導(dǎo)數(shù)在近年高考?jí)狠S小題中的應(yīng)用

趙愛華

(新疆烏魯木齊市教育研究中心 830002)

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容.近年來，全國卷在選擇題的第12題，或填空題第16題陸續(xù)出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)壓軸小題，考點(diǎn)設(shè)置或明或暗，全面考查高中數(shù)學(xué)主要內(nèi)容.我們不妨來分類研究，以提高我們教學(xué)的針對(duì)性和有效性.

一、導(dǎo)數(shù)在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例1(2018年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第16題)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是____.

分析此題中函數(shù)是將正弦函數(shù)兩次變換相加而得，第一次縱坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，橫坐標(biāo)不變；第二次橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，縱坐標(biāo)不變.題面很熟悉，但是這個(gè)加號(hào)使得題目變得不同尋常.因此，我們考慮應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，找到極值點(diǎn)，求出極值，最后取極小值作為最小值.

評(píng)注本題屬于三角函數(shù)創(chuàng)新題，依靠常規(guī)的三角運(yùn)算和方法作答有些困難.通過邏輯推理，幾何直觀可以發(fā)現(xiàn)，本函數(shù)連續(xù)且有界.考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，把極小值轉(zhuǎn)變?yōu)樽钚≈?這里有一定的三角運(yùn)算，這些正是數(shù)學(xué)的部分核心素養(yǎng).

二、導(dǎo)數(shù)在立體幾何中的應(yīng)用

例2 (2017年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第16題)如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O．D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC、CA、AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC、CA、AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB使得D、E、F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為____.

分析連接OD，交BC于H，如圖2,設(shè)OH=x，根據(jù)各邊的長度關(guān)系確定BC，DH，求解三棱錐的高以及△ABC的面積，進(jìn)而得到三棱錐體積V的解析式.顯然三維空間帶來了高次函數(shù)，只有借助導(dǎo)數(shù)，才能確定最大值.

評(píng)注本題以立體幾何的折疊問題為背景，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.學(xué)生首先要能理解題意，合理設(shè)置變量，構(gòu)造函數(shù)，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的三大功能：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、閉區(qū)間上最值解決實(shí)際問題.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)都得到了很好地考查.

三、切線在切線問題中的應(yīng)用

例3 (2016年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第16題) 若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，b=____.

分析切線問題是導(dǎo)數(shù)中最常見最簡單的問題，但本題中公共切線把導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)和整體代換技巧融為一體，把神秘的超越方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為可運(yùn)算的簡單方程，方程組思想使待定系數(shù)法能順利實(shí)施.

解設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于P(x1，y1)，直線y=kx+b與曲線y=ln(x+1)相切于Q(x2，y2).

評(píng)注本題屬于導(dǎo)數(shù)問題中最樸素的問題，但是公切線又賦予了問題新的內(nèi)涵，融合了一些數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧，將抽象運(yùn)算變得可操作，使題目檔次上升，成為小題把關(guān)題.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)融入其中.

四、導(dǎo)數(shù)在抽象函數(shù)中的應(yīng)用

例4 (2015年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第12題)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )

評(píng)注本題是抽象函數(shù)問題，綜合考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，要求學(xué)生邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)據(jù)分析到位，數(shù)學(xué)運(yùn)算準(zhǔn)確，否則極易選成干擾項(xiàng).本題在導(dǎo)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用方面是一個(gè)很好的范例.對(duì)于這種創(chuàng)新試題，試圖通過刷題來提升水平的學(xué)生，可能感到棘手.

五、導(dǎo)數(shù)在極值問題中的應(yīng)用

分析從極值點(diǎn)、極值概念入手，從概念中抽象出數(shù)據(jù).正確理解存在性，將抽象不等式具體化，合理建模使導(dǎo)數(shù)和不等式有效溝通即可求解.

評(píng)注本題以三角函數(shù)和復(fù)合函數(shù)為背景，以存在性為依托，考查導(dǎo)數(shù)中重要概念極值、極值點(diǎn).只有概念清晰的學(xué)生才能發(fā)現(xiàn)[f(x)]2=3，以及解出極值點(diǎn).導(dǎo)數(shù)和不等式的知識(shí)巧妙結(jié)合，通過正確嚴(yán)謹(jǐn)推理，達(dá)到解決問題的目的.本題考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，是以后教學(xué)的一個(gè)很好的素材.

六、導(dǎo)數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用

例6 (2013年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷理科第16題) 等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為____.

分析題目表象考查等差數(shù)列，但是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)(公差不為0)，那么nSn就是關(guān)于n的三次函數(shù)，三次函數(shù)的最值需用導(dǎo)數(shù)求解.注意到定義域的離散型，該三次函數(shù)的極值還未必是最值，因此，還要結(jié)合單調(diào)性才能作答.

解設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則

對(duì)于nSn而言，n∈N+當(dāng)n=6時(shí)，6S6=-48，當(dāng)n=7時(shí)，7S7=-49，所以nSn的最小值為-49.

評(píng)注本題在數(shù)列、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的交匯處命題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用具有隱蔽性.考查學(xué)生是否真正掌握了數(shù)列的函數(shù)特性，否則無法抽象出這個(gè)三次函數(shù).還有三次函數(shù)求最值與數(shù)列的最值還有區(qū)別，也有聯(lián)系.這在考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)方面，是一道有高度，且高度適中的好題.

高考中導(dǎo)數(shù)的試題視角寬廣，立意新穎，年年推陳出新.選材緊扣教材，高于教材，與高中數(shù)學(xué)各分支模塊均有聯(lián)系，背景靈活多變，設(shè)問巧妙.導(dǎo)數(shù)重點(diǎn)考查通性通法，突出考查單調(diào)性、極值、最值的應(yīng)用.將“考基礎(chǔ)、考能力、考素質(zhì)、考潛能”四合一，充分體現(xiàn)了“培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”課程理念，具有較強(qiáng)的區(qū)分度，確保高校準(zhǔn)確選拔優(yōu)秀人才.