關(guān)注數(shù)學(xué)思考讓運籌優(yōu)化思想落地生根

蘭子君執(zhí)教 張麗穎設(shè)計整理

議課人員：張麗穎名師工作室 蘭子君 郭海燕 道盛琴 馮玉嬌 秦桂霞 王麗霞 田 璐 王麗媛 劉 麗 高 燕

指導(dǎo)專家：秦皇島市海港區(qū)教師發(fā)展中心 張麗穎

課堂展示

一、游戲引入（說反話游戲）

師:同學(xué)們喜歡玩游戲嗎？今天我們玩?zhèn)€“說反話”的游戲。

（師生輕松愉快地玩起游戲，忽然教師故意大聲地說：“我是男的?！保?/p>

生:（憋了半天）我是女的。（笑聲四起。）

師:誰愿意再來和老師比試比試？（氣氛開始活躍，教師有意找了個女生。）

師:我越長越漂亮。

生：（很無奈地）我越長越丑陋。

師:剛才同學(xué)們都笑了，但笑過以后要有思考。你們有沒有發(fā)現(xiàn)，剛才的游戲在玩的過程中有一個人始終占著便宜。是誰呀？（生齊喊：老師?。?/p>

師:剛才都是老師先說，這樣很容易把你們逼到不好回答的境地，想不想反一下？

（學(xué)生紛紛站起來比拼，屢屢讓老師陷入尷尬境地，學(xué)生已相當(dāng)興奮，完全沒有了課前的緊張。）

師:看來呀，在玩游戲的時候，有時先說和后說結(jié)果會截然不同。我們再來玩?zhèn)€游戲，好嗎？

二、探究策略（撲克牌比大?。?/h3>

1.明確規(guī)則。

兩組牌，一組是紅桃9、7、4，一組是黑桃8、5、3，紅桃比黑桃相應(yīng)的牌稍大些（把牌貼到黑板上）。游戲規(guī)則：兩人各選一組牌；每人每次出一張牌，各出三次，每張牌只能出一次，誰出的牌點數(shù)大誰贏；第一場誰先出，后面兩場還是誰先出；三局兩勝。

2.獲勝——靠實力。

師:兩組牌，讓你們先選擇，你們選哪組？

（學(xué)生異口同聲：“9、7、4?！苯處熥穯枺骸盀槭裁?？”學(xué)生回答：“第一組點數(shù)大，獲勝機會大?！保?/p>

師:果真這樣嗎？我們試一試。

（教師出8、5、3，學(xué)生出9、7、4，學(xué)生3∶0獲勝。）

師:看來選擇大牌確實占優(yōu)勢。

3.獲勝——靠對策。

（1）組內(nèi)比試討論。

師:這次我先選牌，我選紅色的三張大牌，你們拿黑色的三張小牌，還有辦法獲勝嗎？怎樣出牌，才能獲勝？（學(xué)生獨立思考。）

師:已經(jīng)想到小牌獲勝的同學(xué)拿小牌，還沒想到的同學(xué)拿大牌，同桌之間過過招，在過招的同時互相討論、研究。（同桌比試，思考討論。）

（2）現(xiàn)場比試啟思。

師:現(xiàn)在，哪個同學(xué)能夠自信地說“我拿小牌也能打敗對手”，請舉手！請同學(xué)們邊見證邊思考：他用什么辦法以弱勝強？

（教師故意設(shè)陷阱：“你拿小牌，請你先出，好吧？”學(xué)生不中計：“不，請老師先出?！苯處煶?，學(xué)生出3。）

師:第一局你就輸給我了，請問你現(xiàn)在要不要投降？下面的同學(xué)有誰知道，他為什么不投降？（學(xué)生紛紛舉手發(fā)言，表示后面8 比7 大，5 比4 大，三局兩勝。）

師:我明白了，他第一局輸給老師是有目的的，目的是什么？

生:用他最小的牌輸給你最大的牌。之后，他剩下的兩張牌都比你大，就能贏兩局。

師:我拿大牌怎么就輸啦，我不服，我還要跟你再比一場。（教師出4，學(xué)生出5；教師出9，學(xué)生出3；教師出7，學(xué)生出8。學(xué)生2∶1獲勝。）

師:明白了，他這叫用最小的代價換取最大的利益?？雌饋?，選擇小牌也能戰(zhàn)勝對手。在對抗競爭中開動腦筋尋求最優(yōu)方法以戰(zhàn)勝對手，這就是對策！剛才你們用實力弱的小牌戰(zhàn)勝老師，靠的就是對策！

（3）探究以弱制強。

師：剛才以弱勝強的對策中哪一局最為關(guān)鍵？為什么這一局最關(guān)鍵？最關(guān)鍵的這一局厲害在哪兒？（學(xué)生一致認為3 對9 最關(guān)鍵，只要把大牌的9對掉了，就能2∶1獲勝。）

師：我明白了。當(dāng)我出9 的時候，你們無論出幾都是輸，所以干脆犧牲最小的3，浪費掉我最厲害的9，用最小的代價損失掉我最強的力量，用暫時的失利換取后兩局的勝利！這就是古人常說的“以弱制強”！

（4）探究后發(fā)制人。

師:你們會全盤考慮、以弱制強，就一定能取得整體勝利嗎？

生:我知道，我知道，必須老師先出牌！

師:如果大牌不先出牌，小牌還能以弱勝強嗎？（學(xué)生紛紛搖頭，表示小牌先出的話，大牌每一局都可以出一張大過小牌的，大牌肯定完勝。）

師:必須想法讓對手先出牌，然后在知己知彼的情況下，后發(fā)制人，取得整體勝利！

（5）探究實力相近。

師:有了知己知彼、后發(fā)制人、以弱制強，弱者就一定能取得勝利嗎？如果老師把小的這組牌繼續(xù)調(diào)小，比如把8、5、3 換成6、5、3，還是大牌先出，小牌還能勝嗎？為什么？（學(xué)生悟到只有一張6 大過對方4，無法取勝。）

師:如果非要把小牌調(diào)小，你們覺得可以調(diào)小幾張？調(diào)哪幾張？（學(xué)生積極思考，交流并達成共識。明確只能把3 調(diào)小，另兩張必須保證大于對方的4和7。）

師:通過剛才的思考，你們覺得要想以弱勝強，除了后發(fā)制人、以弱制強這兩招外，弱者還必須滿足什么條件？（學(xué)生悟到小牌不能太弱，至少有兩張大于大牌。這就是“實力相近”。）

三、解讀經(jīng)典

1.引導(dǎo)審題，理解問題解決的條件。

師：老師特別佩服你們，在玩牌游戲中不知不覺就研究了一門重要的學(xué)問——對策問題。剛才用小牌戰(zhàn)勝大牌就是對策問題的一種——以弱勝強。對策思想在我國源遠流長，著名的歷史故事《田忌賽馬》就運用了這一思想。下面就讓我們穿越時空，回到二千多年前的戰(zhàn)國時期，去看一看古人是如何運用這一對策的，好嗎？（課件出示《田忌賽馬》課文，學(xué)生獨立閱讀。）

師:根據(jù)課文提供的信息，你們能用數(shù)學(xué)符號把雙方的賽馬按照戰(zhàn)力從強到弱進行排序嗎？試一試。（學(xué)生獨立嘗試，然后交流。）

生1:齊上>田上>齊中>田中>齊下>田下。

生2:A>a>B>b>C>c。

師:大小寫的字母分別表示什么？A>a，B>b，C>c，是根據(jù)什么知道的？a>B，b>C，又是根據(jù)什么知道的？（學(xué)生結(jié)合課文內(nèi)容分析。）

師:分析問題首先必須明確并理解條件。齊王和田忌六匹馬的戰(zhàn)力排列與我們六張撲克牌的實力排列是一樣的。實力相差不太懸殊，這是孫臏后面決策的前提條件。

2.類比溝通，理解賽馬策略。

師:第二次比賽孫臏戰(zhàn)勝齊王的對策和你們用小牌戰(zhàn)勝大牌的對策有什么相通之處？（因為有前面的閱讀討論，學(xué)生很順利做出分析：都是在實力相近的情況下，采用了后發(fā)制人、以弱制強的策略，從而取勝。）

3.猜想驗證說理，探究對策是否唯一。

師:假設(shè)驕傲的齊王一直按上、中、下的順序出馬，孫臏想到的這種策略是不是唯一能贏齊王的對策呢？（出示對陣表格）

第一場第二場第三場齊王田忌A C B A C B勝負——田忌2勝1負

（學(xué)生意見不一。）

師:看來取勝對策是否唯一，大家有不同看法。那么田忌總共有多少種可采用的對策呢？你是怎么想的？（學(xué)生出現(xiàn)兩種意見，9種和6種。）

師:到底是9 種還是6 種，只要把各種對策一一寫出來就知道了。聯(lián)想搭配知識中的有序思考策略，認真填一填。（學(xué)生獨立完成課本中表格，然后交流。課件完成填表。）

4.深度思考，體悟博弈。

師:如果齊王按上、中、下的順序出馬，田忌共有6種應(yīng)對策略，這6種應(yīng)對策略中只有一種能贏齊王。也就是說田忌獲勝的可能性只有六分之一。為什么獲勝的可能性很小，孫臏卻胸有成竹呢？

生:因為齊王正在得意忘形之際，以為自己實力強必勝，還是按上中下的順序出馬。

師:這就叫知己知彼。就好比玩“石頭、剪刀、布”，田忌看到了對方出什么才出手。（學(xué)生笑了起來。）

師：問題又來了——如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎？贏的可能性有多大呢？我們來試一試。（將上面表格的第一行改成C、B、A，根據(jù)學(xué)生回答完成填表。）

師:齊王按下、中、上的順序出馬，田忌按方案3出馬可以獲勝，獲勝的可能性還是——

生（齊）:六分之一。

師:像這樣在了解對方出馬順序的前提下，按順序列出自己可以采用的所有方案再一一進行分析，從中找到能夠戰(zhàn)勝對手的最合理行為方案也就是最優(yōu)方案的過程，就是優(yōu)化！沏茶問題我們研究的是程序的優(yōu)化，烙餅問題我們研究的是空間的優(yōu)化，而今天的田忌賽馬我們研究的是出馬順序的優(yōu)化。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是不斷尋找解決問題方法，并努力尋求最優(yōu)解決方法的過程。

四、應(yīng)用拓展

1.拍球比賽。

（教材107頁第3題）學(xué)生獨立思考后交流。

2.游戲——取撲克。

游戲說明：10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取2 張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝。請仔細思考必贏策略，并用你喜歡的方式表示出來。

改變游戲規(guī)則：10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取1 張或2 張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝。（先獨立思考，再同桌過招，最后學(xué)生打擂，啟發(fā)思考，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。）

議課現(xiàn)場

議題一：《田忌賽馬》這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)涵是什么？

張麗穎：要上好課，首先必須把握教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)。今天我們就子君老師《田忌賽馬》一課，談?wù)勥@節(jié)課的教學(xué)內(nèi)涵是什么？

蘭子君：《田忌賽馬—對策問題》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級上冊第八單元數(shù)學(xué)廣角的第三課時。本單元共編排了3個例題。例1沏茶問題，思考怎樣合理安排沏茶的各個環(huán)節(jié)才能讓客人盡快喝上茶，其中“合理”“省時”是優(yōu)化沏茶各程序的思考角度；例2 烙餅問題，在探究烙3 張餅怎樣省時的基礎(chǔ)上，探索烙更多張餅的最優(yōu)方法和策略，探究其中的規(guī)律且明確道理；本課時“田忌賽馬”是歷史上“以弱勝強”的經(jīng)典案例，它是在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)廣角“搭配”的基礎(chǔ)上進行教學(xué)的，意在引導(dǎo)學(xué)生通過簡單的事例，借助有序思考尋找多種解決問題的方案，之后探尋最佳策略，體會運籌優(yōu)化思想在解決實際問題中的作用。

王麗霞：本單元的副標題“優(yōu)化”，本是各行各業(yè)的共同追求，在數(shù)學(xué)中“優(yōu)化”也具有非常豐富的含義，本單元集中體現(xiàn)運籌學(xué)的“最優(yōu)化”思想。3 個例題各有側(cè)重，其中例1 沏茶問題、例2 烙餅問題運籌內(nèi)涵屬于規(guī)劃論。例3“田忌賽馬”以弱勝強通常被認為是博弈論問題。3 個例題的核心目標都是讓學(xué)生感受并初步理解運籌優(yōu)化思想。運籌是優(yōu)化的前提，運籌的本質(zhì)是各種數(shù)量關(guān)系和空間形式的分析、梳理、統(tǒng)籌與推理建模的過程。因此，本單元的教學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力與模型思想也是極為有益的。

王麗媛：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)所需的數(shù)學(xué)知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的作用?！边@樣的描述明確了我們作為數(shù)學(xué)教師的任務(wù)，也指出了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)?！短锛少愸R》學(xué)習(xí)后要給學(xué)生留下些什么呢？是從不同角度分析問題、周密思考的思維品質(zhì)，是在所有可能采取的策略中甄選最優(yōu)策略的能力，是對運籌優(yōu)化思想的感悟和理解。

議題二：如何讓《田忌賽馬》這節(jié)課上得既有意義又有意思？

張麗穎：關(guān)于《田忌賽馬》，歷來有兩種設(shè)計：一是遵循教材，由田忌賽馬的故事（大多是視頻）引入，然后圍繞“田忌采用的策略是否是唯一能贏齊王的策略”這一核心問題展開探究，分析策略，體會優(yōu)化思想，有味道但容易陷入單薄枯燥；二是創(chuàng)設(shè)撲克牌比大小的游戲情境，然后圍繞“小牌如何戰(zhàn)勝大牌”，讓學(xué)生在玩中尋找對策，體會優(yōu)化，有意思但容易陷入膚淺熱鬧。那么，如何讓這節(jié)課既有意義又有意思呢？

秦桂霞：讓數(shù)學(xué)課既有意思又有意義，是我們一直的追求。結(jié)合這節(jié)課，我想從“游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，讓有意義與有意思和諧統(tǒng)一”這個角度談?wù)勎业南敕āＬ锛少愸R是學(xué)生耳熟能詳?shù)慕?jīng)典故事，可是對四年級的學(xué)生來說，他們的關(guān)注點是有趣的故事情節(jié)，若揉碎情節(jié)談策略的選擇，探究必定索然無味。本節(jié)課從師生共玩說反話游戲開始，同學(xué)們在興趣盎然的游戲中體悟到了處于主動地位的優(yōu)勢；緊隨其后的撲克牌游戲，學(xué)生全程參與，經(jīng)由一系列有意思的比拼，大家經(jīng)歷了優(yōu)化策略及策略有效前提的探索過程；隨后田忌賽馬故事的重溫，讓同學(xué)們體會古人對策略的應(yīng)用，經(jīng)歷策略產(chǎn)生的過程。這樣讓游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，在有意思中體會有意義的思想，可謂潤物無聲。

蘭子君：我同意秦老師的看法。這節(jié)課突破以往設(shè)計的窠臼，將經(jīng)典與游戲完美結(jié)合，起到了“攝人魂魄”的效果?！疤锛少愸R”的故事學(xué)生并不陌生，在平時的課堂中，學(xué)生經(jīng)常會出現(xiàn)“策略皆知”和“知其然而不知其所以然”的現(xiàn)象。為了激發(fā)探究興趣，教師創(chuàng)造性地使用教材，以“撲克牌比大小”的游戲貫穿前半節(jié)課，從靠實力到靠對策，從組內(nèi)比試到現(xiàn)場比拼，給抽象的思想賦予形象化的情境，使其在動腦、動手、動口中主動參與，自主建構(gòu)，體驗、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法。最后教師又回歸經(jīng)典，將“田忌賽馬”與撲克牌游戲進行類比，引導(dǎo)學(xué)生抓住它們之間的本質(zhì)聯(lián)系。在驗證唯一性之后，教師再次引導(dǎo)學(xué)生思考“如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎”，將學(xué)生的思維觸角向深處延伸，深刻感悟優(yōu)化思想，帶來認識上的再突破。整堂課將游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，好玩有趣又充滿濃濃的數(shù)學(xué)味。

田璐：數(shù)學(xué)是思維的體操，思維是智力的核心。我覺得本節(jié)課在“關(guān)注數(shù)學(xué)思考，讓思維在生動中走向深刻”這點上做得也非常有特色。前半節(jié)課，教師引領(lǐng)學(xué)生在撲克牌游戲中層層深入地挖掘獲勝策略——在實力相近的情況下，以弱制強、后發(fā)制人，實現(xiàn)整體勝利。后半節(jié)課在解讀經(jīng)典中引導(dǎo)學(xué)生將撲克牌游戲中獲得的體驗有效遷移，認知前后貫通，理性提升，由對陣策略提升為一種對策思想。整節(jié)課學(xué)生自始至終一直在思考。

郭海燕：我同意田璐的看法。沒有數(shù)學(xué)思考，就沒有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。撲克牌游戲探究策略環(huán)節(jié)，從“獲勝靠實力”到“獲勝靠對策”，再到探究“以弱制強”“后發(fā)制人”“實力相近”，不停地將學(xué)生帶到疑惑的邊緣，幫助學(xué)生逐步學(xué)會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考。而游戲過后，回歸經(jīng)典，從“引導(dǎo)審題、理解問題解決的條件”，到“類比溝通、理解賽馬策略”，再到“猜想驗證說理、探究對策是否唯一”，學(xué)生對運籌優(yōu)化的理解從淺顯逐步走向深刻。這無疑也是思考的力量。

道盛琴：“田忌賽馬”是我國民間流傳的經(jīng)典故事。本身極具趣味性又具有訓(xùn)練智能的現(xiàn)實價值。在本案例中，教師以“說反話”游戲為學(xué)生的“說”搭好臺子，用“撲克牌游戲”為學(xué)生的數(shù)學(xué)思考提供熟悉生動的素材。學(xué)生經(jīng)歷獨立的思考，體驗“以弱勝強”的快樂，思考制勝的秘訣。思維在不斷變化的情景中，圍繞如何求勝而步步深入，智慧在互動中自然生長。

劉麗：數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)教學(xué)最基本的目標就是發(fā)展數(shù)學(xué)思維。如何才能讓學(xué)生真實地思考？我覺得“設(shè)計有價值的問題，讓問題引領(lǐng)探究”十分重要。本節(jié)課以“核心問題+不斷追問”的形式，通過問題鏈不斷把學(xué)生的思考引向深入，讓學(xué)生經(jīng)歷了找尋獲勝方法、感悟獲勝策略、升華對策思想的全過程，特別難能可貴。

馮玉嬌：我繼續(xù)劉麗老師的話題。課堂中，教師用兩個核心問題（小牌如何戰(zhàn)勝大牌、田忌的策略是否是唯一的）引領(lǐng)教學(xué)，牢牢把準學(xué)生的思考方向。而游戲與閱讀經(jīng)典中通過問題鏈引導(dǎo)策略形成，又引發(fā)了學(xué)生對策略產(chǎn)生過程的探索及策略有效條件的感悟，拓展了學(xué)生的思維廣度，提高了學(xué)生的思維深度。

高燕：本節(jié)課練習(xí)環(huán)節(jié)“游戲——取撲克”中，問題也是以問題鏈的形式出現(xiàn)的：“每次只能取2張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝，怎么取？”“10 張撲克牌，兩人輪流取，每次只能取1 張或2 張，誰最先取到第10 張撲克牌，誰就獲勝，怎么取？”圍繞訓(xùn)練目標精心設(shè)計的問題，不斷將探究引向深入，最終實現(xiàn)自我建構(gòu)。

專家指導(dǎo)

抓住數(shù)學(xué)本質(zhì) 體悟運籌優(yōu)化

張麗穎

數(shù)學(xué)教育的基本目標是“努力提升學(xué)生核心素養(yǎng)”。要提升素養(yǎng)，首先要做的是讓學(xué)生學(xué)得進去，其次是讓學(xué)生學(xué)得深入、深刻。因此小學(xué)數(shù)學(xué)教育應(yīng)該努力讓“有意義”變得“有意思”，用“有意思”來表達“有意義”。

本次觀課議課活動，工作室選取《田忌賽馬》作為研究內(nèi)容，我們想與更多的教師探討：如何抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生在深入的思考中體會理解運籌優(yōu)化思想？如何讓這節(jié)傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課有味道而且有意思？

一、凸顯數(shù)學(xué)味道

語文有同題課文《田忌賽馬》，教學(xué)中分析得非常透徹，故事蘊含的各種道理幾乎都講到了。數(shù)學(xué)課若講哲理，發(fā)揮空間不大。鑒于數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)，我們應(yīng)當(dāng)著重引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)的眼光透視故事，并將其數(shù)學(xué)化。

1.引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度去分析歷史事件。

“根據(jù)課文提供的信息，你們能用數(shù)學(xué)符號把雙方的賽馬按照戰(zhàn)力從強到弱進行排序嗎”，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光尋找故事背后的數(shù)學(xué)信息，將語文課形象化的“馬速排行榜”用數(shù)學(xué)符號表示:設(shè)齊王上、中、下等馬的速度為A，B，C，田忌上、中、下等馬的速度為a，b，c，則A>a>B>b>C>c。明確馬的實力相差不太懸殊，是孫臏后面決策的前提條件。

2.引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法尋找、分析最優(yōu)策略。

教學(xué)中，教師以“孫臏戰(zhàn)勝齊王的對策和你們用小牌戰(zhàn)勝大牌的對策有什么相通之處”為引領(lǐng)，讓學(xué)生通過類比分析，真正理解田忌“以弱勝強”所采用的策略；再通過“假設(shè)齊王一直按上、中、下的順序出馬，孫臏想到的這種策略是不是唯一能贏齊王的對策”引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想搭配知識中的有序思考，通過一一排列，找全田忌的6 種不同對策，發(fā)現(xiàn)只有一種對策能夠三局兩勝，既經(jīng)歷了田忌對策產(chǎn)生的過程，積累了相應(yīng)的基本活動經(jīng)驗，同時更深刻地體會了“謀略在先、以弱勝強”的不易，感悟到“優(yōu)化”的魅力。

3.指導(dǎo)學(xué)生分析實施“最優(yōu)策略”的基本條件。

理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷?。本?jié)課無論是導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過說反話游戲讓學(xué)生體會“先說和后說結(jié)果會截然不同”，還是撲克牌比大小游戲中，讓學(xué)生抽絲剝繭領(lǐng)會只有在大小牌實力相近的前提下，讓大牌先出牌，小牌才能后發(fā)制人，以弱勝強，乃至閱讀經(jīng)典之后的戰(zhàn)力分析、出牌與出馬策略的類比、孫臏胸有成竹原因的思考，其目的都是為了讓學(xué)生知道：“最優(yōu)策略”能順利實施并取得“以弱勝強”的結(jié)果需要滿足以下前提條件：一是實力相近，二是齊王先出，三是全盤考慮，以弱制強。

4.合理延伸，體會博弈。

通常在小學(xué)教學(xué)“田忌賽馬”，只講齊王固定出馬順序，田忌共有6 種對策，只有一種能使田忌三局兩勝，到此為止。如此教學(xué)充其量只是講解了一個決策論故事，構(gòu)不成真正的博弈論問題。因為博弈問題最基本的特征是“策略互相牽制對抗”，通俗的說就是雙方同時決策。這節(jié)數(shù)學(xué)課，教師在解讀經(jīng)典之后，以“如果第二次比賽齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎？贏的可能性有多大”這一問題為載體，把田忌賽馬擴展為一個博弈論問題，即假設(shè)比賽之前，齊王和田忌互相不知道對方賽馬的出場順序，兩人都可以自由選擇己方賽馬的出場順序。通過再次列表分析，得出只要保證讓齊王先出馬，不管齊王怎樣出馬，田忌的出馬方案總是6 種，其中只有用“下對上、中對下、上對中”，才能夠三局兩勝。這樣，使數(shù)學(xué)模型更加精準，讓運籌思想以更加立體的形態(tài)植入學(xué)生心中。

二、選擇合適的教學(xué)策略

1.游戲中感悟，閱讀中理解，在探究類比中循序漸進地理解運籌優(yōu)化。

教師通過有趣的游戲，把學(xué)生不知不覺地帶入研究對策論的數(shù)學(xué)世界，讓學(xué)生在游戲中思考，在思考中感悟，在感悟中學(xué)習(xí)。首先，簡單有趣的說反話游戲不僅符合學(xué)生的天性，更重要的是瞬間就吸引住了學(xué)生。學(xué)生被教師逼得“狼狽不堪”，而在“反攻戰(zhàn)役”中，學(xué)生迸發(fā)的聰明智慧又令教師“招架不及”，師生在歡聲笑語中很快達到了情感的交融，奠定了整節(jié)課良好互動的基礎(chǔ)。但游戲如果僅僅是游戲，就失去了意義。教師一句“笑過后要有思考”的提醒，其實已把本節(jié)課的核心策略之一——“先說或后說”的種子悄無聲息地種在了每名學(xué)生的心田，為后面的探究做好了堅實的鋪墊。

接下來的撲克牌比大小游戲，核心在于必勝策略的探究，這也是本節(jié)課的核心所在。如何讓每名學(xué)生都能主動參與探究建構(gòu)？如何讓每名學(xué)生都能尋找到思路的突破口？如何讓每名學(xué)生都能體驗到成功的喜悅……顯然，教師站在學(xué)生的角度，經(jīng)過了精心地思考。第一輪比試證明選擇大牌占優(yōu)勢之后，出示問題“你們拿黑色的3張小牌，還有辦法獲勝嗎？怎樣出牌才能獲勝”，先獨立思考，再同桌比試研究，有了初步的輸贏體驗后，組織全班交流。而師生打擂的交流方式，不僅有看點，且非常符合學(xué)生爭強好勝的天性。師生高昂的斗智過程，吸引了所有人的眼球，在此過程中教師一個個看似輕描淡寫、其實是非常適時和重要的“明知故問”，一層層撥開迷霧，學(xué)生順藤摸瓜，輕松自如地發(fā)現(xiàn)了必勝的策略——以弱制強。

兩次打敗教師的經(jīng)歷，學(xué)生不僅充分享受到了勝利的愉悅，更重要的是在不斷的思考中，切身體會到運籌策略在解決實際問題中的重要作用。游戲之后關(guān)于后發(fā)制人的探究因為有了說反話游戲做鋪墊，自然水到渠成；而最后借助“把8、5、3 換成6、5、3，小牌還能勝嗎？為什么？”“如果非要把小牌調(diào)小，你們覺得可以調(diào)小幾張？調(diào)哪幾張”兩個問題，讓學(xué)生在余興未消之時進行深入思考，不僅訓(xùn)練了思維，更讓學(xué)生對“實力相近”這一實施“最優(yōu)策略”的基本條件有了實實在在的體會。

激烈的游戲環(huán)節(jié)結(jié)束后，課堂回歸《田忌賽馬》經(jīng)典本身。在這一環(huán)節(jié)，教師要求學(xué)生靜靜閱讀，靜靜思考，在類比中不僅打通了游戲和經(jīng)典的聯(lián)系，進一步體會了實力相近、以弱制強，而且經(jīng)歷了探究策略產(chǎn)生的過程，做到了知其然并知其所以然，豐富了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

本課中的撲克游戲與解讀經(jīng)典本質(zhì)都是對策的探究，課堂表現(xiàn)上是一動一靜，而教學(xué)目標上各有側(cè)重。前者重在探究必勝方法，達成知識技能目標；后者重在感悟必勝策略，體會運籌優(yōu)化思想，體現(xiàn)深度學(xué)習(xí)之魂。兩者相輔相成，珠聯(lián)璧合，實現(xiàn)了有意思與有意義的和諧統(tǒng)一。

2.問題驅(qū)動教學(xué)，思考引領(lǐng)建構(gòu)，在深入的思考中體會運籌優(yōu)化的味道。

用“生動”來詮釋“深刻”，用“有意思”來表達“有意義”，追求“生動且深刻”的小學(xué)數(shù)學(xué)活力課堂，是小學(xué)數(shù)學(xué)教育觀的具體表現(xiàn)，而“問題驅(qū)動”則是為實現(xiàn)這一教育觀而提出的方法論。通過一系列的“問題鏈”，引發(fā)學(xué)生主動積極的數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生在研究與解決問題的過程中持續(xù)獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升與發(fā)展。

田忌賽馬的故事膾炙人口，加以多地語文課教學(xué)在先，學(xué)生對孫臏的取勝策略可謂一清二楚，沒有新奇感，教師也賣不了關(guān)子。于是，本節(jié)課采用游戲在先、解讀經(jīng)典在后的方式，利用游戲激趣，在有意思的游戲中通過一個個問題不斷引發(fā)學(xué)生的思考。讓學(xué)生在討論“專家贏大牌的策略厲害在哪”“有了以弱制強就一定能贏嗎”“有了以弱制強、后發(fā)制人就一定能以弱勝強嗎”一系列問題的過程中，從“實力相近、以弱制強、后發(fā)制人”三個維度真正地理解“以弱勝強”的對策。

在此基礎(chǔ)上出示原文，并再次通過一連串的問題，啟發(fā)聯(lián)想、引發(fā)深度思考：“故事和游戲有什么相通之處”“田忌共有多少種可采用的對策，孫臏想到的是不是唯一能贏齊王的對策”“孫臏為什么胸有成竹”“如果齊王改變出馬順序，田忌還能贏嗎”……如此一套組合拳，既巧妙地將游戲與經(jīng)典完美結(jié)合，又彌補了游戲只尋找對策沒有驗證說理的缺憾，實現(xiàn)了既知其然又知其所以然的文化點撥，完成了對有序思考的回顧重溫，體驗了解決問題策略的多樣化，凸顯了“對策論”的應(yīng)用價值。問題引領(lǐng)，不斷引發(fā)學(xué)生思想的碰撞，學(xué)生在不斷地質(zhì)疑解疑中思考越來越清晰、越來越深入，切實體會到了“運籌優(yōu)化”的味道。