高三復(fù)習(xí)專題
——概率統(tǒng)計(jì)解答題

梁麗怡

(佛山市第三中學(xué) 廣東佛山 528000)

關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的專題復(fù)習(xí)，高水平的學(xué)校更多的是放手讓學(xué)生刷題，因?yàn)楸旧韮?nèi)容難度不大，但是隨著閱讀量的增大，動(dòng)輒幾百字的文章讓人云里霧里，加之繁雜的計(jì)算，這些都是失分的原因。針對(duì)以上兩大問(wèn)題，筆者在今年備考中，對(duì)概率統(tǒng)計(jì)這一部分中常失分的兩類題型作了以下分析：

一、決策問(wèn)題

在此類型問(wèn)題中，閱讀量較大，涉及社會(huì)的各項(xiàng)措施，和實(shí)際生活聯(lián)系緊密，具有重要的應(yīng)用意義。決策問(wèn)題實(shí)際是在不同的情況下進(jìn)行分析計(jì)算，實(shí)際上就是分段函數(shù)，通過(guò)分段計(jì)算從而達(dá)到利益最大或者損耗最小的目的，實(shí)際應(yīng)用性很強(qiáng)。這也是學(xué)生最陌生、最無(wú)從下手的類型。

例（2016 全國(guó)1 文18）：

某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰。機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元。在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元?，F(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元，n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù)）

（I）若n=19，求y與x的函數(shù)解析式；

（II）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；

（III）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？

解：（Ⅰ）當(dāng)x ≤1 9 時(shí)，y=3 8 0 0；當(dāng)x ＞1 9 時(shí)，y=3800+500(x-19)=500x-5700，所以y與x的函數(shù)解析式為

（Ⅱ）由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19。

學(xué)生在閱讀時(shí)受到x，y，n多個(gè)自變量的影響，搞不清楚x，y之間是分段函數(shù)的關(guān)系。此時(shí)先讓學(xué)生在“現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件”這句話中體會(huì)到是決策問(wèn)題，分段的原因是買多了備件可能會(huì)造成浪費(fèi)，但買少了卻需要更高的單價(jià)購(gòu)買零件。那么應(yīng)當(dāng)是根據(jù)三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)的調(diào)查結(jié)果計(jì)算所需費(fèi)用的平均數(shù)，比較大小后便可做出決策。第（1）問(wèn)中n=19，則x≤19是費(fèi)用就只是原件和備件的總和；如果x＞19，則需要增加另外購(gòu)買的易損零件數(shù)的費(fèi)用，而購(gòu)買數(shù)目是x-19。其實(shí)這也是商家的常用促銷手段，比如說(shuō)商品的售后期隨著費(fèi)用增長(zhǎng)而延長(zhǎng)。教學(xué)時(shí)多舉例，才能讓學(xué)生體會(huì)到概率統(tǒng)計(jì)是和實(shí)際生活密不可分的。

二、線性回歸問(wèn)題（非線性回歸問(wèn)題）

回歸問(wèn)題往往要計(jì)算回歸直線的斜率和截距，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，條件會(huì)有參考數(shù)據(jù)，但可能有些是與題目無(wú)關(guān)的，這就需要學(xué)生在運(yùn)算中注意等價(jià)代換，尤其是非線性回歸問(wèn)題有換元這步，更要注意這點(diǎn)。

例：某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)xi（單位：千元）對(duì)年銷售量yi（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值。

?

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u1v1），（u2v2）…（unvn），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：

（Ⅱ）對(duì)于非線性擬合問(wèn)題，先作出散點(diǎn)圖，再根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè)出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計(jì)算方法計(jì)算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可求出非線性回歸方程，關(guān)鍵在于換元的正確與否。

在第二問(wèn)中，我們只需要找到對(duì)應(yīng)變量進(jìn)行換元，便可以輕松代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)。因?yàn)轭}目和對(duì)應(yīng)的公式間需要轉(zhuǎn)化的字母有四對(duì)，所以學(xué)生公式代入時(shí)會(huì)比較混亂。可以用圖示表達(dá)v=y，c=α，u=，β=d，這樣每一步轉(zhuǎn)化都會(huì)很清晰。