一類分布時滯不確定性系統(tǒng)的魯棒H∞容錯控制

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010000)

一、引言

在實際控制系統(tǒng)中，不確定性和時滯的存在往往使得系統(tǒng)不穩(wěn)定和不能達到相應(yīng)性能指標(biāo)，并使得系統(tǒng)的分析和綜合變得更加復(fù)雜化。隨著為實現(xiàn)系統(tǒng)的可靠安全性這一目的，不確定性時滯系統(tǒng)的容錯問題得到了廣泛的研究。文獻[1]針對一類具有分布時滯的不確定中立型變時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題進行了研究，基于Lyapunov-Krasovskii 泛函和自由權(quán)矩陣方法，得到了不確定中立型變時滯系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。文獻[2]通過討論一類在非線性干擾下具有分布時滯的不確定隨機中立型系統(tǒng)的隨機魯棒鎮(zhèn)定.運用隨機lyapunov穩(wěn)定性理論及Ito^微分法,求解線性矩陣不等式,推導(dǎo)出含有時不變中立時滯、時變分布時滯、離散時滯以及不確定參數(shù)和非線性干擾是有界范數(shù)的中立型系統(tǒng)魯棒隨機鎮(zhèn)定的充分條件。文獻[3]對不確定性時滯線性和非線性系統(tǒng)進行分析研究，設(shè)計了魯棒H∞控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件。文獻[4]研究了關(guān)于具有離散和分布時滯的中立微分系統(tǒng)的時滯相關(guān)魯棒H∞濾波問題。求得的濾波器是Luenberger觀測器類型的,它能保證濾波系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定并能滿足一個給定的H∞性能指標(biāo)。文獻[5-8]對不確定性時滯線性和非線性系統(tǒng)進行分析研究，設(shè)計了魯棒H∞控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件。

本文針對分布時滯的不確定線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題進行了研究，基于Lyapunov-Krasovskii泛函和自由權(quán)矩陣的方法，得到了魯棒穩(wěn)定性判據(jù)并滿足H∞性能指標(biāo)。數(shù)值算例結(jié)果證明了該方法的有效性和可行性。

二、問題描述

考慮以下線性不確定性連續(xù)分布時變時滯系統(tǒng)

(1)

式中：x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，z(t)∈Rp，y∈Rq，ω(t)∈Rr且ω(t)∈L2[0,∞)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，控制輸入變量，控制輸出變量，量測輸出變量和能量有限的外部干擾輸入向量。

其中A∈Rn×n，A1∈Rn×n，B∈Rn×m，B1∈Rn×m，B2∈Rn×r，C1∈Rp×n，C2∈Rq×n是矩陣；ΔA,ΔA1,ΔB,ΔB1為模型參數(shù)不確定項；d(t)>0,τ(t)>0分別表示系統(tǒng)的狀態(tài)時變時滯，輸出時變時滯，且滿足

(2)

其中：

[ΔAΔA1ΔBΔB1]=HG(t)[EE1DD1]

(3)

H∈Rn×n,E∈Rn×n,E1∈Rn×n,D∈Rn×n,D1∈Rn×n是常數(shù)矩陣；G(t)是Lebesgue可測的。為計算方便，簡記作G=G(t),且GT(t)G(t)≤I。

考慮執(zhí)行器失效，引入執(zhí)行器故障矩陣F，記F=diag(f1，f2，…，fm)。在實際控制系統(tǒng)中，執(zhí)行機構(gòu)輸出有限制范圍，其中0≤fli≤fi≤fuii=1，2…m。當(dāng)fi=0時，表示系統(tǒng)第i個執(zhí)行器失效；當(dāng)fi=1時，表示系統(tǒng)第i個執(zhí)行器正常；當(dāng)0≤fli≤fi≤fui，且當(dāng)fi≠1時，表示系統(tǒng)第i個執(zhí)行器部分失效。F=F0(I+L)，|L|≤J≤I。

為系統(tǒng)一般性起見，假設(shè)F≠0

對于系統(tǒng)(1)，考慮在執(zhí)行器故障的情況下，設(shè)計輸出反饋控制器：

u(t)=FKy(t)

(4)

式中為待設(shè)計的控制器增益矩陣，則包含執(zhí)行器故障的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(5)

閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程簡記為：

(6)

其中：

(7)

在分析和推導(dǎo)定理的過程中，需要用到以下幾個引理：

引理 1[9]給定A，G，C是適當(dāng)維數(shù)的常值矩陣，其中滿足，GTG≤I，則對于任意常數(shù)e>0，有：

引理2[9](schur補引理)以下三個條件是等價的：

1.S<0

引理3[9]對于任意給定的正定矩陣H∈Rn×n和參數(shù)ρ<0，如果向量函數(shù)V:[-ρ,0]→Rn的相關(guān)積分項有定義，則下式成立：

引理5[9]設(shè)A，D，P，E是適當(dāng)維數(shù)的矩陣，F(xiàn)TF≤I，對任意的對稱矩陣P>0及ε>0，若P-εDDT>0，則

三、系統(tǒng)魯棒H∞控制

定理1給定γ>0,h1>0,h2>0，如果存在正定矩陣P,Q,N,R及矩陣Y1,Y2使得滿足下列不等式成立：

(8)

那么閉環(huán)系統(tǒng)(5)對所有可能發(fā)生執(zhí)行器的故障是漸近穩(wěn)定的并且滿足H∞性能指標(biāo)。

證明：選取如下Lyapunov-Krasovskii泛函：

(9)

式中：P>0,Q>0,N>0,R>0 考慮到外部干擾ω(t)=0，對V(t)沿系統(tǒng)求導(dǎo)得：

(10)

根據(jù)式(2)可得

(11)

由引理5可得

(12)

其中：η(t)=col[x(t),x(t-d(t))]

把(11)和(12)式代入(10)式，由引理4可得

(13)

其中：

通過代數(shù)運算可以得到：

其中：

引入性能指標(biāo)函數(shù)：

(14)

由矩陣不等式(8)及Shur補引理知Ξ<0，故有z(t)2≤γω(t)2。

四、魯棒H∞控制器的設(shè)計

(15)成立

其中：

再引入矩陣T，T∈Rq×q且使得：

C2X=TC2

若(X,Y)上述不等式的任一可行解，則當(dāng)控制器增益矩陣K=YT-1時，在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下，輸出反饋容錯控制器使系統(tǒng)(1)保持魯棒漸近穩(wěn)定的。

證明：令Y=KT將(8)式左右分別乘對角矩陣diag(P-1,P-1,P-1,I,I,I,I)得下式：

(16)

將(3)(7)式代入(8)式，并根據(jù)Schur補引理得下式：

(17)

h2R-ε1EX(EX)T>0,h2R-ε2(DF0YC2)(DF0YC2)T>0,h2R-ε3(DF0LYC2)(DF0LYC2)T>0

(18)

再由schur補引理(18)式等價于下式：

R0+(B1F0LYC2)T+(B1F0LYC2)<0

(19)

(20)

其中：Δ1=B1F0YC2,Δ2=B1F0LYC2

Λ=[HT,E,HT,DF0YC2,DF0LYC2,(C1X)T,H,H,H,h2HT,h2HT,h2HT,h2HT,h2HT,h2H,B2]

由引理2知(20)等價于

R0+(B1F0JYC2)T+(B1F0JYC2)<0

(21)

由schur補引理(21)式等價于(22)式

(22)

即線性不等式(22)等價于(15)得證！

五、仿真實例

考慮系統(tǒng)(1)，其系數(shù)矩陣選取如下：

六、結(jié)論

本文研究一類分布時滯的線性不確定性系統(tǒng)，基于Lyapunov-Krasovskii泛函和自由權(quán)矩陣的方法。在執(zhí)行器發(fā)生故障的情況下，設(shè)計輸出反饋H∞容錯控制器，使得分布時滯系統(tǒng)是魯棒漸近穩(wěn)定的，并滿足H∞性能指標(biāo)。數(shù)值算例結(jié)果證明了該方法的有效性和可行性。今后將對分布時滯動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計進一步研究。