擬c#-正規(guī)子群與有限群的可解性

韋華全，謝芬芳，周宇珍，李姣，古徽龍

(1.廣西大學 數(shù)學與信息科學學院， 廣西 南寧 530004；2.南寧師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計科學學院， 廣西 南寧 530299)

0 引言

近十幾年來, 國內(nèi)外的許多群論學者和專家在對有限群結構的研究上已經(jīng)取得了豐碩的成果，并且提供了這一領域許多新的研究方法。而近幾年, 利用群的某些特殊的子群, 如正規(guī)子群，極大子群，Sylow子群等的特性來研究群的可解性，已經(jīng)成為群論研究的重要課題，有關這方面的新的研究課題不斷地被提出來，形成了有特色的研究熱點。

有限群的可解性和非可解性是有限群論研究的兩個重要方向。自20世紀80年代，有限單群分類完成后，可解群的研究也有了很大的進展。通過子群的特性來確定有限群的可解性是研究有限群結構的重要方法之一。1996年，王燕鳴[1]引入了群的c-正規(guī)子群的概念，給出了群可解，超可解的若干判定準則。之后，作為c-正規(guī)和可補概念的推廣，王燕鳴[2]，Ballester-Bolinches等[3]在2000年引入了c-可補子群的概念。1962年，GASCHUTZ[4]引入了可解子群的某個共軛類，并稱這些子群為Pre-Frattini(后稱為CAP-子群)，也即這些子群具有所謂的覆蓋—遠離性。2003年，郭秀云等[5]利用某些極大子群的覆蓋—遠離性，得到了有限群可解、p-可解和p-冪零的一些充分或必要條件。2006年，韋華全等[6]引入了c*-正規(guī)，c#-正規(guī)和c#-可補子群(亦稱CAS-子群)的概念，分別統(tǒng)一推廣了c-正規(guī)和s-置換嵌入子群，c-正規(guī)和CAP-子群，c-可補和CAP-子群的概念，并統(tǒng)一推廣了若干熟知的重要結果[7-9]。

筆者結合CAP-子群和c#-正規(guī)子群的概念，引入擬c#-正規(guī)子群的概念。首先，利用有限群Sylowp-子群的擬c#-正規(guī)性，得到有限群為p-可解的一個充要條件。之后，利用極大子群，2-極大子群和3-極大子群的Sylow子群的擬c#-正規(guī)性，得到了有限群成為可解的三個判別條件(充分或必要條件)。

文中G總表示有限群，M<·G表示M是G的極大子群，N·?G表示N為G的極小正規(guī)子群，其他符號和術語請參考文獻[10]。

1 預備知識

定義1設G是群，H是G的子群。稱H在G中擬c#-正規(guī)，如果存在G的次正規(guī)子群K和含于H的CAP-子群Hc，使得G=HK且H∩K≤Hc。

定義2設G是群，H≤G，M/N為G的主因子[11],則：

① 若MH=NH,稱H覆蓋M/N;

② 若H∩M=H∩N,稱H遠離M/N;

③ 若H或覆蓋或遠離G的每個主因子，也稱為G的CAP-子群或者覆蓋—遠離子群,稱H具有覆蓋—遠離性質(zhì)。

定義3子群L稱為群G的一個2-極大子群，若存在G的極大子群M，使得L為M的極大子群[6]。

引理4設G是群，H≤G，N?G,則:

① 若H是G的覆蓋—遠離子群，則HN/N是G/N的覆蓋—遠離子群；

② 若N≤H，則H是G的覆蓋—遠離子群當且僅當H/N是G/N的覆蓋—遠離子群。

引理5設G是群，H≤G，N?G。如果N是H的子群，那么H在G中擬c#-正規(guī)的充要條件是H/N在G/N中擬c#-正規(guī)。

證明先證必要性。假設H在G中擬c#-正規(guī)，根據(jù)擬c#-正規(guī)的定義，存在G的次正規(guī)子群K及含于H中的CAP-子群Hc,使得G=HK且H∩K≤Hc。于是G/N=(H/N)(KN/N)且(H/N)∩(KN/N)=(H∩K)N/N≤HcN/N≤H/N。根據(jù)引理4，HcN/N是G/N的CAP-子群，因而H/N在G/N中擬c#-正規(guī)。

再證充分性。若H/N在G/N中擬c#-正規(guī)，由定義，存在K/N??G/N及含在H/N中的G/N的CAP-子群(H/N)c，滿足G/N=(H/N)(K/N)，而且(H/N)∩(K/N)≤(H/N)c。注意到(H/N)c≤H/N，故可令(H/N)c=H1/N，其中H1≤H。由引理4，H1是G的CAP-子群。而G=HK且K??G，(H/N)∩(K/N)=(H∩K)/N≤(H/N)c=H1/N≤H/N， 故H∩K≤H1≤H，因此H在G中擬c#-正規(guī)。證畢。

引理6設G是群，N?G，H是G的p-子群，K≤G使得G=HK。若H∩N∈Sylp(N)，則HN∩KN=(H∩K)N[6]。

引理7群G可解當且僅當存在的G可解2-極大子群L使得L是G的CAP-子群[5]。

2 主要結果

定理1設P∈Sylp(G)，其中p∈π(G)， 則G為p-可解當且僅當P在G中擬c#-正規(guī)。

證明若G為p-可解群，H/K是G的主因子，根據(jù)p-可解群的定義，H/K為p-群或者p′-群。

若H/K是p-群，則H/K≤PK/K，故(PK/K)(H/K)=PH/K≤PK/K，即PH≤PK，而由K≤H,從而PK≤PH，這樣PH=PK，即P覆蓋H/K。

若H/K為p′-群，則H與K的p部分相同，故有P∩H=P∩K，P遠離H/K。

因此P是G的CAP-子群，當然P是G的c#-正規(guī)子群，從而也是G的擬c#-正規(guī)子群。

現(xiàn)在假設P在G中擬c#-正規(guī)，由引理5，P/PG在G/PG中擬c#-正規(guī)。若PG≠1，則由歸納，G/PG是p-可解群, 從而得G為p-可解群。設PG=1，因P在G中擬c#-正規(guī)，故存在T??G及含在P中的G的CAP-子群Pc，使得G=PT且P∩T≤Pc。取N·?G，考慮N與Op(G)的關系，若N≤Op(G)，設Q是G的Sylowq-子群，其中q≠p，假設T?T1?T2?…?TS?TS+1=G是G的一個次正規(guī)群列的一部分，顯然，Q∩Ts∈Sylq(Ts)，且(Q∩Ts)∩Ts-1=Q∩Ts-1∈Sylq(TS-1)，依次類推，可得Q∩T∈Sylq(T)。然而G=PT,故Q∩T∈Sylq(G)。通過比較階有Q∩T=Q，從而Q≤T。如此一來，由Q及q的任意性可得Οp(G)≤T。因P無核，Pc不能覆蓋N/1，從而Pc∩N=1。但是，P∩T≤Pc， 故P∩T∩N=1，亦即P∩T=1，這樣N為p′-群，因Pc是G的CAP-子群，故PcN/N是G/N的CAP-子群?，F(xiàn)在，G/N=(PN/N)(T/N)且(PN/N)∩(T/N)=(P∩T)N/N≤PcN/N≤PN/N, 從而PN/N在G/N中擬c#-正規(guī)。由歸納，G/N為p-可解，進而G為p-可解。若N?Op(G)，則由N?NOp(G)/OP(G)≤G/OP(G)為p-群且N·?G，必有N≤Op(G)≤P，這與PG=1矛盾。證畢。

定理2群G可解的充要條件是存在M<·G使得M的每個Sylow子群在G中擬c#-正規(guī)。

證明先證必要性。若G為可解群，則對任意的M<·G,M在G中具有覆蓋—遠離性。由文獻[8]可知M的每個Sylow子群都在G中具有覆蓋—遠離性， 即M的每個Sylow子群都是G的CAP-子群，從而是G的擬c#-正規(guī)子群。

下證充分性。先設M在G中的核MG≠1，取N·?G且N≤MG，假設PN/N∈Sylp(M/N)，其中P∈Sylp(M)。由題設，存在K??G及G的含于P中的CAP-子群Pc使得G=PK且P∩K≤Pc。由引理6，有PN∩KN=(P∩K)N，因為G/N=(PN/N)(KN/N)，且(PN/N)∩(KN/N)=(P∩K)N/N≤PcN/N≤PN/N，由引理4，PcN/N是G/N的CAP-子群，故PN/N在G/N中擬c#-正規(guī)，即商群G/N滿足定理的假設條件，根據(jù)歸納法可得G/N可解。因Pc是G的CAP-子群，若Pc覆蓋N/1，則PcN=Pc，即N≤Pc≤P，故N可解，導致G可解。若Pc遠離N/1，則Pc∩N=1，而P∩K≤Pc，故P∩K∩N=1?？紤]N與Op(G)的關系，若N∩Op(G)=1，則N?NOp(G)/Op(G)≤G/Op(G)，故N為p-群，即N可解，仍可得G可解。設N≤Op(G)，類似定理1的證明，可知Op(G)≤K，故P∩N=P∩K∩N=1。由p及P的任意性，必有M∩N=1。事實上，若M∩N≠1， 則有p∈π(M∩N)及S∈Sylp(M∩N)使得S≠1。顯然，存在P∈π(M)使得S≤P，于是S≤P∩N=1，即得S=1，矛盾。現(xiàn)在，由N≤MG及M∩N=1得到N=1，矛盾。

設MG=1。對于任意p∈π(M)，設Sylp(M)={P1,…,Pn}，由擬c#-正規(guī)的定義對每個Pi，存在Ki??G及G的含于Pi的CAP-子群(Pi)c，滿足G=PiKi且Pi∩Ki≤(Pi)c，由于G/Op(G)為p-群，當然可解，故可設Op(G)≠1?，F(xiàn)設N1·?G，且N1≤Op(G)≤Ki，因M無核，故(Pi)c不可能覆蓋N1/1,(Pi)c必遠離N1/1，即(Pi)c∩N1=1，從而Pi∩Ki∩N1=Pi∩N1=1。由Pi及p的任意性，M∩N1=1，進而M?G/N1。由G/N1=(PiN1/N1)(Ki/N1)，且(PiN1/N1)∩(Ki/N1)=(Pi∩Ki)/N1/N1≤(Pi)cN1/N1≤PiN1/N1。故PiN1/N1在G/N1中擬c#-正規(guī)。這實際上證明了G/N1的每個Sylow子群都在G/N1中擬c#-正規(guī)。應用定理1得G/N1為p-可解，再由p的任意性知G/N1可解群。這樣M(?G/N1)是G的可解c-正規(guī)極大子群。最后由文獻[1，定理3.4]，可得G可解。證畢。

定理3群G可解得充要條件是存在G的2-極大子群L，滿足L的每個Sylow子群在G中的擬c#-正規(guī)。

證明必要性。若G可解， 由引理7，存在G的可解2-極大子群L，使得L是G的CAP-子群。由文獻[8]，L的每個Sylow子群都在G中具有覆蓋—遠離性, 從而在G中擬c#-正規(guī)。

充分性。假設G是極小階反例，若LG≠1，取N·?G且滿足N≤LG。設PN/N∈Sylp(L/N)，其中P∈Sylp(L)。由題設，P在G中擬c#-正規(guī)， 故存在K??G及G的含在P中的CAP-子群Pc， 滿足G=PK且P∩K≤Pc。類似定理2的證明，可知PN/N在G/N中擬c#-正規(guī)，故G/N滿足定理的條件。由G的極小性得G/N可解，又因Pc是G的CAP-子群, 若Pc覆蓋N/1，則PcN=Pc，即N≤Pc≤P，故N可解，從而G可解，矛盾。若Pc遠離N/1，則Pc∩N=1，故P∩K∩N=1。此時若N?Op(G)，則N?NOp(G)/Op(G)≤G/Op(G)，N為p-群，故N可解，仍得到G可解，矛盾。如果N≤Op(G)≤K，則P∩K∩N=P∩N=1，由p及P的任意性，有L∩N=1，因而N=1，矛盾。

所以LG=1。設Sylp(L)={P1,…,Pn}，其中p∈π(L)。由定理假設，對于每個i，存在Ki??G及G的含在Pi中的CAP-子群(Pi)c使得G=PiKi且Pi∩Ki≤(Pi)c。不妨設Op(G)≠1并設N1·?G使得N1≤Op(G)≤Ki,i=1,…,n,考慮商群G/N1。類似定理2的證明, 可證PiN1/N1在G/N1中擬c#-正規(guī)，因LG=1，故(Pi)c不能覆蓋N1/1，必有(Pi)c遠離N1/1，即(Pi)c∩N1=1，當然有Pi∩Ki∩N1=Pi∩N1=1，從而L∩N1=1。假設L<·M<·G，則由模律，L(M∩N1)=LN1∩M，而L≤LN1∩M≤M。由L在M中的極大性，有L(M∩N1)=L或者L(M∩N1)=M。

若L(M∩N1)=L，則M∩N1=1，故G=MN1。假設LN1≤M1<·G，則L≤M∩M1≤M，由L在M中的極大性，M∩M1=M或者M∩M1=L。若M∩M1=M，則M≤M1，從而M=M1，故G=M1N1=M1，矛盾。故M∩M1=L，因而LN1=(M∩M1)N1=M1是G的極大子群。上面已證LN1/N1的每個Sylow子群在G/N1中擬c#-正規(guī)， 故由定理2，可知G/N1可解， 從而M?G/N1可解。進一步，M是G的可解c-正規(guī)極大子群，由文獻[1,定理3。4]得G可解，矛盾。

若L(M∩N1)=LN1∩M=M，則M≤LN1。由M的極大性，LN1=M或LN1=G，若LN1=M，則M/N1=LN1/N1的每個Sylow子群在G/N1中擬c#-正規(guī)。由定理2，G/N1可解。從而L?M/N1≤G/N1可解，因此L是M的可解c-正規(guī)極大子群。由文獻[1，定理3.4],M可解。故N1可解,得G可解,矛盾。若LN1=G,則G/N1的每個Sylow子群在G/N1中擬c#-正規(guī)，由定理1,G/N1可解。從而L?G/N1可解, 再由文獻[1，定理3.4]可得M可解。因L<·M且(M∩N1)?M， 故(M∩N1)·?M， 這樣對于某個素數(shù)q，M∩N1是初等交換q-群。令Q=M∩N1，則M≤NG(Q)≤G，根據(jù)M的極大性，NG(Q)=M或NG(Q)=G。若NG(Q)=M，則Q∈Sylp(N1)。若否，Q

定理4若群G的3-極大子群的Sylow子群在G中擬c#-正規(guī)，則G可解。

證明設G為極小階反例。假設N·?G，R是G的3-極大子群，T∈Sylp(R)。由題設，存在K??G及G的含在T中的CAP-子群Tc，滿足G=TK且T∩K≤Tc?？紤]商群G/N。由G/N=(TN/N)(KN/N)，且(TN/N)∩(KN/N)=(T∩K)N/N≤TcN/N≤TN/N， 故G/N滿足定理的條件。由G的極小性假設，G/N可解?，F(xiàn)假設N是G的唯一極小正規(guī)子群，且N?Φ(G)。故存在M<·G， 使得G=MN。筆者斷言，M∩N≠1。因為若M∩N=1， 則M?G/N，可知M是G的可解c-正規(guī)極大子群，由文獻[1,定理3.4]，G可解，矛盾。因此M∩N≠1。如果M∩N=M， 那么G=MN=N。因K??G及N的極小性， 必有K=G。因此，T∩K=T∩G=T，故T是G的CAP-子群。若T覆蓋N/1，則TN=TG=T，矛盾。故必有T遠離N/1，即T∩K=T∩G=T，故只有T=1。這表明，群G的每個3-極大子群都是1，從而都在G中c#-正規(guī)，由文獻[6，定理1.4.7]可知G可解，矛盾，故M∩N

另一方面，因K1≠1，若N∩Op(G)=1，則N?Op(G)N/Op(G)≤G/Op(G)可解，故G可解，矛盾。若N≤Op(G)≤K1，則S∩K1∩N=S∩N=1。而S≤M∩N≤N， 故S=1，即得L=1。因此M∩N為素數(shù)階循環(huán)群， 不妨仍設|M∩N|=p。令M∩N=P，由M的極大性，NG(P)=G或NG(P)=M。如果NG(P)=G，那么P?G，由N的極小性，N=P≤M，導致G=MN=M，矛盾。如果NG(P)=M，那么P∈Sylp(N)，且有NN(P)=P=CN(P)，由Burnside定理，N為p-冪零群,故N=P≤M， 矛盾。因此M∩N必定不是M的極大子群， 表明存在M的2-極大子群L1包含于M∩N。設Q∈Sylp(L1)，由題設，存在K2??G及G的含在Q中的CAP-子群Qc，使得G=QK2且Q∩K≤Qc。由N?M，Qc只能遠離N/1，即Qc∩N=Q∩K2∩N=1。

另一方面，若N∩Oq(G)=1，則N?Oq(G)/N≤G/Oq(G)可解，故G可解，矛盾。若N≤Oq(G)≤K2， 則Q∩K2∩N=Q∩N=1， 從而L1∩N=1。于是M∩N=1，這與上述假設矛盾。定理得證。