面向5G的LDPC碼正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)研究

張長(zhǎng)青（中國(guó)移動(dòng)通信集團(tuán)湖南有限公司岳陽(yáng)分公司，湖南岳陽(yáng) 414000）

0 引言

LDPC 碼的技術(shù)核心是稀疏校驗(yàn)矩陣，因其矩陣的稀疏性，陣中的“1”元素遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于“0”元素?cái)?shù)目，從而可以保證LDPC 碼的譯碼復(fù)雜度和最小碼距只隨碼長(zhǎng)的增大而呈線性增加，所以LDPC 碼的譯碼相對(duì)來(lái)說比較簡(jiǎn)單，且具有逼近香農(nóng)極限的優(yōu)點(diǎn)。

LDPC 碼分為正則編碼和非正則編碼，對(duì)應(yīng)的稀疏校驗(yàn)矩陣也可分為正則校驗(yàn)矩陣和非正則校驗(yàn)矩陣，其中正則校驗(yàn)矩陣中的橫向和縱向“1”元素的個(gè)數(shù)不變，或者說矩陣的列重和行重是常數(shù)；非正則校驗(yàn)矩陣中的橫向和縱向“1”元素的個(gè)數(shù)可變，或者說矩陣的列重和行重是變數(shù)。顯然，非正則校驗(yàn)矩陣因所有行列中的列重和行重值可變，建立矩陣沒有簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)方法，正則校驗(yàn)矩陣的設(shè)計(jì)方法則簡(jiǎn)單得多。

在正則校驗(yàn)矩陣的設(shè)計(jì)中，一方面，對(duì)于一個(gè)給定碼長(zhǎng)、列重和行重等主要參數(shù)建立起來(lái)的多項(xiàng)式，實(shí)際上是一類LDPC 編碼，而非某個(gè)特定的LDPC 編碼，或者說，對(duì)于一個(gè)線性分組碼，校驗(yàn)矩陣并非是唯一的；另一方面，一個(gè)優(yōu)秀的LDPC 編碼系統(tǒng)，首先是因?yàn)橛幸粋€(gè)優(yōu)秀的校驗(yàn)矩陣，而一個(gè)優(yōu)秀的校驗(yàn)矩陣，既可以提高系統(tǒng)編碼的可靠性，提高有用數(shù)據(jù)的傳輸碼率，還能提高系統(tǒng)的譯碼效率等。因此，定義一個(gè)LDPC 編碼，首先必須給出一個(gè)與該編碼序列對(duì)應(yīng)的稀疏校驗(yàn)矩陣才有實(shí)際意義，對(duì)傳輸信道采用一個(gè)優(yōu)秀的LDPC 正則編碼，首先必須設(shè)計(jì)出一個(gè)與該編碼序列對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀的正則校驗(yàn)矩陣才有可能達(dá)到目的。

1 用正則校驗(yàn)矩陣進(jìn)行LDPC編碼

設(shè)正則稀疏校驗(yàn)矩陣H的行數(shù)為M、列數(shù)為N，如圖1所示。在LDPC編碼時(shí)，系統(tǒng)將每一次需要傳輸?shù)陌ㄐ旁磾?shù)據(jù)碼字和編碼校驗(yàn)碼字在內(nèi)的總碼字長(zhǎng)度定義為稀疏校驗(yàn)矩陣的列數(shù)N，將校驗(yàn)整個(gè)碼字的校驗(yàn)向量位長(zhǎng)定義為稀疏校驗(yàn)矩陣的行數(shù)M。顯然，編碼序列中可以傳輸信源數(shù)據(jù)碼字的長(zhǎng)度實(shí)際上為N1=N-M，系統(tǒng)每次實(shí)際傳輸信源數(shù)據(jù)的碼率可以表示為R=N1/N=1-M/N。所以，正則校驗(yàn)矩陣與LDPC編碼關(guān)系密切。

此外，在LDPC 編碼中，與稀疏校驗(yàn)矩陣和編碼關(guān)聯(lián)密切的參數(shù)，還有列重dn和行重dm，其中所謂列重是指稀疏校驗(yàn)矩陣中每列中有“1”元素的個(gè)數(shù)，所謂行重是指稀疏校驗(yàn)矩陣中每行中有“1”元素的個(gè)數(shù)。在設(shè)計(jì)校驗(yàn)矩陣時(shí)一般都會(huì)使列數(shù)N大于行數(shù)M，但對(duì)應(yīng)的列重dn一般都會(huì)小于行重dm。在設(shè)計(jì)一款LDPC編碼對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀稀疏校驗(yàn)矩陣中，列數(shù)N、行數(shù)M、列重dn和行重dm等參數(shù)須盡可能滿足如下基本條件∶

a）矩陣的行重dm、列重dn與碼長(zhǎng)N的比值要遠(yuǎn)小于1，碼長(zhǎng)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于行重列重，即N?dm，N?dn，或矩陣中“1”元素的稀疏率越小越好。

b）任意相鄰兩行或兩列中，在相同列位置或相同行位置上盡可能使其只有1個(gè)“1”元素，即相鄰列或相鄰行同位置上的“1”元素越少越好。

c）與行數(shù)M相比，任意線性無(wú)關(guān)的列數(shù)N盡可能大，即所有列向量之間的線性無(wú)關(guān)性越多越好。另外，N較M越大，其碼率越高，也是重要參考。

這些基本條件之間都存在一些需要彼此兼顧的方面，如N與dn或dm之間的差值太大肯定不行，N與M的差值太大同樣不行，它們的取值還與碼率R或其他因素有關(guān)。所以上面的基本條件只是一類參考條件，以盡量滿足為前提，以相對(duì)要求為目的，因?yàn)橛谜齽t校驗(yàn)矩陣進(jìn)行LDPC 編碼，還需使用其他算法，且不同的算法，對(duì)校驗(yàn)矩陣的設(shè)計(jì)與要求都可能不同。

在LDPC 編碼的算法中，主要有基于生成矩陣算法和基于校驗(yàn)矩陣算法，前者又叫線性分組碼編碼，對(duì)應(yīng)的M×N維校驗(yàn)矩陣H中的行數(shù)M和列數(shù)N都是線性無(wú)關(guān)的（與前面基本條件b）吻合，但要求較高，相鄰行和相鄰列間都必須線性無(wú)關(guān)），后者包括LU 分解法和RU 算法，其中的RU 算法的基本原理是，利用校驗(yàn)矩陣具有的稀疏性來(lái)降低編碼的運(yùn)算量，具體過程是通過行列置換，將一般的低密度奇偶校驗(yàn)矩陣化為一個(gè)近似下三角矩陣（見圖1），使其成為稀疏校驗(yàn)矩陣，可以有效地降低編碼的復(fù)雜度，最大優(yōu)點(diǎn)是附加條件較少，設(shè)計(jì)矩陣相對(duì)容易，一般可以直接按照近似下三角形奇偶校驗(yàn)矩陣結(jié)構(gòu)布局矩陣元素，效率更高，也更快捷更便利。

圖1 基于近似下三角形的正則校驗(yàn)矩陣

下面先了解基于近似下三角形奇偶校驗(yàn)的正則校驗(yàn)矩陣的基本結(jié)構(gòu)。如圖1 所示，若校驗(yàn)矩陣的行數(shù)為M、列數(shù)為N，則該矩陣可以簡(jiǎn)化為6個(gè)子矩陣，其中子矩陣T是對(duì)角線元素均為“1”的下三角矩陣。一般情況下，可以先設(shè)計(jì)g值，這時(shí)矩陣A、B、C、D、E、T的維數(shù)，可以分別確定為（M-g）×（N-M）、（M-g）×g、g×（N-M）、g×g、g×（M-g）、（M-g）×（M-g）。若以左上角為原點(diǎn)，則各子陣元素的取值位置可以分別表示為∶A=［1∶（M-g），1∶（N-M）］、B=［1∶（M-g），（N-M）∶（N-M+g）］、C=［（M-g）∶M，1∶（N-M）］、D=［（M-g）∶M，（N-M）∶（N-M+g）］、E=［（M-g）∶M，（N-M+g）∶N］、T=［1∶（Mg），（N-M+g）∶N］。這些基本參數(shù)一旦確定，基于近似下三角形奇偶校驗(yàn)的正則稀疏校驗(yàn)矩陣H也確定。

確定了正則校驗(yàn)矩陣HM×N后，便可以對(duì)需要傳輸?shù)男旁磾?shù)據(jù)進(jìn)行編碼。具體方法∶首先將需要傳輸?shù)男旁磾?shù)據(jù)S等分成n0組的分組向量s（i），i=1，2，…，n0，其中每個(gè)分組向量s（i）的長(zhǎng)度定義為N1=N-M，則每次截取信源數(shù)據(jù)S的長(zhǎng)度為n0×N1。其次，若采用RU 算法對(duì)分組向量s（i）用校驗(yàn)矩陣HM×N編碼，可以得到n0組長(zhǎng)度為N的LDPC 編碼碼字向量c（i）=［s（i），p1，p2］，i=1，2，…，n0，式中p1、p2分別為校驗(yàn)向量，p1長(zhǎng)為g，p2長(zhǎng)為M-g，所以p1+p2的長(zhǎng)度實(shí)際上是N-N1=M。由此可以看出，經(jīng)過LDPC 編碼后形成的編碼分組的碼字向量c（i）的長(zhǎng)度，實(shí)際上是正則校驗(yàn)矩陣HM×N的列數(shù)N，而校驗(yàn)向量p1+p2的長(zhǎng)度是正則校驗(yàn)矩陣HM×N的行數(shù)M，經(jīng)LDPC 編碼后，信源數(shù)據(jù)S的編碼碼率則為（NM）/N，LDPC編碼中承載的信源比特長(zhǎng)度等于N-M。

因此，在對(duì)LDPC 編碼的碼字向量c（i）=［s（i），p1，p2］進(jìn)行編碼的過程中，編碼的主要工作實(shí)際上就是怎樣求出碼字向量中的校驗(yàn)向量p1和p2。求校驗(yàn)向量p1和p2的編碼步驟可簡(jiǎn)述如下∶

a）計(jì)算信源的上校正子∶ZA=A×sT。

b）找出第2 個(gè)校驗(yàn)向量的臨時(shí)值，使上校正子為零∶Pa=T-1×ZA。

c）計(jì)算向量的下校正子∶ZB=C×sT-E×Pa。

d）算出臨時(shí)校驗(yàn)向量∶Pb=-F-1×ZB。

e）計(jì)算校驗(yàn)向量∶p1=（Pb）'。

f）臨時(shí)校正子∶ZC=ZA+B×p1。

g）臨時(shí)校驗(yàn)向量∶Pc=-T-1ZC，p2=（Pc）'。

h）校驗(yàn)向量∶p2=（Pc）'。

從上面求解校驗(yàn)向量p1和p2的步驟中，不難看出，LDPC 編碼的理論基礎(chǔ)，實(shí)際上就是基于近似下三角形的奇偶校驗(yàn)矩陣HM×N的設(shè)計(jì)。

2 正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)分析

在正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)先將需要傳輸?shù)拈L(zhǎng)度為n0×（N-M）=n0×N1的某段數(shù)據(jù)比特流S，按N1的長(zhǎng)度分組成n0個(gè)子比特流s（i），i=1，2，…，n0，即S=n0×N1=然后再將s（i）與校驗(yàn)矩陣中的校驗(yàn)向量p1和p2結(jié)合，成型長(zhǎng)度為N的新比特流碼字c（i）=［s（i），p1，p2］，使之成為系統(tǒng)輸出的新碼字c（i），實(shí)現(xiàn)對(duì)傳輸信道編碼。在校驗(yàn)矩陣HM×N中，矩陣的列數(shù)N和行數(shù)M的大小與編碼中形成的分組比特s（i）的大小無(wú)關(guān)，但矩陣的N-M的大小則決定了分組比特流s（i）的大小。N-M越大，則編碼中長(zhǎng)度為校驗(yàn)矩陣行數(shù)M的校驗(yàn)向量p1+p2越小，LDPC 編碼的性能也將越差。所以，正確處理校驗(yàn)矩陣的列數(shù)N和行數(shù)M，是設(shè)計(jì)正則校驗(yàn)矩陣的重要考量。

由于3GPP確定的LDPC編碼是針對(duì)eMBB場(chǎng)景的長(zhǎng)碼塊編碼方案，對(duì)應(yīng)的業(yè)務(wù)信道主要承載的是5G系統(tǒng)中諸如3D/超高清視頻等海量數(shù)據(jù)的傳輸。又由于校驗(yàn)矩陣H越大，占用系統(tǒng)資源越多，算法難度越大，與移動(dòng)通信系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理念相悖。因此，在設(shè)計(jì)LD?PC編碼的正則校驗(yàn)矩陣時(shí)，不僅需要充分考慮矩陣列數(shù)N和行數(shù)M差的合理取值，還要正確考慮矩陣本身的實(shí)際大小。再者，由于校驗(yàn)矩陣中各子陣組成的相關(guān)校驗(yàn)向量必須是非奇異的，即各子陣相關(guān)運(yùn)算時(shí)非零。所以，設(shè)計(jì)正則校驗(yàn)矩陣，還需要考慮奇異性。如果設(shè)計(jì)的校驗(yàn)矩陣滿足基本條件，但存在奇異性，就必須通過適當(dāng)調(diào)整矩陣的行列位置，消除奇異。

從圖1中所示的近似下三角形奇偶校驗(yàn)矩陣的結(jié)構(gòu)來(lái)看，正則校驗(yàn)矩陣可以分解為6 個(gè)子陣，其中T為下三角型陣，三角斜邊上的元素都為“1”，D是方陣，所有子陣的大小都因g值的不同而不同。一般情況下，設(shè)計(jì)正則校驗(yàn)矩陣的步驟是∶首先要確定矩陣的行數(shù)M和列數(shù)N，其次確定矩陣中的行重?cái)?shù)dm，列重?cái)?shù)dn，最后要需要確定的是g值。確定了這幾個(gè)基本值后，正則稀疏校驗(yàn)矩陣中的“1”元素?cái)?shù)量和矩陣基本結(jié)構(gòu)就已經(jīng)確定了，但因?yàn)樾ｒ?yàn)矩陣并非唯一，矩陣中“1”元素的具體位置可能因其設(shè)計(jì)方式方法的不同而存在一定差別。

列重dn和行重dm的確定值與列數(shù)N和行數(shù)M關(guān)聯(lián)，g值的大小可決定校驗(yàn)矩陣的稀疏率，稀疏率的大小則可反映LDPC 編碼的性能，下面來(lái)分析這幾個(gè)基本參數(shù)。設(shè)正則稀疏校驗(yàn)矩陣中“1”元素?cái)?shù)量為X，則有如下基本公式∶

校驗(yàn)矩陣“1”元素?cái)?shù)量∶

校驗(yàn)矩陣行數(shù)M與列數(shù)N的比值，反比于行重dm與列重dn之比∶

校驗(yàn)矩陣的稀疏率∶

校驗(yàn)矩陣的碼率∶

發(fā)送信源碼字?jǐn)?shù)為∶

從式（2）中可以看出，確定了列重dn和行重dm，就確定了校驗(yàn)矩陣H的列數(shù)N和行數(shù)M的比值，也確定了校驗(yàn)矩陣的稀疏率P和碼率R，反之亦然，但不影響g的取值，g值影響的是校驗(yàn)矩陣中的所有子陣大小，即不同g值，對(duì)應(yīng)的A、B、C、D、E、T子陣的結(jié)構(gòu)不同，但與校驗(yàn)矩陣的稀疏率P和碼率R無(wú)關(guān)。下面具體分析一款正則校驗(yàn)矩陣的基本設(shè)計(jì)過程。

設(shè)正則稀疏校驗(yàn)矩陣的列數(shù)N=9，行數(shù)M=6，列重dn=2，行重dm=3。根據(jù)式（1），矩陣中元素“1”的數(shù)量為X=N×dn=M×dm=18；根據(jù)式（3），矩陣稀疏率為P=dn/M=1/3；根據(jù)式（4），矩陣碼率為R=1-dn/dm=1/3；根據(jù)式（5），編碼發(fā)送信源的碼字長(zhǎng)度為N1=N-M=3，即在每個(gè)LDPC 編碼的碼字中，包含了9 bit數(shù)據(jù)，其中3 bit是信源碼字比特，6 bit 是校驗(yàn)向量比特。根據(jù)正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)基本條件，該矩陣設(shè)計(jì)可以簡(jiǎn)述為∶

顯然，式（6）與正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)完全滿足基本條件中的第2 條，沒有任何相鄰行列中同位置存在2 個(gè)“1”元素，但這僅僅是可以滿足的基本條件，而必須滿足的主要條件是各子陣在運(yùn)算中沒有奇異性。事實(shí)上，該矩陣在運(yùn)算中的確存在奇異性。由此可見，在正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)中，滿足基本條件的矩陣，不一定滿足必要條件，設(shè)計(jì)中以必要條件為主，基本條件為輔。

為了不改變下三角子陣T中的對(duì)角線元素，調(diào)整矩陣中的行列時(shí)，一般只能對(duì)A、B、C、D子陣中的列交換，或?qū)、D、E子陣中的行交換。當(dāng)然，也可以只交換調(diào)整2 行，或2 列中互為相反對(duì)應(yīng)的2 個(gè)元素，其他元素可以不動(dòng)。每交換或調(diào)整一次都需仿真檢測(cè)，直到消除矩陣中的奇異性為止。

式（7）矩陣就是通過多次調(diào)整后得到的列數(shù)N=9、行數(shù)M=6、列重dn=2、行重dm=3、碼率R=1/3、稀疏率P=1/3、g=3、信源碼字比特?cái)?shù)為3、校驗(yàn)碼字比特?cái)?shù)為6、相鄰列或行同為1 的百分比為0.018 519、列相關(guān)性為0.444 44的非奇異性正則稀疏校驗(yàn)矩陣H6×9。

可以看出，式（7）矩陣與正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)的3個(gè)基本條件相比，矩陣中的第6 列的第3 行和第4 行，在同一列位置上還是出現(xiàn)了2個(gè)“1”元素，但該矩陣運(yùn)算中沒有奇異性，是非奇異矩陣。另外，矩陣的列相關(guān)較大，但因是正則校驗(yàn)矩陣，系統(tǒng)對(duì)矩陣的列相關(guān)性要求不高，不會(huì)對(duì)矩陣的優(yōu)異性產(chǎn)生大的影響，因而也可以忽略。

3 6種不同參數(shù)的正則校驗(yàn)矩陣

根據(jù)正則校驗(yàn)矩陣設(shè)計(jì)條件，設(shè)計(jì)了6 款不同列數(shù)N、不同行數(shù)M、不同列重dn、不同行重dm和不同g值的正則校驗(yàn)矩陣，可供研究LDPC編碼時(shí)應(yīng)用。

式（8）所示矩陣為∶列數(shù)N=12、行數(shù)M=6、列重dn=3、行重dm=6、碼率R=1-dn/dm=1/2、稀疏率P=dn/M=1/2、g=2、信源碼字比特?cái)?shù)為N-M=6、校驗(yàn)碼字比特?cái)?shù)為6、相鄰列或行同為1 的百分比為0.347 22、列相關(guān)性為0.305 56的正則稀疏校驗(yàn)矩陣H6×12。

式（9）所示矩陣為∶列數(shù)N=16、行數(shù)M=12、列重dn=3、行重dm=4、碼率R=1/4、稀疏率P=1/4、g=3、信源碼字比特?cái)?shù)為4、校驗(yàn)碼字比特?cái)?shù)為12、相鄰列或行同為1 的百分比為0.109 38、列相關(guān)性為0.173 61 的正則稀疏校驗(yàn)矩陣H12×16。

式（10）所示矩陣為∶列數(shù)N=16、行數(shù)M=12、列重dn=3、行重dm=4、碼率R=1/4、稀疏率P=1/4、g=2、信源碼字比特?cái)?shù)為4、校驗(yàn)碼字比特?cái)?shù)為12、相鄰列或行同為1 的百分比為0.098 958、列相關(guān)性為0.109 38 的正則稀疏校驗(yàn)矩陣H12×16。

式（11）所示矩陣為∶列數(shù)N=16、行數(shù)M=12、列重dn=3、行重dm=4、碼率R=1/4、稀疏率P=1/4、g=4、信源碼字比特?cái)?shù)為4、校驗(yàn)碼字比特?cái)?shù)為12、相鄰列或行同為1 的百分比為0.057 292、列相關(guān)性為0.270 83 的正則稀疏校驗(yàn)矩陣H12×16。

式（12）所示矩陣為∶列數(shù)N=20、行數(shù)M=15、列重dn=3、行重dm=4、碼率R=1/4、稀疏率P=1/5、g=3、信源碼字比特?cái)?shù)為=5、校驗(yàn)碼字比特?cái)?shù)為15、相鄰列或行同為1的百分比為0.08、列相關(guān)性為0.179 17的正則稀疏校驗(yàn)矩陣H15×20。

式（13）所示矩陣為∶列數(shù)N=24、行數(shù)M=18、列重dn=3、行重dm=4、碼率R=1/4、稀疏率P=1/6、g=3、信源碼字比特?cái)?shù)為=6、校驗(yàn)碼字比特?cái)?shù)為12、相鄰列或行同為1 的百分比為0.057 87、列相關(guān)性為0.208 33 的正則稀疏校驗(yàn)矩陣H18×24。

4 基于正則校驗(yàn)矩陣的LDPC編碼性能分析

4.1 仿真建模

基于正則校驗(yàn)矩陣的LDPC 編碼的仿真建模如圖2所示，信源比特流經(jīng)過基于正則校驗(yàn)矩陣的LDPC 信道編碼器編碼成碼字比特流后，由64QAM 基帶調(diào)制器調(diào)制成64QAM 符號(hào)流，再經(jīng)過IFFT變換成IFFT符號(hào)，經(jīng)過綜合濾波器濾波后形成濾波符號(hào)，從而完成發(fā)射過程；發(fā)射信號(hào)經(jīng)過高斯噪聲干擾后，經(jīng)分析濾波器濾波恢復(fù)成IFFT 符號(hào)信號(hào)，經(jīng)過FFT 變換后恢復(fù)成64QAM 符號(hào)信號(hào)，再經(jīng)過64QAM 解調(diào)后恢復(fù)成LDPC編碼信號(hào)，經(jīng)過LDPC 信道譯碼后恢復(fù)成信宿，系統(tǒng)通過信源比特與信宿比特比較，求系統(tǒng)的誤碼率，判斷系統(tǒng)的傳輸性能。

圖2 基于正則校驗(yàn)矩陣的仿真系統(tǒng)

建模中雖然是以信道編碼為主，但仍然考慮了5G應(yīng)用中的基本情況，即5G 的基帶調(diào)制解調(diào)將會(huì)以64QAM 技術(shù)為主，而基于濾波器組的OFDM 也很有可能是面向5G的多載波傳輸技術(shù)，所以建模方案有一定的參考意義。

4.2 正則校驗(yàn)矩陣參數(shù)表

正則校驗(yàn)矩陣的基本分析參數(shù)主要有∶列數(shù)N、行數(shù)M、列重dn、行重dm、碼率R、稀疏率P、G值、信源碼長(zhǎng)K、校驗(yàn)碼長(zhǎng)L、同列行1 比Q、列相關(guān)性T共11 項(xiàng)（見表1），其中的同列行1 比Q是指∶在矩陣同列相鄰行都為1 的百分比值，或同行相鄰列都為1 的百分比值；列相關(guān)性T是指∶矩陣中相鄰列之間的相關(guān)性。這些參數(shù)都是在設(shè)計(jì)LDPC 編碼對(duì)應(yīng)的正則稀疏校驗(yàn)矩陣時(shí)，具有參考價(jià)值的基本條件。但由于這里是研究正則稀疏校驗(yàn)矩陣，雖然列相關(guān)性的影響并不大，但同列行1比還是很重要。一個(gè)優(yōu)秀的正則稀疏校驗(yàn)矩陣，不僅矩陣大小適中，且同列行1 比值也較小，最重要的當(dāng)然是矩陣運(yùn)算時(shí)不存在奇異性。

表1 所示為設(shè)計(jì)的7 種正則校驗(yàn)稀疏矩陣對(duì)應(yīng)的各種參數(shù)的匯總，可方便比較分析。通過這些參數(shù)以及下面的性能仿真，可以合理分析不同參數(shù)設(shè)計(jì)的正則校驗(yàn)矩陣對(duì)系統(tǒng)性能的影響，具有一定參考意義。

表1 7種正則校驗(yàn)矩陣對(duì)應(yīng)的參數(shù)

4.3 誤碼率分析

圖3 4種情況下的誤碼率比較

圖3 為4 種情況下的誤碼率比較，其中的信道編碼是基于正則校驗(yàn)矩陣H18×24的LDPC 編碼，濾波器組是基于疊加因子K=8 的濾波器組，同時(shí)采用的基帶調(diào)制是64QAM。可以看出，信道編碼和濾波器組的性能提升是相互獨(dú)立的，濾波器組的應(yīng)用對(duì)系統(tǒng)性能的提高非常大，這也是3GPP 在5G 系統(tǒng)中規(guī)劃核心傳輸技術(shù)時(shí)，將濾波器OFDM 技術(shù)列入重要入選方案之一的主要原因；信道編碼的應(yīng)用無(wú)論是否加入了濾波器組技術(shù)，都會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)至少8倍的性能提升，充分說明信道編碼技術(shù)在移動(dòng)通信系統(tǒng)中應(yīng)用的重要性。特別是利用正則校驗(yàn)矩陣進(jìn)行LDPC 編碼，技術(shù)成熟、成本較低，因?yàn)檎齽t校驗(yàn)矩陣一旦確定，校驗(yàn)向量也就固定不變了，從而可使LDPC 編碼變得十分簡(jiǎn)單。當(dāng)然，LDPC 碼是一種業(yè)務(wù)信道長(zhǎng)碼塊編碼方案，需要有較大的校驗(yàn)矩陣支持。

圖4 所示為基于式（7）～式（13）共7 種不同情況下的正則校驗(yàn)矩陣的LDPC 編碼，以上面仿真建模系統(tǒng)為基礎(chǔ)產(chǎn)生的誤碼率曲線?？梢钥闯觯说? 個(gè)矩陣的誤碼率較低外，其他6個(gè)矩陣的誤碼率都差不多，性能最好、誤碼率最小的是第7個(gè)矩陣。

圖4 7種正則校驗(yàn)矩陣對(duì)應(yīng)的LDPC編碼情況

利用表1 相關(guān)參數(shù)比較，可以發(fā)現(xiàn)一些情況。其中，第2 個(gè)矩陣性能最差的原因可能是∶同列行1 比最大（Q=0.347），碼率最大（R=1/2）和稀疏率最大（P=1/2）；第7 個(gè)矩陣性能最好的原因可能是∶同列行1 比?。≦=0.057），碼率最?。≧=1/4）和稀疏率最小（P=1/6）；特別是第1 個(gè)矩陣，矩陣最小，但性能屬于最好一類，與第6個(gè)、第7個(gè)矩陣相當(dāng)，比較發(fā)現(xiàn)，它的同列行1比最?。≦=0.018），且列相關(guān)性最大（T=0.44），其他參數(shù)與性能良好的矩陣相差不大，說明同列行1 比對(duì)正則校驗(yàn)矩陣的性能影響較大，而列相關(guān)性影響不大。

圖5 為表1 中第3～5 的3 個(gè)相同矩陣，差別只是g值不同，由此還帶來(lái)了同列行1 比Q和列相關(guān)性T的不同，從誤碼率曲線中可以看出，三者的性能完全一樣，說明g的不同，雖然可以部分改變同列行1 比Q和列相關(guān)性T的取值，但不會(huì)改變它們編碼性能。這個(gè)特點(diǎn)對(duì)于設(shè)計(jì)正則校驗(yàn)矩陣很有意義，因?yàn)楦淖僩值，既不會(huì)改變N、M、dn和dm的取值，還能夠方便矩陣設(shè)計(jì)，使其通過g值的調(diào)整滿足基本條件。

圖5 僅有g(shù)值不同的3個(gè)相同矩陣比較

一個(gè)正則校驗(yàn)矩陣的優(yōu)秀與否，與矩陣的大小、g值的大小的關(guān)聯(lián)不大，但與矩陣的非奇異性和同列行1比以及碼率和稀疏率等參數(shù)密切相關(guān)。

5 結(jié)束語(yǔ)

LDPC 編碼的核心是稀疏校驗(yàn)矩陣H。設(shè)計(jì)一款性能優(yōu)異的稀疏校驗(yàn)矩陣，是LDPC 編碼成功的重要前提，決定了LDPC 編碼的品質(zhì)和效率。所以設(shè)計(jì)稀疏校驗(yàn)矩陣，對(duì)LDPC編碼來(lái)講非常重要。

設(shè)計(jì)正則稀疏校驗(yàn)矩陣有許多參數(shù)需要參考，最重要的是矩陣運(yùn)算中沒有奇異性，其次才是同列行1比參數(shù)，即盡可能減小出現(xiàn)在已經(jīng)架構(gòu)起來(lái)的矩陣的相鄰行或列在同一列或行位置都為“1”元素的情況。

檢測(cè)校驗(yàn)矩陣的奇異性公式U=-ET-1B+D，在衡量正則稀疏校驗(yàn)矩陣的應(yīng)用中，并非絕對(duì)。式（7）矩陣的U值等于0，但仿真證明式（7）矩陣是一個(gè)優(yōu)秀的正則稀疏校驗(yàn)矩陣，說明不能簡(jiǎn)單地使用該公式來(lái)證明設(shè)計(jì)的正則稀疏校驗(yàn)矩陣的奇異性。另外，式（7）矩陣還表明，正則稀疏校驗(yàn)矩陣的優(yōu)秀與矩陣陣元的多少關(guān)系不大，但與矩陣的同列行1 比關(guān)系很大。由于式（7）矩陣較小，且同列行1 比也小，其性能的優(yōu)越既反映在誤碼率很低方面，還反映在較小的矩陣使系統(tǒng)處理過程中占用的資源較小等方面。所以，在LDPC編碼中，采用類似式（7）矩陣應(yīng)是最佳選擇。

校驗(yàn)矩陣不僅擔(dān)負(fù)著對(duì)發(fā)射數(shù)據(jù)的編碼重任，更擔(dān)負(fù)著對(duì)接收數(shù)據(jù)的解碼重任，在發(fā)射端設(shè)計(jì)一個(gè)性能優(yōu)秀的校驗(yàn)矩陣對(duì)LDPC編碼系統(tǒng)十分重要。