線段和最值問題解法探討

唐巧莉

[摘要]線段和最值問題是中考常見的問題類型.其中“a+k·b”型屬于較為復(fù)雜的一種，由于系數(shù)的存在，解析時(shí)需要對(duì)其適度變形，轉(zhuǎn)化為一般的線段最值問題，然后按照常規(guī)方法來突破.

[關(guān)鍵詞]線段;最值;模型

[中圖分類號(hào)]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A? [文章編號(hào)]1674-6058（2020）02-0018-02

中考題中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)一些線段最值問題，包含單線段最值和多線段最值問題.有的還涉及系數(shù)的線段和最值.問題的類型不同，在探究分析時(shí)使用的問題模型、方法和策略也不相同.下面筆者對(duì)其中的一類問題加以探究.

一、問題呈現(xiàn)，思路突破

[題目]（2019年江蘇南通市中考數(shù)學(xué)卷第18題）如圖1所示，在ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，點(diǎn)P是邊CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求的最小值.

分析：此題以平行四邊形為背景，求線段和的最小值.主要考查平行四邊形的性質(zhì)和線段最值的轉(zhuǎn)化，屬于涉及系數(shù)的線段和最值問題，即“a+k·b”型的線段最小值問題.求解時(shí)需要對(duì)其中的進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用共線原理確定動(dòng)點(diǎn)位置，從而完成求解.

解：對(duì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.依托邊PD構(gòu)造直角，延長邊AD，過點(diǎn)P作AD邊上的垂線，垂足為點(diǎn)Q，如圖2所示.分析可知∠QDP=60°，所以.因此可以將問題轉(zhuǎn)化為求解PB+PD的最小值.顯然當(dāng)點(diǎn)B、P、Q三點(diǎn)共線時(shí)，可以取得最小值，此時(shí)線段BQ⊥AD，則最小值為，即的最小值為.

二、問題溯源，模型提煉

1.問題溯源

實(shí)際上，上述考題源自于蘇教版教材八年級(jí)下冊(cè)中的“胡不歸”問題：從前有一個(gè)在A地當(dāng)學(xué)徒的小伙子，得知家鄉(xiāng)B地年老的父親病危的消息后，便向掌柜請(qǐng)假啟程趕回家.如圖3所示，AC是一條驛道，而驛道靠近目的地B的一側(cè)是沙礫地帶，由于急切回家，小伙選擇了全是沙礫的直線路徑AB.由于他認(rèn)為走近路必然可以省時(shí)間，當(dāng)他趕回家時(shí)，父親剛剛過世.鄰居告訴他，他的老父親在彌留之際，不斷喃喃叨念：“胡不歸？胡不歸？……”鄰居用很可惜的語氣問道：“你為什么不先沿驛道走一段呢？”這就是“胡不歸”問題.

針對(duì)上述問題，有如下思考：應(yīng)該怎么選擇才可以更快到家？由該問題可以生成如下數(shù)學(xué)問題：設(shè)他在驛道上行走的速度為?₁，在沙礫上行走的速度為?₂，且兩者之間有?₁=2?₂關(guān)系.如圖4所示.設(shè)由點(diǎn)A到點(diǎn)B用時(shí)為t₁，由點(diǎn)A到點(diǎn)C再到點(diǎn)B用時(shí)為t₂，則，則問題轉(zhuǎn)化為比較t₁和t₂的大小，對(duì)于后者需要分析的最小值，當(dāng)取得最小值時(shí)，t₂必然取得最小值.

的最小值求解，涉及A、B、C三點(diǎn)，需要對(duì)其中的進(jìn)行轉(zhuǎn)化.可以聯(lián)想直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，作∠DAD'=30°，然后構(gòu)造直角三角形ACE，如圖所示，則，問題轉(zhuǎn)化為求CE+BC其中點(diǎn)C是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).顯然當(dāng)E，C，B三點(diǎn)共線，且BE垂直于AD'時(shí)，CE+BC取得最小值.

2.模型提煉

從上述問題突破的策略中可以形成如下“胡不歸問題”數(shù)學(xué)模型.如圖5所示，點(diǎn)P是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是直線外的一個(gè)定點(diǎn)，試求PB+k·PA的最小值（0

三、問題拓展，深度探究

1.“胡不歸”問題

“胡不歸”問題出現(xiàn)的形式是多樣的，除了上述的純幾何形式外，還常結(jié)合函數(shù)出現(xiàn).

[例1]在如圖6所示的直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為，與x軸相交于B和C，與y軸相交于點(diǎn)A.已知點(diǎn)N（-2，）是拋物線上的一點(diǎn).試分析在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得可以取得最小值.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)以及最小值.

解析：在y軸上取一點(diǎn)F，使得∠OCF=30°，然后過點(diǎn)N作CF的垂線，垂足為點(diǎn)H，如圖7所示，則.則當(dāng)點(diǎn)N、Q、H三點(diǎn)共線，且NH⊥CF時(shí)，可取最小值.利用點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線CF和NH的解析式，聯(lián)立可求得交點(diǎn)，且NH=3，即當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-1，0）時(shí)，可取得最小值3.

2.“阿氏圓”問題

形如“a+k·b”型的線段最小值問題，在初中數(shù)學(xué)中較為常見.除了上述所提到的“胡不歸”問題外，還有“阿氏圓”問題.該問題的突破需要利用阿氏圓定理，其中動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓或圓弧.

[例2]如圖8-1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，與線段BC相切，已知點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)連接PB、PC，試求的最小值.

解析：點(diǎn)P的軌跡為圓，需要對(duì)其中的進(jìn)行轉(zhuǎn)化.分析可知，的半徑為，在AB上取一點(diǎn)Q，如圖8-2，從而構(gòu)造△APQ?△ABP，根據(jù)相似性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得出AQ=1，可定位點(diǎn)Q的位置.連接CQ，與的交點(diǎn)就為取得最小值時(shí)的點(diǎn)，設(shè)為P'，在Rt△AQP'中，AQ=1，AC=2，所以，即的最小值為.

總結(jié)：上述是“阿氏圓”問題的解析過程，對(duì)于該類問題的求解可以按照如下步驟進(jìn)行.求圖8-3中“PC+k·PD”的最小值，首先確定動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，連接線段兩

個(gè)端點(diǎn)與圓心，即圖中的OP和OD，并計(jì)算兩者的長度，以及線段比，然后在OD上取一點(diǎn)M使得，從而完成線段的長度轉(zhuǎn)化.連接CM，則與圓O的交點(diǎn)就為取得最小值時(shí)點(diǎn)P的位置.從整個(gè)轉(zhuǎn)化過程來看，利用到了三角形相似的性質(zhì).

四、解后反思

上述是以一道“胡不歸”問題為例，對(duì)涉及系數(shù)的線段和最小值問題進(jìn)行探究，并對(duì)兩種問題模型進(jìn)行了總結(jié)歸納，其解析思路具有一定的參考價(jià)值.

1.問題溯源，重視數(shù)學(xué)教材

“胡不歸”問題屬于幾何最值綜合題，從其設(shè)計(jì)思路以及突破方法來看，嚴(yán)格遵循教材的考查要求和思想.即以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)，開展例題的變式拓展，注重基礎(chǔ)知識(shí)和綜合應(yīng)用能力的考查.新課標(biāo)特別強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)應(yīng)用和變式探究.因此開展考題探究，應(yīng)首先追溯問題本源，結(jié)合教材例題來提煉問題模型及解法思路，從而使學(xué)生對(duì)考題的圖形結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)原理有一個(gè)充分的了解.另外，以教材習(xí)題為基礎(chǔ)開展考題探究，可以充分發(fā)揮教材的核心價(jià)值，完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.類型變式，提升數(shù)學(xué)思維

開展考題探究的意義是為了實(shí)現(xiàn)“解一題，通一類即通過對(duì)典型考題的結(jié)構(gòu)分析、模型提煉、思路總結(jié)，提升學(xué)生的理解能力，讓學(xué)生掌握類型考題的解法，并促進(jìn)其思維的發(fā)展.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師要進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)該類型考題的解題思想、方法步驟，實(shí)現(xiàn)問題的模式化、系統(tǒng)化，從而幫助學(xué)生建立直達(dá)問題本質(zhì)的思維通道，提升學(xué)生的解題能力.

3.滲透思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)

上述開展線段和最值問題的探究中使用到了線段等長轉(zhuǎn)化的方法，實(shí)際上其突破過程還利用了眾多的數(shù)學(xué)思想，如化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合和模型思想.正是在數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下完成了分析、求解.因此，在平時(shí)的教學(xué)中，教師要有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)的思想方法，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵和價(jià)值，逐步掌握數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

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