案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
——以“定積分的幾何應(yīng)用”為例

艾莉萍

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北武漢，430062)

如何將“灌輸式”教學(xué)變?yōu)椤耙龑?dǎo)式”，將“被動式”學(xué)習(xí)變?yōu)椤爸鲃邮健?，一直是困擾高校特別是高等數(shù)學(xué)教育的難題。本文試圖分析最前沿的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)理論，并通過具體案例教學(xué)，結(jié)合高等數(shù)學(xué)教育實踐，提出有效解決這一問題的路徑和方法。

一、案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式

(一)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，是以教師在課堂上講授為主，學(xué)生在課堂上的主要任務(wù)是聽講、做筆記、課堂練習(xí)等。課后，學(xué)生則以復(fù)習(xí)和完成作業(yè)為主要任務(wù)，而教師的主要任務(wù)則是批改作業(yè)和備課。翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，則是學(xué)生在課前先通過教師提供的視頻、電子書、網(wǎng)絡(luò)資源等各種多樣化的學(xué)習(xí)材料自主學(xué)習(xí)課程內(nèi)容，而課堂在這一教學(xué)模式中則變成了教師和學(xué)生之間、學(xué)生和學(xué)生之間進(jìn)行交流與溝通的場所。[1]可見，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式能夠較容易地完成由以教師為主體的教學(xué)到以學(xué)生為主體的教學(xué)的轉(zhuǎn)換。

(二)案例教學(xué)法

不同學(xué)科的學(xué)者對于案例的定義往往有不同的看法。商業(yè)領(lǐng)域的學(xué)者認(rèn)為，案例指特定情況、實例、事例；醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的解釋，則是病例、案例、問題；法學(xué)領(lǐng)域?qū)W者則認(rèn)為案例指案件、案子、訴訟案等。不論是哪一門學(xué)科，“案例”都強調(diào)真實情境。[2]因此，教學(xué)案例需要先篩選出恰當(dāng)?shù)默F(xiàn)實生活中的事例，再將之與教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容有機結(jié)合，最后設(shè)計出適合學(xué)生學(xué)習(xí)、有助于提高學(xué)生解決問題的能力且位于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)資源。

案例教學(xué)法強調(diào)過程的完整性。案例的選取和編寫、案例的實現(xiàn)步驟以及案例的討論與總結(jié)，這是一個連續(xù)的過程，每一環(huán)節(jié)缺一不可。這一教學(xué)方式，對于學(xué)生的能力和投入的時間精力，都提出了更高的要求。案例教學(xué)法不僅要求學(xué)生要完成課前準(zhǔn)備、課堂討論、課后總結(jié)反思等各個環(huán)節(jié)，更要求學(xué)生積極思考、主動解決問題。這一教學(xué)方法能夠極大調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性，提高學(xué)習(xí)效率。

(三)案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式

案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式將教學(xué)活動分為課前、課中和課后三個階段，且每個階段都對教師和學(xué)生的活動及目標(biāo)進(jìn)行了規(guī)劃。[2]

課前：教師選取并設(shè)計適當(dāng)?shù)陌咐诰€發(fā)布案例學(xué)習(xí)任務(wù)單；學(xué)生回顧知識點，自主探究案例學(xué)習(xí)問題，嘗試解決問題，提交學(xué)習(xí)報告。教師根據(jù)學(xué)生提交學(xué)習(xí)報告的情況進(jìn)行整理、學(xué)生分組、完成情況評價。

課中：教師引導(dǎo)學(xué)生問題解決，關(guān)注學(xué)生小組討論和問題解決的進(jìn)程，及時進(jìn)行指導(dǎo)，最后進(jìn)行歸納和點評；學(xué)生以小組合作的形式討論問題、解決問題，最后進(jìn)行自主學(xué)習(xí)問題解決的成果匯報。教師依據(jù)學(xué)生課堂表現(xiàn)、匯報質(zhì)量進(jìn)行評價。

課后：學(xué)生提交案例分析報告，分析運用并升華結(jié)論，課后反思；教師在線指導(dǎo)學(xué)生作業(yè)，批改作業(yè)并做出評價，進(jìn)行教學(xué)反思。

二、案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

鑒于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容較多，課時較緊張，下面僅以“定積分的幾何應(yīng)用”為例對案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的實施過程進(jìn)行闡述。“定積分的幾何應(yīng)用”是高等數(shù)學(xué)中一元函數(shù)微積分的重點和難點，公式較為復(fù)雜，題目有一定難度。因此，對于這一知識點的教學(xué)常以講練結(jié)合為主，即教師課上講解例題，學(xué)生課下結(jié)合公式進(jìn)行模仿。照著教材或課件中的例題一步步推演，雖然有助于學(xué)生抓住解題的主要過程，以應(yīng)對各類測試，但也容易讓學(xué)生陷入只知依葫蘆畫瓢而不知類比和反思、只知解題技巧而忽視思想與方法的歧途。對于數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，解題教學(xué)固然重要，但過分強調(diào)解題教學(xué)，必然會導(dǎo)致忽視數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用的廣泛性。為改變課堂教學(xué)的這一現(xiàn)狀，教師可以尋找適當(dāng)?shù)陌咐鳛檎n前材料，進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂的嘗試。

(一)課前階段

1.確定學(xué)習(xí)目標(biāo)

學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)，已經(jīng)掌握了定積分的定義及“元素法”的相關(guān)知識。通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生們應(yīng)能夠解決平面曲線的弧長等應(yīng)用問題。[3]但本節(jié)的掌握情況還會直接影響到后續(xù)章節(jié)的相關(guān)內(nèi)容如空間曲線的學(xué)習(xí)，所以，各層次的教學(xué)目標(biāo)都應(yīng)兼顧到。

本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)為：

(1)能夠正確說出曲線弧的弧長以及曲線可求長的概念；

(2)能夠運用定積分計算不同坐標(biāo)情形下給出方程的曲線弧的弧長；

(3)掌握弧長計算公式的推導(dǎo)過程，并能夠類比到其他類似的幾何問題；

(4)理解微積分中“以直代曲、以常代變”的思想；

(5)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，通過分析懸鏈線問題和各類擺線、螺線問題，體會數(shù)學(xué)之美。

2.案例篩選、資料搜集

案例教學(xué)強調(diào)真實情境，由于本節(jié)為定積分的幾何應(yīng)用，要找到符合要求的案例還是比較容易的。因此，對于眼前的大量案例，教師的工作重點就應(yīng)放在案例的篩選上。由于本課時的教學(xué)內(nèi)容為平面弧長的計算，高壓架空輸電線路的長度問題就屬于較為恰當(dāng)?shù)陌咐?/p>

確定了本課時需要使用的案例之后，教師要結(jié)合懸鏈線問題的提出與解決，通過故事性的敘述加演示，激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生利用定積分的元素法解決高壓架空輸電線路的長度問題。

3.設(shè)計、發(fā)放和回收學(xué)生自主學(xué)習(xí)任務(wù)單

教師篩選和設(shè)計好適合的教學(xué)案例之后，接下來的主要任務(wù)就是設(shè)計學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的依據(jù)——學(xué)習(xí)任務(wù)單。學(xué)習(xí)任務(wù)單的設(shè)計，不僅要依照前面提到的教學(xué)目標(biāo)，還需要根據(jù)教師發(fā)布的資料、課堂教學(xué)的組織與流程來進(jìn)行。

本課時的學(xué)習(xí)任務(wù)單，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對原有的舊知——定積分的定義、元素法等內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí)與鞏固，根據(jù)提供的文本及微課片段，通過自主學(xué)習(xí)和小組合作的方式分析案例并給出解決方案，提交學(xué)習(xí)報告。

在任務(wù)單的設(shè)計過程中，教師可以將案例中提出的問題進(jìn)行分解，提出若干小問題。這樣一方面可以降低學(xué)生解決問題的難度，另一方面也可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，教師可以將問題“在兩座山頭有兩座高壓電塔，現(xiàn)在需要運輸高壓電線到現(xiàn)場，問需要多長”拆分為以下幾個相關(guān)聯(lián)的問題：

問題1：高壓架空輸電線路的曲線是拋物線嗎？如果不是，那么曲線方程是什么？

問題2：電線在架設(shè)時，松緊程度至關(guān)重要。那么，應(yīng)該如何計算高壓架空輸電線路的長度呢？

問題3：生活中，你是否見過類似的問題呢？請試著提出一個問題，并解決它。

根據(jù)回收的學(xué)習(xí)任務(wù)單，教師能夠掌握學(xué)生知識掌握的情況，并能及時跟蹤學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主探究能力的變化過程。

(二)課上階段

在案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的課上階段，學(xué)生與教師的主要教學(xué)任務(wù)，就是要解決課前布置的案例與相關(guān)問題。而對于教師來說，為了及時和公正地對于學(xué)生的表現(xiàn)給出評價和反饋，還需要認(rèn)真觀察每個小組完成情況、創(chuàng)新能力和各個組員的表現(xiàn)。高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)課堂教學(xué)往往以講授法為主，習(xí)題課為輔，導(dǎo)致“滿堂灌”式教學(xué)比比皆是。學(xué)生缺少練習(xí)，但更缺少的是思考，是主動運用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的思想和能力。因此，在該階段，教師應(yīng)將注意力集中在案例的分析和解決的方法上，而不應(yīng)過于重視結(jié)果和答案。

課前篩選案例的過程中，其他一些合適的案例也可以補充進(jìn)課堂教學(xué)，并予以討論。比如說，同樣屬于懸鏈線問題的案例還有著名的達(dá)·芬奇畫作《抱銀鼠的女子》中女子脖頸上佩戴的黑色珍珠項鏈。教師可以通過提出問題串，對于學(xué)生掌握情況進(jìn)行檢驗，并讓學(xué)生通過查閱資料，試著找出困擾達(dá)·芬奇直至他去世的問題：如果固定項鏈的兩段，讓它在重力的作用下自然地下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么？如果已經(jīng)知道了項鏈的曲線是什么，那么是否能夠求出項鏈的長度呢？類似的曲線在生活中哪里還能見到呢？知道曲線的長度又有哪些實際意義呢？[4]對于學(xué)有余力的學(xué)生，有深度的學(xué)習(xí)內(nèi)容和問題是必要的。因此，教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)適時觀察不同基礎(chǔ)不同個性學(xué)生的表現(xiàn)，并進(jìn)行引導(dǎo)。

(三)教學(xué)評價及教學(xué)反思

教學(xué)評價是依照教學(xué)目標(biāo)，對教師教學(xué)設(shè)計、實施等進(jìn)行評價，對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評價的過程。公正且及時的評價，能夠調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強學(xué)生的信心，明確學(xué)習(xí)的目的與目標(biāo)。教學(xué)評價需綜合考量課下及課上的表現(xiàn)，同時，考慮到學(xué)科特點、教學(xué)實際、學(xué)生基礎(chǔ)、評價客觀性等因素的影響，一般教學(xué)中還應(yīng)當(dāng)結(jié)合期末測試進(jìn)行綜合評價。有針對性地設(shè)計和實施診斷性測驗，能夠使學(xué)生在碎片化學(xué)習(xí)的情況下，提升知識掌握的系統(tǒng)性，更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。[5]

課前階段教師的作用至關(guān)重要，如何有針對性選取案例，設(shè)計問題，這是案例教學(xué)法中最為重要的。課中階段教師要注重以引導(dǎo)為主，適時掌控課堂討論的方向與節(jié)奏，發(fā)揮翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的優(yōu)勢。課后階段教師要做好總結(jié)評價，重點是查找不足，有針對性提升教學(xué)質(zhì)量。

當(dāng)然，無論是否基于案例教學(xué)，無論是否采用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，教師對于學(xué)生的指導(dǎo)和評價，都必須基于國家教育方針、課程標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)目標(biāo)。當(dāng)前，對于大班教學(xué)，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式依然存在許多亟待解決的問題。如何切實做到以學(xué)生思考討論為主，教師講課引導(dǎo)為輔，又不能脫離具體教學(xué)實際；如何做到在有限的課時，調(diào)動大部分人甚至是所有學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、參與性、積極性，仍然是值得研究和探索的問題。案例引領(lǐng)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用還要靠實踐來不斷豐富和完善。