例談高考數(shù)學(xué)估算型試題解題策略

紀定春 蔣紅珠 周思波

(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068；2.廣東華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

一、估算的教育價值

精算與估算相結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要原則.估算和精算系統(tǒng)之間有著密切的聯(lián)系，相互支撐，共同發(fā)展.縱觀我國數(shù)學(xué)教育(或教學(xué))史，數(shù)學(xué)教育(或教學(xué))一直以來注重學(xué)生的精算能力的培養(yǎng)，忽略估算素養(yǎng)的形成.估算是指個體在利用一些估算策略的基礎(chǔ)上，通過觀察、比較、判斷、推理等認知過程，獲得一種概略化結(jié)果.可見，估算是一種創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)思維活動，需要學(xué)生根據(jù)已有的知識基礎(chǔ)，通過觀察、比較、判斷、推理等認知過程創(chuàng)造性地進行“粗略”計算而得出概略化結(jié)果的方法.估算不同于精算，精算是需要一定的數(shù)學(xué)符號，遵循算法和算理，按照一定的步驟得出較為精準(zhǔn)的結(jié)果，即定量分析；而估算只需要進行定性分析，得出一個“大概”或者是“粗略”的結(jié)果.高考數(shù)學(xué)估算型試題，可以有效地激活學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力具有重要的作用.本文擬以審美估算、極限估算、特殊值估算、常識性估算等策略，對近年高考數(shù)學(xué)估算型試題進行了分析與點評.

二、高考數(shù)學(xué)試題的常見估算策略

1.審美估算策略

教育部2017年版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值.可見，數(shù)學(xué)教育不僅要教會學(xué)生數(shù)學(xué)審美，更要讓學(xué)生學(xué)會欣賞數(shù)學(xué)美、創(chuàng)造數(shù)學(xué)美.正如蘇霍姆林斯基所講“沒有審美教育，就沒有任何教育”.學(xué)會審美不僅可以陶冶情操，而且能夠改善思維品質(zhì).數(shù)學(xué)中的美包括簡單美、對稱美、奇異美、和諧美等.審美估算策略，就是用數(shù)學(xué)美的眼光來欣賞、判斷、解決數(shù)學(xué)問題的一種估算方法.審美估算型試題是近年高考數(shù)學(xué)的熱點題型，值得關(guān)注.

例1(2017全國理科卷Ⅲ第11題)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點，則a=( ).

點評該試題蘊含豐富的數(shù)學(xué)美，如對稱美和簡單美，函數(shù)的圖象是高度對稱的，并且極值點恰好就在對稱軸處取得.可見，該題的設(shè)計含有“數(shù)學(xué)美”的“美育”意圖.利用二次函數(shù)的對稱性和指數(shù)函數(shù)的對稱性來估算，簡單有高效.可見，用欣賞數(shù)學(xué)美的眼光來解決高考數(shù)學(xué)試題，亦是一種有效的解題策略，若用導(dǎo)數(shù)工具來研究函數(shù)f(x)的性質(zhì)，則顯得相對繁瑣.

2.極限估算策略

極限思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，是有限到無限的橋梁，貫穿于整個高等數(shù)學(xué).高中數(shù)學(xué)也不乏極限思想的滲透，如函數(shù)單調(diào)性定義中的“任意性”，用于描述函數(shù)切線變化情況(割線的極限)的導(dǎo)函數(shù)，用有限步驟來證明無限命題成立的數(shù)學(xué)歸納法等，無不涉及極限(無限)情形.極限估算策略是一種用極限的眼光和極限的思維來觀測、估算動態(tài)最值或極值的一種策略的.極限思想具有豐富的內(nèi)涵，對處理無窮問題提供了有力的工具，同時對進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)具有重要的價值和深刻的意義.

例2(2017全國理科卷Ⅰ第10題)已知F為拋物線C:y2=4x的焦點，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C相交于A，B兩點，直線l2與C相交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的小值為( ).

A.16 B.14 C.12 D.10

思路1估算法

思路2極坐標(biāo)法

點評該試題若用直接設(shè)點求最值的方法可以做出來，但是過程繁瑣，運算量大且容易出現(xiàn)過程性失誤.利用兩條直線的互相垂直及所求，將兩條直線“運動”(極限過程)起來，定性分析兩條線段相加后所得值的一種“趨勢”，判定不可能的情況，進而作出合理的猜測和估算(估計)，這樣可以有效地提高問題解決的速率和準(zhǔn)確率.對比思路1和思路2，可以發(fā)現(xiàn)，雖然用極坐標(biāo)更簡捷地解決了該問題，但是思維量仍然不小.可見，利用極限估算策略極大地降低了思維量，這正體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)試題“多想少算”的命題原則.

3.特殊值估算策略

特殊值估算策略，就是一種在充分地挖掘題干已知條件基礎(chǔ)上，利用題的特殊性質(zhì)、特殊點、特殊值等進行推理、判斷的數(shù)學(xué)思維方法與思維活動.特殊值不僅限于有限的特殊值，可以是“無窮”的特殊值，如正無窮、負無窮.近年，高考數(shù)學(xué)選擇題就出現(xiàn)了很多關(guān)于圖象判斷的試題，這類試題在平時的檢測中較為少見，對這類題目缺乏練習(xí)和經(jīng)驗的積累，考生在考場遇到此類試題有些不知所措，因此要關(guān)注高考數(shù)學(xué)中的特殊值估算法.

例3(2016全國理科卷Ⅱ第7題)函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2,2]的圖象大致為( ).

解析由題可知，這是關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的圖象性質(zhì)判定問題，可以考慮使用特殊值估算策略.注意到特殊點“右端點”，當(dāng)x=2，估算可得y≈0.5，觀察上述四個選項，可以先排除選項A和B，選項A明顯不對.選項B的錯誤不夠明顯，仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=2時，函數(shù)值y明顯大于1，故排除選項B.對于選項C和D，由于對稱性，可以只考慮y軸右邊部分.觀察發(fā)現(xiàn)，兩個圖象的唯一區(qū)別就是兩個選項的圖象在x∈(0,2)上有無極值點，考慮用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)極值存在的情況.對x求導(dǎo)，可得y′=4x-ex，取特殊值點x=0以及x=2.可得，當(dāng)x=0時，y′=-1<0，當(dāng)x=2時，y′>0.故導(dǎo)函數(shù)y′=4x-ex在區(qū)間x∈(0,2)上有零點，故原函數(shù)存在極值點，所以排除選項C，故選D.

點評該試題主要考查函數(shù)的局部性質(zhì)和局部的圖象，具有較強的綜合性.根據(jù)當(dāng)時的考試情況，因為沒有注意細節(jié)和取特殊值進行估算，很多學(xué)生最后無法判斷選項B和選項D.選項B的判斷，充分地體現(xiàn)了特殊值估算策略的優(yōu)勢.對于選項C和D的判斷，充分地利用了導(dǎo)函數(shù)在x=0和x=2處這兩個特殊值(取x=0及x=1同樣可行).

解析顯然，可知函數(shù)f(x)的分子為奇函數(shù)，分母為偶函數(shù)，經(jīng)過復(fù)合之后，可得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故可以直接排除選項A.注意到這是判斷閉區(qū)間上函數(shù)的圖象，故可以考慮估算特殊值點x=π處f(x)的值，代入可得f(π)>0，可得選項D正確，故選D.

點評該題主要考查函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性.顯然這個函數(shù)的奇偶性隱藏得比較“深”，一般不容易察覺，從考試的情況反映出，高考中有很多考生都錯選成A，這表明很多考生并沒有判斷出函數(shù)的奇偶性.如果借助導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì)，將是困難和繁瑣的，此處用取特殊值策略對排除無關(guān)選項起到了關(guān)鍵性的作用，更好地正確解決了該問題.

4.常識估算策略

對數(shù)學(xué)的知識的認識水平，可以大致可以分為常識、理解、記憶、應(yīng)用、評價和創(chuàng)造等，評價和創(chuàng)造屬于對數(shù)學(xué)的高級認知能力.常識性知識是在生活的過程逐漸積累形成的感性經(jīng)驗，是一種不需要教的知識(不教而會的知識)，符合人們對事物認知的知識.常識估算策略就是采用數(shù)學(xué)常識、生活常識及其它常識性知識來解決數(shù)學(xué)問題的一種方式.

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

解析該題主要考查學(xué)生的閱讀理解能力、生活常識、估算能力等.最簡單的方法是“猜”，就是根據(jù)常識去“猜測”、去合理地“估算”(這里的“估算”不是統(tǒng)計中所說的“估值”)，然后再去檢驗.通過常識猜測，可直接排除選項C和D，這是因為古代人身高普遍比現(xiàn)代人身高低，斷臂維納斯作為古希臘“美”的象征，顯然不符合當(dāng)時的審美要求.對于選項A，維納斯是歐洲人(希臘人)，一般要比中國人高，故選擇B.可見猜測就是一種從“審美”和“常識”的視角出發(fā)，來推測正確答案的方式.若出于放心的選擇“猜測”，可進行驗算(粗略的估算).除了從常識的視角來解答外，還可采用估算的方式，將黃金分割數(shù)0.618近似的看成0.62或0.6來計算(估算)，這樣最大限度地可降低運算量，提高準(zhǔn)確性，同時可在估算過程中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維、數(shù)據(jù)處理能力及數(shù)學(xué)直覺思維等.選B.

點評試題以古希臘“斷臂維納斯”為背景，其設(shè)計意圖內(nèi)涵豐富，第一揭示數(shù)學(xué)中美的標(biāo)準(zhǔn)就是黃金分割；第二數(shù)學(xué)是判斷(檢驗)美的一種標(biāo)準(zhǔn)；第三具有“文化育人”的價值，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視“數(shù)學(xué)美”的滲透，進而重視數(shù)學(xué)文化的教育.高考后發(fā)現(xiàn)，本題是讓很多考生頭痛的“難題”，第一是很多考生誤認為是計算“斷臂維納斯”的身高；第二是不知道如何列式計算；第三是感到計算量太大，不知該題的本質(zhì)主要是考查估算能力；第四是題中“某人”身高是不確定的，屬于“結(jié)論開放性問題”，考生對這種開放性問題沒有在教學(xué)和訓(xùn)練范圍之內(nèi)，缺乏解題經(jīng)驗和思路.

高考數(shù)學(xué)估算型試題作為一種重要的試題類型，在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)重要的地位，估算型試題對于培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問題的能力和激活創(chuàng)造性思維具有重大的教育意義.我國數(shù)學(xué)教學(xué)歷來注重精算能力的培養(yǎng)，也注重精算能力的考查，這是必要的也是合理的，但同時要關(guān)注學(xué)生估算能力的發(fā)展，要做到數(shù)學(xué)思維“兩條腿”走路，即精算和估算協(xié)調(diào)發(fā)展.

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué).估算是通過觀察、比較、判斷、推理等認知活動過程共同協(xié)調(diào)完成的，獲得的是一種粗略化的思維結(jié)果，對降低學(xué)生的思維負擔(dān)具有重大價值，這樣可以留出更多的時間來供學(xué)生思考更有價值和意義的問題.心理學(xué)研究表明，興趣來自于對成功的體驗.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要善于抓住機會，通過估算教學(xué)來展現(xiàn)估算的魅力和神奇，讓學(xué)生在體驗成功估算的過程中激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，并在估算與精算的相互協(xié)調(diào)中，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解及數(shù)學(xué)思維的形成.