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    基于稀疏正則化的穩(wěn)態(tài)熱源識(shí)別*

    2020-02-26 08:31:56潘天成呂中榮汪利
    關(guān)鍵詞:熱傳導(dǎo)正則熱源

    潘天成,呂中榮,汪利

    (中山大學(xué)航空航天學(xué)院,廣東 廣州 510006)

    在實(shí)際工程中,存在著許多熱現(xiàn)象,及時(shí)監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的溫度,識(shí)別熱源的位置和強(qiáng)度,對(duì)整個(gè)熱傳導(dǎo)系統(tǒng)的安全監(jiān)測(cè)和溫度控制具有重要意義。例如,通過測(cè)量核反應(yīng)堆外部的溫度,從而得到其內(nèi)壁溫度,實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和控制整個(gè)反應(yīng)的溫度;在電路中容易產(chǎn)生局部的熱源,識(shí)別熱源的位置可以用于對(duì)電路進(jìn)行檢修;航天飛機(jī)在進(jìn)入大氣層時(shí),經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生氣動(dòng)加熱,航天器的局部結(jié)構(gòu)產(chǎn)生熱源,因此根據(jù)局部溫度場(chǎng)來識(shí)別熱源的位置和強(qiáng)度就顯得尤為重要。熱源識(shí)別屬于熱傳導(dǎo)反問題的研究領(lǐng)域[1],目的在于識(shí)別熱源的位置和強(qiáng)度,及時(shí)掌握系統(tǒng)中熱源的屬性。研究表明,熱源識(shí)別問題一般是非適定的[2],導(dǎo)致識(shí)別結(jié)果對(duì)溫度測(cè)量誤差十分敏感。

    實(shí)際上,熱源識(shí)別的研究主要分為兩類:一是給定熱源的位置或者空間分布,識(shí)別熱源的強(qiáng)度;二是同時(shí)識(shí)別熱源的空間位置和強(qiáng)度。過去幾十年,很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)熱源識(shí)別問題做了大量的研究。為求解此類非適定問題,BECK提出在最小二乘方程中添加正則化項(xiàng)求解,發(fā)展并使用了Tikhonov正則化方法。在一維的熱傳導(dǎo)問題中,BLACK WELL提出了序列估計(jì)方法[3]。HUANG等通過共軛梯度法來研究了一維和二維模型中的一個(gè)或兩個(gè)點(diǎn)熱源的強(qiáng)度識(shí)別問題[4]。但是由于算法迭代的特性,計(jì)算時(shí)間比較長(zhǎng)。GENG等采用變分迭代算法求得拋物型熱方程無離散化問題的數(shù)值解并確定熱源的強(qiáng)度[5]。NETO等完成了矩形域內(nèi)特定位置的線熱源隨時(shí)間變化的強(qiáng)度識(shí)別[6]。LI等提出了一種并行蟻群的優(yōu)化算法來識(shí)別二維域中的一個(gè)點(diǎn)熱源[7]。第一類熱源識(shí)別的研究工作比較多,但對(duì)于第二類熱源的識(shí)別研究卻十分有限。主要難點(diǎn)在于測(cè)量得到的溫度與熱源強(qiáng)度和位置之間呈復(fù)雜、難以顯式表達(dá)的非線性關(guān)系,而且在有限元的框架下,測(cè)量數(shù)據(jù)量將小于未知參數(shù)數(shù)目,導(dǎo)致問題的嚴(yán)重非適定性。幸運(yùn)的是,稀疏正則化可以很好地解決這一問題[8-9]。

    本文將提出一種新的方法來研究熱源識(shí)別第二類問題??紤]到點(diǎn)熱源在空間上的分布是稀疏的,引入稀疏正則化[10-12]來對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行約束, 并且采用交替優(yōu)化方法[13]分別對(duì)溫度和熱源兩個(gè)分離的變量進(jìn)行迭代求解。在尋求正則化參數(shù)的過程中,提出了閾值法。本文所提算法能快速準(zhǔn)確地識(shí)別熱源位置和強(qiáng)度,這給實(shí)際工程的應(yīng)用提供了一定的參考。

    1 稀疏正則化目標(biāo)函數(shù)建立

    1.1 熱傳導(dǎo)問題有限元格式

    考慮一個(gè)包含邊界?Ω的二維域Ω的熱傳導(dǎo)問題,一般的控制方程為

    +Q(x,y,t),

    x,y∈Ω,t≥0

    (1)

    其中,x,y是笛卡爾坐標(biāo),T為溫度,α為不隨時(shí)間變化的熱傳導(dǎo)率,Q是熱源項(xiàng),本文主要考慮為點(diǎn)熱源的情形。

    邊界條件為

    =h(Te(x,y,t)-T(x,y,t))

    在?qΩ邊界上T(x,y,t)=g(x,y,t),在?TΩ邊界上

    ?qΩ∪?TΩ=?Ω,

    ?qΩ∩?TΩ=φ,?TΩ≠φ

    (2)

    其中,nx、ny分別是二維域邊界的法向方向余弦,h是對(duì)流換熱系數(shù),Te(x,y,t)是周圍的環(huán)境溫度,?TΩ和?qΩ分別為本質(zhì)邊界和對(duì)流邊界,g(x,y,t)是在本質(zhì)邊界?TΩ給定的溫度分布。

    初始條件為

    T(x,y,0)=T0(x,y)

    (3)

    其中,T0(x,y)為二維域內(nèi)的初始溫度分布。

    +Q(x,y,t)=0,

    x,y∈Ω,t≥0

    (4)

    有限元方法是求解熱傳導(dǎo)問題(1)-(4)的有效數(shù)值方法,將二維域Ω劃分為有限個(gè)微小的單元dΩ,通過分段線性插值得到的有限元形函數(shù),可以將域內(nèi)的溫度用各節(jié)點(diǎn)的溫度表示。那么,穩(wěn)態(tài)情況下的有限元格式如下:

    (5)

    1.2 建立目標(biāo)函數(shù)

    (6)

    (7)

    1.3 稀疏正則化

    (8)

    其中,λ≥0是一個(gè)正則化參數(shù)。至此,基于稀疏正則化的有限元格式穩(wěn)態(tài)熱源識(shí)別目標(biāo)函數(shù)已經(jīng)建立。

    2 交替優(yōu)化方法

    2.1 交替優(yōu)化方法求解目標(biāo)函數(shù)

    2.1.1 溫度恢復(fù)步 完整的溫度數(shù)據(jù)從測(cè)量得到的溫度中得到恢復(fù)。

    (9)

    +(F(k-1))TF(k-1)

    +(F(k-1))TF(k-1)

    其中,公式(10)中的上標(biāo)S和U分別對(duì)應(yīng)測(cè)量的節(jié)點(diǎn)和未測(cè)量的節(jié)點(diǎn),上標(biāo)US對(duì)應(yīng)耦合的部分,I是一個(gè)單位矩陣。因此可以得到公式(9)的解,如下

    2.1.2 熱源識(shí)別步

    從恢復(fù)得到的完整溫度數(shù)據(jù)中識(shí)別熱源位置和強(qiáng)度,如下

    (12)

    (13)

    其中,(ν)j表示向量ν的第j個(gè)分量。顯然,問題(13)是具有顯式解。因此,熱源識(shí)別步,即公式(12)的解為

    (14)

    可以發(fā)現(xiàn),公式(14)容易得到稀疏正則化目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,而且目標(biāo)函數(shù)是解耦的,無需迭代。進(jìn)一步的研究表明,稀疏正則化參數(shù)λ可能會(huì)對(duì)熱源的強(qiáng)度識(shí)別造成一定的偏差,因此應(yīng)避免,本文對(duì)公式(14)進(jìn)行了修正,消除λ對(duì)識(shí)別的熱源強(qiáng)度的影響。

    =fm(λ;aj)

    (15)

    關(guān)于λ的選取將在接下來進(jìn)行討論。

    2.2 閾值法尋求正則化參數(shù)

    在執(zhí)行每一熱源識(shí)別步之前,都必須選取一個(gè)合適的正則化參數(shù)。根據(jù)公式(15),可選取一個(gè)閾值集τ。

    τ={λjcr:=2|aj|,j=1,2,…n}

    (16)

    當(dāng)λ≥λjcr時(shí),公式(15)的解為0,即表示在第j個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)部沒有點(diǎn)熱源存在;λ<λjcr時(shí),結(jié)果表明點(diǎn)熱源在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)內(nèi)部。將閾值集進(jìn)行降序排序

    (17)

    那么就可以通過閾值法來選取一個(gè)正則化參數(shù),基本算法如圖1所示。其中,lmax和γ是兩個(gè)閾值參數(shù),lmax表示點(diǎn)熱源存在的最大個(gè)數(shù);γ是一個(gè)判別比,通常在lmax比較小的情況下,取值較大。

    圖1 閾值法確定正則化參數(shù)流程圖Fig.1 The flow chart for determining regularization parameters by threshold setting method

    3 數(shù)值算例

    3.1 模型建立

    本文考慮一個(gè)二維穩(wěn)態(tài)的數(shù)值算例。通常,測(cè)量的溫度是從有限元模擬并添加一定的噪聲得到。在穩(wěn)態(tài)情況下,噪聲施加下

    (18)

    其中,Tj是從公式(5)求得的在第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)。ε是噪聲水平,一般為0%、2%、5%等等。r是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

    如圖1所示,薄板為鋁合金材料,長(zhǎng)和寬均為0.5 m,密度ρ=2 787 kg/m3,比熱容c=883 J/(kg·K),熱傳導(dǎo)率α=194 W/(m·℃), 對(duì)流換熱系數(shù)h=10 W/(m2·K),環(huán)境溫度為0 ℃,一個(gè)或多個(gè)熱源在薄板的內(nèi)部。每個(gè)熱源的面積為0.004 m×0.004 m,相對(duì)于板的面積是非常小的,因此可以看作是點(diǎn)熱源。

    薄板的有限元單元和節(jié)點(diǎn)信息,如圖2所示。

    圖2 二維穩(wěn)態(tài)模型圖Fig.2 Two-dimensional steady-state model

    考慮以下幾種工況,來驗(yàn)證所提方法的有效性和準(zhǔn)確性,熱源的強(qiáng)度Q15=1.2×106W/m2,Q20=1.0×106W/m2。

    3.2 熱源識(shí)別結(jié)果

    在識(shí)別表1四種工況的過程中,考慮噪聲的隨機(jī)性,進(jìn)行蒙特卡洛(monte carlo)試驗(yàn),每種工況取100組數(shù)據(jù)進(jìn)行研究,最后取其均值和標(biāo)準(zhǔn)差作為識(shí)別結(jié)果。在算法實(shí)現(xiàn)過程中,閾值法選取的參數(shù)分別為lmax=4,γ=5,β=1×106,fb的值則在每一次迭代的過程中選取矩陣ASS的2范數(shù),即fb=norm(ASS)。

    四種工況稀疏正則化與無正則化的識(shí)別結(jié)果如圖3-6所示,每種工況第20節(jié)點(diǎn)內(nèi)部的熱源強(qiáng)度識(shí)別結(jié)果及相對(duì)誤差如表2所示。在無噪聲的情況下,目標(biāo)函數(shù)中有稀疏正則化與無正則化均能準(zhǔn)確識(shí)別熱源的位置和強(qiáng)度,無正則化識(shí)別的強(qiáng)度誤差也為0。當(dāng)有噪聲水平的時(shí)候,稀疏正則化的識(shí)別結(jié)果明顯比無正則化的結(jié)果要好,而且能保證解的稀疏性,而無正則化的時(shí)候不能保證。同時(shí)發(fā)現(xiàn),噪聲水平的提高,蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)得到的熱源識(shí)別標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)增大,但不影響熱源的定位。工況4表明,僅通過邊界點(diǎn)的測(cè)量,本文所提方法也能準(zhǔn)確定位結(jié)構(gòu)內(nèi)部的熱源,且識(shí)別的強(qiáng)度誤差不大,誤差為3.62%,而無正則化的算法甚至無法準(zhǔn)確定位。在測(cè)量數(shù)據(jù)量比較少的情況下,稀疏正則化的優(yōu)勢(shì)明顯地體現(xiàn)出來了。

    圖3 工況1有無稀疏正則化識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.3 Identified results without and with regularization for scenario 1

    表2 第20節(jié)點(diǎn)熱源強(qiáng)度識(shí)別結(jié)果Table 2 The identified results of heat source strength at 20th node

    圖4 工況2有無稀疏正則化識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.4 Identified results without and with regularization for scenario 2

    圖5 工況3有無稀疏正則化識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.5 Identified results without and with regularization for scenario 3

    圖6 工況4有無稀疏正則化識(shí)別結(jié)果對(duì)比Fig.6 Identified results without and with regularization for scenario 4

    4 結(jié) 論

    本文考慮到點(diǎn)熱源在空間分布上的稀疏性,將稀疏正則化與交替優(yōu)化方法結(jié)合,提出了一種新的熱源識(shí)別方法,很好地克服了熱源識(shí)別非適定性的問題。數(shù)值算例的結(jié)果表明:該方法能同時(shí)識(shí)別熱源的位置和強(qiáng)度,稀疏正則化能加強(qiáng)解的稀疏性,具有較好的抗噪性,并且交替優(yōu)化方法的求解和閾值法尋求正則化參數(shù)使得識(shí)別快速準(zhǔn)確,甚至僅通過邊界的測(cè)量也可識(shí)別內(nèi)部的熱源,這給實(shí)際工程提供了一定的參考意義。

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