大數(shù)據(jù)背景下神經(jīng)元復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步轉(zhuǎn)遷數(shù)值設(shè)計探討①

(湄洲灣職業(yè)技術(shù)學院,福建 莆田351254)

0 引 言

在神經(jīng)系統(tǒng)中時滯是不可消除的，因為在神經(jīng)突觸信號傳導(dǎo)時，兩端的傳播速度都是有限的，所以突觸傳遞有延遲。時滯會破壞同步狀態(tài)和誘導(dǎo)半規(guī)則波動狀態(tài)，誘發(fā)各種時空模式和多隨機共振，并增強螺旋波的相干性。近年來，在神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中時滯引起的同步轉(zhuǎn)遷，吸引越來越多專家學者的研究興趣。研究發(fā)現(xiàn)，時滯可誘導(dǎo)兩個耦合的快速增強神經(jīng)元和Rulkov地圖小世界神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步轉(zhuǎn)遷，并且可以間歇性地誘導(dǎo)無規(guī)則的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步轉(zhuǎn)遷。總而言之，時滯能誘導(dǎo)復(fù)雜的動力學演化和同步轉(zhuǎn)遷模式。另外，曾翰旻等人(2017)提出解決神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)比例非線性耦合問題，可以通過時間變量指數(shù)變換的方式來解決[1]。王燕鋒等人(2018)提出利用網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)移概率的不確定特性，通過積分的方式減緩網(wǎng)絡(luò)遲滯性[2]。張崢等人(2017)從網(wǎng)絡(luò)拓補角度出發(fā)，選擇恰當方法實現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步控制[3]?；诖?，可以看出，建立同步轉(zhuǎn)遷的耦合系統(tǒng)可以幫助我們分析信道噪聲增強行為與時滯的相互作用。

1 神經(jīng)元復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

1.1 方程式

根據(jù)HH神經(jīng)模型，動態(tài)膜電位V(t)可以被描述為如公式1所示：

gL(V-VL)+I(t)

(1)

其中的常量gNa=120ms/cm2，gK=36ms/cm2，gL=0.3ms/cm2分別是鈉、鉀的最大電導(dǎo)率以及泄電導(dǎo)率。C=1μF/cm2是膜電容；VNa=50mV，VK=-77mV，VL=-54.4mV分別是鈉、鉀、泄電導(dǎo)的逆轉(zhuǎn)勢。假設(shè)一個周期性的刺激I=sin(0.3t)，這是一個閾下刺激以及如果內(nèi)部通道噪聲沒有加入到計算中，則不引發(fā)動作電位。根據(jù)HH的成果，控制變量m，h和n描述的是鈉離子和鉀離子打開通道大門的平均比率，以及因變量n4，m3h是打開帶有薄膜片的鉀和鈉的通道的平均部分?？紤]到通道噪聲，隨機控制變量m，h和n服從下列朗之萬方程如公式2-4所示：

(2)

(3)

(4)

其中壓敏電阻器開合過渡率如公式5-10所示：

(5)

βm(V)=4exp[-(V+65)/18]

(6)

αh(V)=0.07exp[-(V+65)/20]

(7)

(8)

(9)

βn(V)=0.125exp[-(V+65)/80]

(10)

其中ξi=m,h,n(t)是高斯白噪聲，其值約等于0以及自相關(guān)函數(shù)〈ξ(t)iξ(t')i〉=Diδ(t-t')。Di=m,h,n代表有效通道噪聲的強度，如公式11-13所示：

(11)

(12)

(13)

所有涉及鉀和鈉離子通道的數(shù)字分別由NNa和NK調(diào)節(jié)。假設(shè)例子通道密度均勻，其中ρNa=60μm-2以及ρK=18μm-2，離子通道數(shù)是由NNa=ρNaS和NK=ρKS得出的，S是模塊的體積[4]。

現(xiàn)在，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的耦合的HH神經(jīng)元的膜電位動力學如公式14-15所示：

(14)

(15)

其中x=m,h,n和1≤i≤N。這里N是神經(jīng)元的個數(shù)，τ是時滯在公式1-15構(gòu)成的HH網(wǎng)絡(luò)模型中。在耦合項∑jεij[Vj(t-τ)-Vi]，Vi是第i個神經(jīng)元在時間t的膜電位，Vj(t-τ)是第j個神經(jīng)元在時間t-τ的膜電位，其中τ是時滯；1≤(i,j)≤N，其總和要超過具有的神經(jīng)元的總和。εij是兩個神經(jīng)元i和j之間的耦合常數(shù)，它是由系統(tǒng)的耦合模式定義的，對任意兩個神經(jīng)元都是相同的，換而言之，就是εij=ε。如果神經(jīng)元i和j連接在一起，他們有一個恒定的耦合強度ε=0.1；否則ε=0。

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

這里所用的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是根據(jù)論文構(gòu)建的。它是從一個存在60個相同的HH神經(jīng)元的常規(guī)環(huán)開始的，每一個神經(jīng)元有兩個最近的鄰居。連接隨機的在兩個不是最近的頂點之間添加。在極限的情況下，所有的神經(jīng)元都和其它的神經(jīng)元是耦合的，整個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包括N(N-1)/2條連接線。用M表示連接線的數(shù)量，連接線數(shù)量是由p=M/[N(N-1)/2]給出的，其中p可以用來描述網(wǎng)絡(luò)的隨機性。請注意由p確定網(wǎng)絡(luò)中連接的數(shù)量[5]。

引進標準差σ來測量空間同步的定義如公式16所示：

σ=[〈σ(t)〉]

(16)

其中〈·〉表示超出時間的均值，[·]表示對于每一個p，超過50個不同網(wǎng)絡(luò)的均值。σ(t)值是測量在確定的時間t，神經(jīng)元空間同步的峰值。σ值越小表示有更多的同步行為。

公式14及15運用歐拉方法在間隔為0.001ms進行運算得到數(shù)值結(jié)果。利用周期性邊界的條件，所有神經(jīng)元的各個參數(shù)都完全相同除了不同初始值的電勢Vi0和每個神經(jīng)元的噪聲。對每一個ξi(t)，模擬運算平均超過50個網(wǎng)絡(luò)間的連接，在每一個網(wǎng)絡(luò)間的連接60個神經(jīng)元的膜電位的初始值都是隨機選取的。

1.3 狄波拉函數(shù)

原始定義：以坐標x為自變量的并且同時滿足下列兩個條件的實函數(shù)δ(x)稱之為δ函數(shù)，如公式17所示：

(17)

除了上述原始的定義之外，δ函數(shù)還有另外一些表述方式。

導(dǎo)數(shù)形式

若已知階梯函數(shù)如公式18所示：

θ(x)=0,(x<0)
θ(x)=1,(x>0)

(18)

則容易驗證θ(x)的一階導(dǎo)數(shù)θ′(x)剛好滿足公式17的兩個條件，于是如公式19所示：

δ(x)=θ′(x)

(19)

積分形式

將δ(x)向波數(shù)k的本證波函數(shù)展開，即如公式20所示：

(20)

展開系數(shù)如公式21所示：

(21)

將上式代入公式20，立即得到δ(x)的一種最常用的形式，如公式22所示：

(22)

2 實驗?zāi)M

2.1 Matlab運行結(jié)果與分析

隨著耦合概率p增加，σ的值越來越小，綜合所有得出圖像的特征，時滯τ大小的變化不影響這個結(jié)論。說明隨著耦合概率p的增加，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步性越強。

耦合概率p一定，當τ≤6時，隨著時滯τ的增加，σ的值越來越大；當τ=6時，σ的值變化是相對τ為其他值時最大的；當τ=7時，σ值到達一個峰值；當τ>7時，σ的值越來越小。這些差異顯示了時滯對不斷變化的隨機網(wǎng)絡(luò)同步的影響。同時也可以得出當τ<7，同步減少，當τ>7，同步增加。綜合這兩種現(xiàn)象，在τ等于5至10之間，σ隨著p函數(shù)變化，意味著在τ大約等于8時，神經(jīng)元可能會出現(xiàn)一個特定的同步行為[6]。

在沒有時滯的情況下(即τ=0)，神經(jīng)元表現(xiàn)出SS行為。當考慮到時滯τ，并且隨著τ的增加，SS先減少(如τ=3)，并在τ約等于7時，發(fā)生APS行為，在τ=8或τ=9時，有時也會出現(xiàn)APS現(xiàn)象。但是與整個現(xiàn)象相比較，APS這時已經(jīng)差不多消失了，并且在τ=10時，類SS現(xiàn)象再次出現(xiàn)。

在τ=7時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)發(fā)生同步轉(zhuǎn)遷行為；當τ<7時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)簇同步；當τ>7時，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)峰同步。可以得出結(jié)論，神經(jīng)元活動的信息傳輸延遲引起的APS行為是由于時間延遲和網(wǎng)絡(luò)上的所有的單個神經(jīng)元的尖峰期間之間的鎖定。

2.2 APS結(jié)果分析

運用數(shù)值研究了時滯τ對紐曼瓦特網(wǎng)絡(luò)中隨機HH神經(jīng)元的同步的影響，調(diào)查信道噪聲對它的影響?？梢园l(fā)現(xiàn)，當τ增加，神經(jīng)元表現(xiàn)出從SS狀態(tài)轉(zhuǎn)換到APS狀態(tài)進一步又轉(zhuǎn)換到增強SS狀態(tài)。對于不同大小的塊，隨機的網(wǎng)絡(luò)，以及耦合強度，類似的同步轉(zhuǎn)遷和APS行為幾乎總是發(fā)生在時滯τ約=4時，這表示在信道的噪聲，隨機連接的數(shù)量，以及連接強度的影響下，由時滯引起的同步轉(zhuǎn)遷依然是健壯的。這個結(jié)果有助于我們理解時滯的影響以及在隨機HH神經(jīng)元發(fā)生增強行為時，信道噪聲和時滯之間的相互作用。實驗研究表明，峰同步可以在運動皮層神經(jīng)元被觀察到，并且它可以促進認知運動過程的皮層組織活動。這些事實表示，不同類型的峰同步對在大腦中的信息處理有不同的影響。因此，研究結(jié)果提供了信道噪聲和時滯對大腦中信息處理影響的新的認識。APS行為幾乎總是發(fā)生在時滯τ約等于7時，APS行為沒有預(yù)期的明顯。其他結(jié)論與理論結(jié)果基本一致。

2.3 歐拉算法的誤差

歐拉方法的局部截斷誤差如公式23所示：

(23)

由于迭代運算的次數(shù)很多(幾十萬至幾百萬次)，誤差的累積將會擴大，所以當時滯τ越大時，得到的結(jié)果誤差就越大，影響了最后的結(jié)果。數(shù)據(jù)初始化不一樣，可能得到的結(jié)果也不一樣。由于計算機運算能力差，運算幾百萬次需要一天，當取多個網(wǎng)絡(luò)的平均值時，需求的運算時間就特別長。針對問題的算法復(fù)雜度過高，導(dǎo)致需要運行更多的次數(shù)才能得出結(jié)果。

3 結(jié) 論

研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以使人們更好地了解現(xiàn)實世界的復(fù)雜系統(tǒng)，從而為設(shè)計具有良好性能的網(wǎng)絡(luò)提供理論依據(jù)，同時復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的理論成果將廣泛地應(yīng)用到機器人、自動控制、生物、計算機、經(jīng)濟等領(lǐng)域。通過對隨機霍奇金-赫胥黎(HH)神經(jīng)元建立模型，探究了紐曼瓦特網(wǎng)絡(luò)同步增強受時滯影響的情況。目的是提高人們對信道噪聲在增強時與時滯之間相互作用的認識，從而為減弱螺旋波的相干性提供理論基礎(chǔ)。