義數(shù)學(xué)觀的新認識，克服單一的和唯科學(xué)主義的數(shù)學(xué)觀的影響。要意識到數(shù)學(xué)具有豐富的文化和人文內(nèi)涵，要有一定的人文和社會科學(xué)知識，要知道數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的應(yīng)用，要了解數(shù)學(xué)在人文、社會科學(xué)中的價值。

三、數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)實踐

筆者以正項級數(shù)比值審斂法為例來探討數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下的課堂教學(xué)，以下是這種課堂教學(xué)設(shè)計的思路。

（一）定準(zhǔn)比值審斂法的地位，構(gòu)建系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)

級數(shù)理論是研究函數(shù)的重要工具，其中級數(shù)的斂散性是理論中的第一個重要概念。正項級數(shù)是一類特殊的級數(shù)，其斂散性是一般數(shù)項級數(shù)和冪級數(shù)斂散性判定的基礎(chǔ)，而正項級數(shù)比值審斂法是正項級數(shù)斂散性判定的重要方法，它回避了比值審斂法需要構(gòu)造一個參考級數(shù)的困難，是利用自身的一般項特點構(gòu)建的一種正項級數(shù)斂散性的判別方法。

（二）注重比值審斂法的形式演繹證明，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)語言

數(shù)學(xué)是一門科學(xué)的語言，是數(shù)學(xué)知識的載體。具有通用、簡捷、準(zhǔn)確特點的數(shù)學(xué)語言是人類共同交流的工具之一，包含敘述語言、符號語言和圖形語言。比值審斂法判定方法的嚴(yán)格論證和對概念的精確表述利用了敘述語言和數(shù)學(xué)特有的ε-N語言，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念間的邏輯敘述，使學(xué)生體會到邏輯化數(shù)學(xué)思維的獨特魅力，逐步實現(xiàn)由學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言到運用數(shù)學(xué)語言表達和提高解決相關(guān)實際問題的能力。

（三）板演比值審斂法的例題，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)基本技能

掌握正項級數(shù)的比值審斂法是高等院校數(shù)學(xué)教學(xué)大綱的基本要求。因此，教師在授課過程中，要為了讓學(xué)生能夠全面掌握比值審斂法的使用條件、適合解決的類型和不足等幾個方面的內(nèi)容來設(shè)置例題，使學(xué)生真正掌握比值審斂法，實現(xiàn)提高相關(guān)基本技能的教學(xué)目標(biāo)。

（五）解讀比值審斂法的結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維

數(shù)學(xué)哲理性知識蘊含于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識體系之中，是具有哲學(xué)思想和哲學(xué)意義的數(shù)學(xué)知識，往往是表現(xiàn)數(shù)學(xué)思想最深邃的內(nèi)容，因而也是教學(xué)最難挖掘的知識。數(shù)學(xué)哲理性知識是聚焦數(shù)學(xué)思維與哲學(xué)思維的結(jié)點，挖掘數(shù)學(xué)哲理性知識的數(shù)學(xué)活動過程本身具有極好的思維訓(xùn)練價值，特別是對其間所使用的那些數(shù)學(xué)思想方法的哲學(xué)思考更富有文化教養(yǎng)功能。

比值審斂法的結(jié)論，可歸結(jié)為下表。

其二，隨著ρ值的變化，正項級數(shù)的性質(zhì)發(fā)生了變化，這是哲學(xué)中量變與質(zhì)變的辯證思維，ρ=1是邊界點。

其三，在上述兩點認識的基礎(chǔ)上，在級數(shù)的混雜區(qū)，鄰項比值極限構(gòu)造的分類器，當(dāng)ρ從1的左側(cè)趨向于1時，量變的積累使得分類器的辨別能力越來越差，以至于只有當(dāng)ρ值大于1時，才能分辨出正項級數(shù)的性質(zhì)變化。進一步思考可知，這個分類器來源于鄰項比值極限，如果增加鄰項的距離，如后項項數(shù)是k（n），前項項數(shù)是n，此時構(gòu)造的分類器有否可能將正項級數(shù)的混雜區(qū)進一步分開，這樣的啟發(fā)必然會引起學(xué)生探索和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并讓其思維的觸角延伸到哲學(xué)層面，鍛煉其運用矛盾分析方法和哲學(xué)辯證思維，體味習(xí)得。

（六）閱讀比值審斂法的科學(xué)家歷史資料，感悟數(shù)學(xué)史中的人文精神

比值審斂法也稱達朗貝爾審斂法，圍繞著達朗貝爾一生的勤奮、與巴黎科學(xué)院的同行克雷洛的有序競爭所促進的流體力學(xué)的發(fā)展故事以及晚年表現(xiàn)出的對年輕學(xué)者拉普拉斯和拉格朗日的無私支持和幫助的故事，為學(xué)生提供參考文獻，引導(dǎo)學(xué)生閱讀文獻，體會達朗貝爾崇高的科學(xué)素養(yǎng)以及令人敬佩的無私奉獻的科學(xué)精神，在理想、道德和情操等方面給學(xué)生樹立榜樣，啟迪其深度思考，讓其終身受益。

四、結(jié)束語

通過分析數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵、構(gòu)成要素以及其行為表現(xiàn)，概括出數(shù)學(xué)素養(yǎng)視域下重視觀念成分、知識成分、精神成分的課堂教學(xué)的三個主要特征，并以此為指導(dǎo)，對正項級數(shù)的比值審斂法的課堂教學(xué)進行了教學(xué)設(shè)計，突出了注重基本理論方法的形式演繹、不同類型和難度的例題演練、基本理論方法的證明過程分析、基本理論的結(jié)果分析、數(shù)學(xué)家的思維過程再現(xiàn)以及課內(nèi)和課外的閱讀相結(jié)合等方面，同時把側(cè)重點放在教學(xué)內(nèi)容中蘊含的化歸和類比數(shù)學(xué)思想方法、辯證思維和課程思政的設(shè)計，收到了滿意的教學(xué)效果。

[責(zé)任編輯：龐丹丹]