1∶3內(nèi)共振條件下屈曲梁的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)*

肖龍江，黃建亮

(中山大學(xué)航空航天學(xué)院，廣東 廣州 510275)

準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)是指系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)中含有多個(gè)不可約頻率的運(yùn)動(dòng)[1]。當(dāng)外激勵(lì)的頻率之間不可公度或系統(tǒng)的多個(gè)模態(tài)之間存在內(nèi)共振時(shí)將會(huì)產(chǎn)生準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的存在會(huì)導(dǎo)致響應(yīng)的振幅、頻率和相位角隨著時(shí)間連續(xù)變化，使得能量在不同模態(tài)之間實(shí)時(shí)遷移，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的破壞[2-4]。Afaneh和Ibrahim[5]利用多尺度法分析了1∶1內(nèi)共振條件下兩端固支屈曲梁的前兩階振動(dòng)響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)在該條件下屈曲梁可能存在準(zhǔn)周期響應(yīng)。Kreider和Nayfeh[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，在前兩階模態(tài)存在1∶1內(nèi)共振條件下，兩端固支屈曲梁會(huì)產(chǎn)生頻譜圖中存在等間距邊頻帶的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，Emam和Nayfeh[7]采用數(shù)值計(jì)算方法驗(yàn)證了上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果。Lau等[8-9]把增量諧波平衡法和多時(shí)間尺度法結(jié)合起來(lái)，用于計(jì)算系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。Huang和Zhu[10-11]改進(jìn)了Lau等[8-9]的方法，用兩時(shí)間尺度的增量諧波平衡法研究了一端固定一端簡(jiǎn)支的彎曲梁的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。在國(guó)內(nèi)，袁銘鴻等[12]研究了耦合系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，從他們得到的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜圖中可以觀察到等間距的邊頻帶。張丹偉等[13]用兩個(gè)時(shí)間尺度的IHB法研究了外激勵(lì)頻率不可公約時(shí)非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。李小彭等[14]通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析了多自由度內(nèi)共振系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。

本文研究了在基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，前兩階對(duì)稱模態(tài)存在1∶3內(nèi)共振的兩端固支屈曲梁的非線性振動(dòng)。先通過(guò)Galerkin方法對(duì)梁的振動(dòng)方程進(jìn)行離散，然后將傳統(tǒng)的單一時(shí)間尺度的增量諧波平衡和Floquet理論[15-16]相結(jié)合，分析外激勵(lì)振幅變化時(shí)振動(dòng)方程的周期響應(yīng)及其穩(wěn)定性的變化。當(dāng)梁的周期響應(yīng)發(fā)生Hopf分岔演變?yōu)闇?zhǔn)周期響應(yīng)時(shí)，采用兩時(shí)間尺度的IHB法研究準(zhǔn)周期響應(yīng)，并驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。

1 兩端固支屈曲梁的振動(dòng)方程

(1)

圖1 基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的兩端固支屈曲梁簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic of a fixed-fixed buckled subject to base harmonic excitation

在此基礎(chǔ)諧波激勵(lì)作用下，由哈密頓原理可求得屈曲梁的振動(dòng)方程為

(2)

(3)

對(duì)方程進(jìn)行無(wú)量綱化，令

(4)

帶入方程和邊界條件中可得

(5)

y(0,t)=y(1,t)=y′(0,t)=y′(1,t)=0

(6)

其中，點(diǎn)和撇分別表示對(duì)時(shí)間和空間求導(dǎo)，且

(7)

為了求出靜態(tài)屈曲函數(shù)v(x)，舍去方程(5)和(6)中的時(shí)間相關(guān)項(xiàng)和外激勵(lì)項(xiàng)可得

(8)

v(0)=v(1)=v′(0)=v′(1)=0

(9)

(10)

其中，b為無(wú)量綱化跨中撓度。把方程(10)帶入方程(8)中可解得

(11)

令方程的解為

y(x,t)=u(x,t)+v(x)

(12)

帶入方程(5)及邊界條件(6)可得

(13)

u(0,t)=u(1,t)=u′(0,t)=u′(1,t)=0

(14)

用文獻(xiàn)[17]中的方法求解兩端固支屈曲梁的固有頻率和模態(tài)函數(shù)[17-18]。舍去方程中的非線性項(xiàng)、阻尼項(xiàng)和外激勵(lì)項(xiàng)，可得到方程所對(duì)應(yīng)的線性化自由振動(dòng)方程，令方程的解為

(15)

由此可得

(16)

(17)

方程(16)的通解為

Φj=c1sinλjx+c2cosλjx+c3sinhμjx

+c4coshμjx+c5cos 2πx

(18)

其中，

(19)

(20)

可得各階固有頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)函數(shù)Φj，各階模態(tài)函數(shù)滿足條件

(21)

其中，δij為狄拉克函數(shù)。用Galerkin方法求解方程，為此令

(22)

將式(22)帶入方程(13)，在方程兩邊左乘Φi(x)，并對(duì)方程兩邊從0到1對(duì)x積分，可得

=γficos(ωt),i= 1,2,…,n

(23)

其中，

取

ξi=ξ,i=1,2,…,n

(25)

ξ為無(wú)量綱化模態(tài)阻尼系數(shù)，令

(26)

可將方程(23)化為

=γficos(ωt),i=1,2,…,n

(27)

2 兩個(gè)時(shí)間尺度的IHB法

用兩個(gè)新的無(wú)量綱時(shí)間變量

τ1=ωt,τ2=ωdt

(28)

代替變量t，因此qi(t)變?yōu)樽兞喀?和τ2的函數(shù)。

qi(t)=qi(ωt,ωdt)=qi(τ1,τ2)

(29)

由此可得到

(30)

把式(28)、(29)、(30)帶入式(27)可得

=γficosτ1,i=1,2,…,n

(31)

式(31)可以寫為矩陣形式

+(K+K(2)+K(3))q=γFcosτ1

(32)

(33)

兩時(shí)間尺度IHB法的第一步是增量過(guò)程。令q0、ωd0和γ0表示一個(gè)振動(dòng)狀態(tài)，其鄰近振動(dòng)狀態(tài)以增量形式表示為

q=q0+Δq,

ωd=ωd0+Δωd,

γ=γ0+Δγ

(34)

其中，q0=[q10,q20,…,qn0]T，Δq=[Δq1,Δq2,…,Δqn]T。把式(34)帶入式(32)，并且略去高于一階的小量，可得

(35)

其中

(36)

R是誤差向量。當(dāng)q0、ωd0和γ0是方程(32)的準(zhǔn)確解時(shí)，R=0。

兩時(shí)間尺度的IHB法的第二步是諧波平衡過(guò)程。因?yàn)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的頻譜圖在載波頻率(頻率的整數(shù)倍)的周圍存在著等間距的邊頻帶，所以可以用Galerkin方法把qi0展開為多重Fourier級(jí)數(shù)。

=Cs·Ai

(38)

其中，nc和ns分別為載波頻率的余弦項(xiàng)項(xiàng)數(shù)和正弦項(xiàng)項(xiàng)數(shù)，nf是一個(gè)載波頻率左側(cè)或右側(cè)所攜帶的邊頻帶頻率的數(shù)目，同時(shí)

Cs=[C0C1C2…CncS0S1…Sns]

(39)

(40)

其中

C0=[1cosτ2… cosnfτ2]nf+1,

S0=[sinτ2sin2τ2… sinnfτ2]nf,

(41)

Ci1=[cos(i1τ1-nfτ2) … cosi1τ1… cos(i1τ1+nfτ2)]2nf+1,i1=1,2,…,nc

(42)

Si1=[sin(i1τ1-nfτ2) … sini1τ1… sin(i1τ1+nfτ2)]2nf+1,i1=1,2,…,ns

(43)

(44)

(45)

把增量Δqi也展開為多重Fourier級(jí)數(shù)

Δqi=Cs·ΔAi

(47)

其中，

由此可得

q0=SA, Δq=SΔA

(48)

其中，S=diag(Cs,Cs, … ,Cs)，A=[A1A2…An]T，ΔA=[ΔA1ΔA2… ΔAn]T。

對(duì)式(35)運(yùn)用Galerkin 平均過(guò)程可得

(49)

把式(48)帶入式(49)可以產(chǎn)生關(guān)于變量ΔA、 Δωd和Δγ的線性方程

(50)

其中

(51)

(52)

其中

方程(50)的未知數(shù)數(shù)量比方程數(shù)量多2，在計(jì)算時(shí)應(yīng)先指定兩個(gè)增量作為控制變量。由于 Δωd無(wú)法預(yù)先得知，因此應(yīng)該在向量ΔA中指定兩個(gè)增量作為控制變量(為了得到準(zhǔn)周期解，兩個(gè)增量不能都是載波頻率對(duì)應(yīng)的諧波系數(shù))，指定控制變量后，先令兩個(gè)增量為0，由式(50)可求解得到 Δωd、Δγ以及ΔA中除了控制變量之外的其他量。把各增量加到原來(lái)的解上得到新解，判斷新解是否能使誤差向量R的模小于給定精度(在本文中，精度為1.0×10-10)；如果不能，把新解帶入式(50)，重復(fù)上述過(guò)程，不斷循環(huán)直至找到符合精度要求的解。之后，給控制變量加上給定的增量，使循環(huán)得以更新，重復(fù)上一循環(huán)，計(jì)算出新情況下的解。

3 計(jì)算結(jié)果與分析

為了準(zhǔn)確反映屈曲梁非線性振動(dòng)的特性，需要選取足夠多的模態(tài)數(shù)量對(duì)振動(dòng)方程進(jìn)行Galerkin離散。Emam和Nayfeh[7, 19]的計(jì)算表明，對(duì)于兩端固支屈曲梁，選取前四階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算是必要的。本文選取前四階模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。

取nc=ns=5，nf=0，Δωd=0帶入式(50)可得傳統(tǒng)的單一時(shí)間尺度的IHB法，以Δγ為增量可計(jì)算出周期響應(yīng)。把周期解的形式由式(38)變?yōu)?/p>

(55)

其中

(56)

由于

(57)

基礎(chǔ)諧波激勵(lì)只加載在梁的對(duì)稱模態(tài)而未加載在反對(duì)稱模態(tài)上。因此在外激勵(lì)振幅較小時(shí)，系統(tǒng)的反對(duì)稱模態(tài)并未被激發(fā)。直至γ增加到0.22時(shí)，由于第一和第三模態(tài)之間存在1∶3內(nèi)共振，能量向反對(duì)稱模態(tài)轉(zhuǎn)移，反對(duì)稱模態(tài)被激發(fā)，被激發(fā)的反對(duì)稱模態(tài)和對(duì)稱模態(tài)所含的頻率成分相同。繼續(xù)增加r值，追蹤反對(duì)稱模態(tài)被激發(fā)之后的周期響應(yīng)，并用Floquet理論分析周期解的穩(wěn)定性?？梢园l(fā)現(xiàn)在r∈[0.27,0.67]時(shí)，周期解不穩(wěn)定，F(xiàn)loquet乘子中有一對(duì)復(fù)共軛特征值與單位圓相交。因此，在這一段內(nèi)周期解發(fā)生Hopf分岔，演變?yōu)闇?zhǔn)周期解，如圖2所示。

圖2 ω=37，b=0.002 62時(shí)的振幅響應(yīng)曲線Fig.2 Amplitude response curves whileω=37, b=0.002 62

(58)

其中

(59)

由此，可計(jì)算得到準(zhǔn)周期響應(yīng)曲線，如圖2所示。準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)頻譜圖的邊頻帶間隔ωd的值也隨之計(jì)算出來(lái)。在本例中，隨著γ的增加，邊頻帶間隔ωd逐漸增加，如圖3所示。

圖3 屈曲梁的準(zhǔn)周期響應(yīng)中ωd隨 γ的變化Fig.3 Variation of ωdwithγin the quasi-periodic responses of buckled beam

以γ=0.27時(shí)的準(zhǔn)周期解為例進(jìn)行進(jìn)一步的探究，其第一模態(tài)的頻譜圖如圖4所示。從圖中可以看出，在載波頻率(頻率ω的整數(shù)倍)周圍，存在著等間距的邊頻帶，相鄰兩個(gè)邊頻帶的間隔為ωd≈3.65。ω與ωd的比值是一個(gè)無(wú)理數(shù)，正是這兩個(gè)頻率不可公約導(dǎo)致系統(tǒng)的響應(yīng)變?yōu)闇?zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，使它的時(shí)間歷程圖表現(xiàn)出明顯的“拍現(xiàn)象”，如圖5所示。從圖5還可以看出用IHB法得到的時(shí)間歷程圖與用四階Runge-Kutta(RK)法的數(shù)值結(jié)果完全重合。為了進(jìn)一步驗(yàn)證兩時(shí)間尺度的IHB法的準(zhǔn)確性，圖6和圖7分別比較了用兩時(shí)間尺度的IHB法和四階Runge-Kutta法得到的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的相圖和龐加萊截面圖，結(jié)果也是完全一致的。從圖7可以看出，準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的龐加萊截面圖是一條封閉曲線。

圖4 ω=37，b=0.002 62，γ=0.27時(shí)q1的頻譜圖Fig.4 Spectrum of q1 while ω=37, b=0.002 62, γ=0.27

圖5 ω=37，b=0.002 62，γ=0.27時(shí)準(zhǔn)周期響應(yīng)的時(shí)間歷程圖Fig.5 Time histories of the quasi-periodic response while ω=37, b=0.002 62, γ=0.27

圖6 ω=37，b=0.002 62，γ=0.27時(shí)準(zhǔn)周期響應(yīng)的相圖Fig.6 Phase plane portraits of the quasi-periodic response while ω=37, b=0.002 62, γ=0.27

圖7 ω=37，b=0.002 62，γ=0.27時(shí)準(zhǔn)周期響應(yīng)的龐加萊截面圖Fig.7 Poincaré sections of the quasi-periodic response while ω=37, b=0.002 62, γ=0.27

4 結(jié) 論

本文用多時(shí)間尺度法與IHB法相結(jié)合，得到了適用于求解系統(tǒng)的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的兩時(shí)間尺度的IHB法。對(duì)于前兩階對(duì)稱模態(tài)存在1∶3內(nèi)共振的兩端固支屈曲梁，當(dāng)作用在其上的基礎(chǔ)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的振幅處于一定范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)的周期響應(yīng)會(huì)發(fā)生Hopf分岔，演變?yōu)闇?zhǔn)周期響應(yīng)。文中用兩時(shí)間尺度的IHB得到了屈曲梁的準(zhǔn)周期響應(yīng)曲線圖，同時(shí)比較了兩時(shí)間尺度的IHB法和四階Runge-Kutta法所得到的結(jié)果。對(duì)比結(jié)果表明，兩時(shí)間尺度的IHB法有較高的精度，適用于解決頻譜圖中存在的等間距邊頻帶的準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。