彈簧連接體的六種情景

王春旺

彈簧和連接體都是高中物理中的重要模型，求解連接體問題一般需要采用隔離法和整體法分析受力情況，求彈簧的彈力需要運(yùn)用胡克定律進(jìn)行定量計(jì)算。根據(jù)對(duì)近幾年高考試題和各地模擬試題的研究發(fā)現(xiàn)，彈簧連接體問題主要可以分為以下六種情景。

一、水平面上彈簧連接體平衡情景

情景解讀：可能是粗糙水平面上通過輕彈簧相連接的兩個(gè)物體，輕彈簧可能伸長或壓縮;也可能是粗糙水平面上通過輕彈簧直線連接的三個(gè)及三個(gè)以上的物體，輕彈簧可能伸長或壓縮;也可能是粗糙水平面上通過輕彈簧相連接成菱形的四個(gè)物體，輕彈簧可能伸長或壓縮;還可能是粗糙水平面上通過輕彈簧相連接的兩個(gè)物體，其中一個(gè)物體上作用一個(gè)水平力等。

例1 如圖1所示，在粗糙水平面上放置A、B、C、D四個(gè)小物塊，各小物塊之間由四根完全相同的輕彈簧相互連接，正好組成一個(gè)菱形，∠BAD—120。，整個(gè)系統(tǒng)保持靜止?fàn)顟B(tài)。已知物塊A受到的摩擦力大小為廠，則物塊D受到的摩擦力大小為（

）。

A√3/2f B.√3f

C.f

D.2f

解析

已知物塊A受到的摩擦力大小為f，設(shè)每根彈簧的彈力為F，則對(duì)物塊A由平衡條件得2Fcos 60°=f，解得F=f;設(shè)物塊D受到的摩擦力大小為f'，則對(duì)物塊D由平衡條件得2Fcos 30°=f'，解得f=√3F=√3f。

答案：B

點(diǎn)評(píng)

水平面上彈簧連接體平衡問題一般與靜摩擦力相聯(lián)系，解答時(shí)需要注意靜摩擦力的大小與壓力無關(guān)，與相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向相反。

二、豎直面上彈簧連接體平衡情景

情景解讀：可能是豎直面上一端用輕繩懸掛的通過輕彈簧連接的幾個(gè)物體;也可能是豎直面上兩端用輕繩懸掛的通過輕彈簧連接的幾個(gè)物體;也可能是豎直面上一端用輕繩懸掛的通過輕彈簧連接的幾個(gè)物體，另一端作用一個(gè)水平力;也可能是豎直面上用輕桿懸掛的通過輕彈簧連接的幾個(gè)物體;還可能是通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，其中一個(gè)物體在水平面，另一個(gè)物體在力的作用下懸空等。

例2 如圖2所示，兩個(gè)中間有孔的質(zhì)量均為M的小球A、B用一輕彈簧相連，套在一水平光滑橫桿上。兩個(gè)小球下面分別連一輕彈簧。兩輕彈簧下端系在同一質(zhì)量為m的小球C上。已知三根輕彈簧的勁度系數(shù)都為k，三根輕彈簧剛好構(gòu)成一等邊三角形。則（

）。

A.水平橫桿對(duì)小球A、B的支持力均為Mg +mg

B.連接小球c的輕彈簧的彈力為mg/3

C.連接小球C的輕彈簧的伸長量為√3mg

D.套在水平光滑橫桿上的輕彈簧的形變量為√3mg/3k

解析

把三個(gè)小球和三根彈簧看成一個(gè)整體，進(jìn)行受力分析，利用對(duì)稱性，由平衡條件可知，水平橫桿對(duì)小球A、B的支持力N=Mg +1/2g，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。對(duì)小球C進(jìn)行受力分析，由平衡條件得2F1cos 30°mg，解得連接小球C的輕彈簧

點(diǎn)評(píng)

求解豎直面上彈簧連接體平衡問題時(shí)一般需要考慮物體的重力。解答時(shí)需要注意輕彈簧的形變可能是壓縮形變，也可能是伸長形變，且彈力方向沿彈簧恢復(fù)原狀的方向。

三、傾斜面上彈簧連接體平衡情景

情景解讀：可能是粗糙傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體;也可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，一端受到擋板的作用力或一端受到拉力的作用;還可能是L型木板上通過輕彈簧連接的一個(gè)物體等。

例3 L型木板P（上表面光滑）放在固定斜面上，輕質(zhì)彈簧一端固定在木板P上，另一端與置于木板P上表面的滑塊Q相連，如圖3所示。若木板P、滑塊Q-起沿斜面勻速下滑，不計(jì)空氣阻力，則木板P的受力個(gè)數(shù)為（ ）。

A.3

B.4

C.5

D.6

解析

隔離滑塊Q進(jìn)行受力分析，受到豎直向下的重力，木板P對(duì)它的支持力，輕彈簧對(duì)它的沿斜面向上的彈力，共3個(gè)力。隔離木板P進(jìn)行受力分析，受到豎直向下的重力，固定斜面對(duì)它的支持力和摩擦力，滑塊Q對(duì)它的壓力，輕彈簧對(duì)它的沿斜面向下的彈力，共5個(gè)力。

答案：C

點(diǎn)評(píng)

本題中因木板P、滑塊Q一起沿斜面勻速下滑，故斜面對(duì)木板P一定有摩擦力，輕彈簧中一定有彈力。若題述中給出斜面上表面光滑的條件，則斜面對(duì)木板P沒有摩擦力，輕彈簧中彈力為零。

四、水平面上彈簧連接體加速運(yùn)動(dòng)情景

情景解讀：可能是多個(gè)通過輕彈簧直線連接的物體受到水平拉力的作用，也可能是多個(gè)通過輕彈簧直線連接的物體受到水平推力的作用，也可能是三個(gè)通過輕彈簧相連接成三角形的物體受到水平拉力的作用，還可能是三個(gè)通過輕彈簧相連接成三角形的物體受到水平推力的作用等。

例4 如圖4所示，2 019個(gè)質(zhì)量均為m的小球通過完全相同的輕質(zhì)彈簧（在彈性限度內(nèi)）相連，在水平拉力F的作用下，一起沿光滑水平面以加速度a向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球l和2之間彈簧的彈力為F1-2，小球2和3之間彈簧的彈力為F2-3，小球2 018和2 019之間彈簧的彈力為F2018-2019，則下列結(jié)論中正確的是（

）。

A. F1 2：F2-3：…：F2018- 2019 =1：2：3：…：2 018

B.從左到右每根彈簧的長度之比為1：2：3：…：2 018

C.如果突然撤去拉力F，那么在撤去拉力F瞬間，小球2019的加速度為F/m，其余小

球的加速度依然為a

D.如果小球1和2之間的彈簧從與小球1連接處脫落，那么脫落瞬間小球1的加速度為0，小球2的加速度為2a，其余小球的加速度依然為a

解析 隔離小球1，由牛頓第二定律得F1-2=ma;把小球1、2看成整體進(jìn)行隔離，由牛頓第二定律得F2-3=2ma;把小球1、2、3看成整體進(jìn)行隔離，由牛頓第二定律得F3-4=3ma;把小球1、2、3、4看成整體進(jìn)行隔離，由牛頓第二定律得F4-5=4ma;……;把小球1到2018看成整體進(jìn)行隔離，由牛頓第二定律得F2018-2019=2018ma。聯(lián)立以上各式解得F1-2：F2-3：F3-4：F4-5：…：F2018-2019=1：2：3：4：…：2018，選項(xiàng)A正確。因彈簧長度等于彈簧原長加上彈簧伸長量，彈簧伸長量與彈簧彈力成正比，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。如果突然撤去拉力F，那么在撤去拉力F的瞬間，小球之間彈簧的彈力不變，小球2018和2019之間的彈簧彈力F2018-2019=2018ma，由牛頓第二定律得F=2019ma，F(xiàn)2018-2019=ma'，解

，

得小球2019的加速度a=2018F/2019，選項(xiàng)c錯(cuò)誤。如果小球同1和2之間的彈簧從與小球1連接處脫落，那么脫落瞬間，小球1受力為零，加速度為零，小球2受到小球2和3之間彈簧的彈力，則F2-3=ma2，解得小球2的加速度a2=2a，其余小球的受力情況不變，加速度依然為a，選項(xiàng)D正確。

答案：AD

點(diǎn)評(píng)

求解連接體各物體之間的作用力，需要隔離與該力相關(guān)的物體列方程解答。

五、豎直面上彈簧連接體加速運(yùn)動(dòng)情景

情景解讀：可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，兩端分別用輕繩連接，剪斷下面輕繩的瞬間;也可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，撤去托板的瞬間;也可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，剪斷上面輕繩的瞬間;還可能是豎直方向上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，下端用托板托住，上端受到豎直向上的拉力作用等。

例5 如圖5所示，質(zhì)量分別為m和2m的A、B兩物塊通過一輕彈簧相連，將物塊A用輕繩懸掛在天花板上，用一木板托住物塊B。調(diào)整木板的位置，當(dāng)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，懸掛物塊A的輕繩恰好伸直且沒有拉力，此時(shí)輕彈簧的形變量為x。突然撤去木板，重力加速度為g，則下列說法中正確的是（

）。

A.撤去木板后，物塊B向下運(yùn)動(dòng)x時(shí)速度最大

B.撤去木板后，物塊B向下運(yùn)動(dòng)2x時(shí)的速度最大

C.撤去木板瞬間，物塊B的加速度大小為g

D.撤去木板瞬間，物塊B的加速度大小為1.5g

解析 當(dāng)物塊B受到的合外力為O時(shí)，加速度為O，速度最大，此時(shí)T2=2mg=kx2，又有mg =kx，解得彈簧的伸長量x2=2x，即撤去木板后，物塊B向下運(yùn)動(dòng)3x時(shí)的速度最大，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤。撤去木板瞬間，物塊B受到的合外力為3mg，由牛頓第二定律知其加速度大小為1. 5g，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確。

答案：D

點(diǎn)評(píng)

解答彈簧連接體問題時(shí)需要注意在撤去木板（其他外力）瞬間，輕彈簧的彈力保持不變。

六、傾斜面上彈簧連接體加速運(yùn)動(dòng)情景

情景解讀：可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，兩端分別用輕繩連接，剪斷下面輕繩的瞬間;也可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，撤去托板的瞬間;也可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，上端用輕繩懸掛，下端用托板托住，剪斷上面輕繩的瞬間;還可能是光滑傾斜面上通過輕彈簧連接的兩個(gè)物體，下端用托板托住，上端受到沿斜面方向拉力的作用等。

例6 如圖6所示，在足夠長的傾角θ=30°的光滑斜面上，擋板C與斜面垂直。質(zhì)量均為m的兩相同物塊A、B與勁度系數(shù)為k的輕彈簧兩端相連，在擋板C的作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)給物塊A施加沿斜面向上的恒力F，使A、B兩物塊先后開始運(yùn)動(dòng)。已知彈簧始終在彈性限度內(nèi)，下列判斷正確的是（ ）。