基于數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)下的教學(xué)

穆鳳

[摘? 要] 數(shù)學(xué)教學(xué)的目的并非是讓學(xué)生學(xué)會計(jì)算和解題，其核心在于要以計(jì)算和解題為媒介來掌握數(shù)學(xué)的思想方法. 我們應(yīng)利用數(shù)學(xué)客觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶匦裕鳛榻鉀Q實(shí)際問題的基本思路，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐和創(chuàng)造能力. 直觀想象素養(yǎng)在高中代數(shù)和幾何方面都有涉及，因此教師非常注重直觀素養(yǎng)的培養(yǎng). 高中是學(xué)習(xí)的重要階段，學(xué)生已經(jīng)具備一定的邏輯思維能力. 教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，使學(xué)生建立數(shù)學(xué)與圖形的聯(lián)系，利用圖形解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)素養(yǎng);直觀想象;數(shù)形結(jié)合

“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”是一個(gè)較為寬泛的定義，包含很多內(nèi)容，其中一些是核心部分，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本素質(zhì)，是用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，他們統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 其中，數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算屬于數(shù)學(xué)技能范疇，他們是解決實(shí)際問題的重要途徑. 一旦具備了這些素養(yǎng)，就表明學(xué)生已經(jīng)能夠熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，從而大大提高解決問題的效率. 而數(shù)學(xué)抽象和直觀想象則屬于數(shù)學(xué)思想范疇，他們是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的理論基礎(chǔ). 直觀想象素養(yǎng)是指借助空間形式認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形狀變化與運(yùn)動規(guī)律;用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)與形的聯(lián)系，建立數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路. 其主要表現(xiàn)為建立數(shù)與形的聯(lián)系，用幾何圖形描述問題，用幾何直觀理解問題，用空間想象認(rèn)識事物.

數(shù)學(xué)教學(xué)的目的并非是讓學(xué)生學(xué)會計(jì)算和解題，其核心在于要以計(jì)算和解題為媒介來掌握數(shù)學(xué)的思想方法. 我們應(yīng)利用數(shù)學(xué)客觀、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶匦宰鳛榻鉀Q實(shí)際問題的基本思路，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐和創(chuàng)造能力. 要實(shí)現(xiàn)這一目的，教師應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的重點(diǎn)內(nèi)容，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為基點(diǎn)來組織教學(xué). 直觀想象是不同的思維方法或思維形式. 想象也是在直觀基礎(chǔ)上，視為直觀的延伸，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要手段. 它也是進(jìn)行論證、數(shù)學(xué)推理和構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ). 在教學(xué)中，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)直觀想象的落實(shí)和培養(yǎng). 基于此，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，在界定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基本概念的基礎(chǔ)上，通過教學(xué)實(shí)例分析了數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的有效滲透.

■高中數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)

直觀想象素養(yǎng)在高中代數(shù)和幾何方面都有涉及，因此教師非常注重直觀素養(yǎng)的培養(yǎng). 高中是學(xué)習(xí)的重要階段，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的邏輯思維能力. 教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力，使學(xué)生建立代數(shù)與圖形的聯(lián)系，利用圖形解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

（一）注重直觀演示教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力

圖形是幾何體呈現(xiàn)的載體，識圖能力是作圖和分析圖形的基礎(chǔ). 教師應(yīng)注重學(xué)生識圖能力的培養(yǎng). 培養(yǎng)學(xué)生能夠從圖形中獲取已知信息，并通過已知信息間的關(guān)系挖掘隱含信息. 教師在備課時(shí)選擇演示物要使學(xué)生能清晰地感知演示對象的有用特征與關(guān)系. 在課堂教學(xué)時(shí)，首先應(yīng)使學(xué)生明確觀察的目標(biāo)和內(nèi)容. 在具體的展示過程中，指導(dǎo)學(xué)生從不同的角度觀察，注意內(nèi)在的結(jié)構(gòu)和關(guān)系特征，讓學(xué)生思考觀察的結(jié)果，鼓勵學(xué)生在生活中多去觀察和發(fā)現(xiàn)身邊的實(shí)物.

（二）注重加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力

高中學(xué)生在課堂上只聽老師講和看，很難形成較高的能力. 因此教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的畫圖意識，讓學(xué)生掌握一些基本圖形的畫法. 教師在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)畫圖的重要性，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成用畫圖去分析和解決問題. 讓學(xué)生將抽象性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形有機(jī)結(jié)合起來. 指導(dǎo)學(xué)生提取關(guān)鍵信息，依據(jù)已知信息畫出相應(yīng)圖形（要求畫圖準(zhǔn)確，圖形特征明顯，并標(biāo)明數(shù)量關(guān)系）. 學(xué)生具有良好的畫圖能力，可以促進(jìn)識圖能力的發(fā)展. 教師還可以指導(dǎo)學(xué)生使用幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行作圖操作.

（三）注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會建立圖形與圖形、圖形與數(shù)量的聯(lián)系

要提高學(xué)生的直觀素養(yǎng)，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生建立圖形與圖形、圖形與數(shù)量的關(guān)系. 教師要讓學(xué)生學(xué)會觀察圖形的組成部分，以及圖形與圖形之間的關(guān)系. 通過圖形的旋轉(zhuǎn)、對稱和翻折等變換，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化過程中的不變關(guān)系和變化關(guān)系，并弄清原因. 在教學(xué)中，教師要注重讓學(xué)生挖掘圖形中的數(shù)值，并探究其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生直觀地總結(jié)出數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)，并將所得性質(zhì)衍生到同類圖像中. 讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的作用，形成數(shù)形結(jié)合的思想.

（四）注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言交流與表達(dá)

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)，讓學(xué)生不僅能夠用數(shù)學(xué)的眼光看世界，還能用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界. 在教學(xué)中，教師可以讓學(xué)生借助直觀想象用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)象，提出有關(guān)數(shù)學(xué)問題，討論數(shù)學(xué)問題. 教師要鼓勵學(xué)生運(yùn)用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言描述數(shù)學(xué)問題，多用圖形語言進(jìn)行交流和表達(dá).

■基于直觀想象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)定理教學(xué)

本人有幸參加了重慶市渝中區(qū)舉行的“高中青年教師優(yōu)質(zhì)課大賽”，聆聽了幾位專家結(jié)合高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實(shí)踐關(guān)于筆者所授這節(jié)課（函數(shù)單調(diào)性）的點(diǎn)評，受益匪淺，讓我們一線數(shù)學(xué)教師能更深入地理解核心素養(yǎng)的本質(zhì)，更自然地將其與實(shí)踐相結(jié)合. 結(jié)合專家們對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的解讀，筆者對這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)做了一些修改.

1. 課題引入

設(shè)計(jì)立意：啟發(fā)學(xué)生由圖像獲取函數(shù)性質(zhì)，培養(yǎng)直觀認(rèn)識，從而引入新課.

師：由圖1，你能說出函數(shù)圖像有什么特征？

隨著x的增大，y值有什么變化？

學(xué)生看圖，并說出自己的看法.

2. 師生互動，探究新知

設(shè)計(jì)立意：啟發(fā)學(xué)生獲取函數(shù)y=x2的圖像的升降特點(diǎn). 使得學(xué)生從定量分析過渡到定性分析，從直觀認(rèn)識過渡到數(shù)學(xué)語言表述，并體會出單調(diào)性是針對區(qū)間而言的.

師：請大家作出y=x2的圖像.

小組學(xué)生共同合作畫圖，并觀察圖像的變化趨勢.

師：有同學(xué)能描述一下函數(shù)y=x2（x>0）的圖像的變化趨勢嗎？小學(xué)是怎么直觀感知的？

生：從左往右看，圖像越來越高.

師：初中是怎么形象描述的？

生：y隨著x的增大而增大.

師：你能描述函數(shù)y=x2在R上的圖像的變化趨勢嗎？

生：分別比較函數(shù)y=x2在y軸左側(cè)和右側(cè)的圖像，y軸左側(cè)隨變量x值增大，函數(shù)值y減小;y軸右側(cè)隨變量x值增大，函數(shù)值y增大.

師：從上面的觀察分析可以看出：考察一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，必須指明區(qū)間，否則沒有意義. 即函數(shù)單調(diào)性是針對定義域中某個(gè)區(qū)間而言的，是一個(gè)局部性質(zhì).

3. 數(shù)形結(jié)合，互動探究

設(shè)計(jì)立意：指導(dǎo)學(xué)生從定量分析過渡到定性分析，從直觀認(rèn)識過渡到數(shù)學(xué)符號表述，由形到數(shù)，再由數(shù)到形. 從具體到一般引出函數(shù)增減性的定義.

師：函數(shù)y=x2的圖像在y軸右側(cè)隨x的增大而增大，如何用數(shù)學(xué)符號語言來描述這種“上升”呢？如何用抽象的數(shù)學(xué)符號語言清晰描述這一動態(tài)變化呢？

生：當(dāng)1<2<3…時(shí)，有f（1）

師：特值對比能反映整體趨勢嗎？

生：不能.

要注意x1，x2取值的任意性.

師：在（0，+∞）上，隨意取兩點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2），觀察x1，x2和y1，y2的關(guān)系.

生：當(dāng)x1

師：怎樣反映出圖像的整體變化趨勢（隨機(jī)取足夠多的點(diǎn)對），由此你得出什么結(jié)論？

學(xué)生表述各自的結(jié)論.

教師引導(dǎo)學(xué)生得出：函數(shù)y=x2在（0，+∞）上圖像是上升的，用函數(shù)符號來描述就是：對于（0，+∞）上任意的x1，x2，當(dāng)x1

師：對于一般的函數(shù)f（x），我們應(yīng)當(dāng)如何給增函數(shù)下定義呢？

設(shè)計(jì)立意：引導(dǎo)學(xué)生討論、交流，說出各自的想法，并進(jìn)行分析、評價(jià)，補(bǔ)充完善后給出增函數(shù)的定義.

學(xué)生通過觀察、驗(yàn)證、討論、交流后表述各自的結(jié)論.

設(shè)計(jì)立意：得出減函數(shù)的定義，并由此培養(yǎng)學(xué)生類比的能力. 與函數(shù)y=x2的圖像特點(diǎn)比較，與從具體到一般相呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)定義中的要點(diǎn).

你能仿照這樣的描述，說明函數(shù)y=x2在區(qū)間（-∞，0）上是減函數(shù)嗎？

師生共得出減函數(shù)的定義.

你能分析一下增（減）函數(shù)定義的要點(diǎn)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生體會定義中的關(guān)鍵點(diǎn).

設(shè)計(jì)立意：鞏固概念，并培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力.

自學(xué)例1：圖4是定義在區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f（x）的圖像，根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù).

教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書上的例1.

學(xué)生回答問題.

設(shè)計(jì)立意：使學(xué)生學(xué)會用定義證明函數(shù)為增（減）函數(shù)，并掌握證明的步驟.

通過學(xué)習(xí)例2，學(xué)會證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間的增減性，并試著總結(jié)證明的步驟.

學(xué)生閱讀例2，并用定義證明y=x2-1在區(qū)間（-∞，+∞）上的單調(diào)性.

教師啟發(fā)學(xué)生概括用定義證明增（減）函數(shù)的一般步驟，注意給學(xué)生留有思考的時(shí)間.

學(xué)生交流自己總結(jié)的步驟.

教師板書證明步驟.

設(shè)計(jì)立意：學(xué)生通過總結(jié)本節(jié)知識，進(jìn)一步對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了鞏固.

課堂小結(jié)，這節(jié)課你有什么收獲？

學(xué)生討論、交流本節(jié)課內(nèi)容，并進(jìn)行小結(jié).

■數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)分析

本節(jié)課是基于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)理念進(jìn)行設(shè)計(jì)的. 在有限的空間和時(shí)間中，既要實(shí)現(xiàn)課時(shí)目標(biāo)，又要落實(shí)核心素養(yǎng). ？搖

本節(jié)課設(shè)計(jì)起源于學(xué)生熟知的一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像，首先讓學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性有一個(gè)直觀認(rèn)識;其次讓學(xué)生回憶小學(xué)、初中時(shí)對單調(diào)性的文字描述;再次引導(dǎo)學(xué)生用符號語言進(jìn)行抽象概括;最后演繹為一般函數(shù)單調(diào)性的定義. 這一系列活動的目的是從用自然語言描述函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化到用數(shù)學(xué)語言刻畫函數(shù)單調(diào)性的定義. 基于學(xué)生已解決的問題創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，再次引發(fā)學(xué)生在構(gòu)建自身基礎(chǔ)上的“再創(chuàng)造”，并通過獨(dú)立思考后的討論，培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題以及用數(shù)學(xué)語言交流的能力. 它為學(xué)生提供了自主探究的平臺. 從閱讀學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，不僅符合學(xué)生的心理特點(diǎn)，還注重了學(xué)生的思維過程. 在這一過程中，運(yùn)用了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理，使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)真正落實(shí)于課堂之中.