非馬爾科夫環(huán)境對(duì)海森堡XXZ自旋鏈模型中量子隱形傳態(tài)的影響

迪麗達(dá)爾·海依提江, 阿拉帕提·阿不力米提, 白慧婷, 阿依尼沙·牙生,艾則孜古麗·阿不都克熱木, 艾合買提·阿不力孜

(新疆師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830054)

1 引 言

在實(shí)際的物理環(huán)境中量子通訊成為了研究熱點(diǎn),其中量子糾纏扮演著重要角色,其在量子隱形傳態(tài)中展現(xiàn)出的神奇特性以及潛在的應(yīng)用價(jià)值激起了人們的極大興趣[1,2]。然而在實(shí)際的物理環(huán)境中,不存在真正意義上的封閉系統(tǒng),任何量子系統(tǒng)都將與無(wú)法控制的環(huán)境相互作用,這些受環(huán)境或其它自由度影響的系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)特性降低,其動(dòng)力學(xué)過(guò)程可區(qū)分為馬爾科夫過(guò)程和非馬爾科夫過(guò)程[3,4]。從系統(tǒng)中流向環(huán)境的能量和信息不再流回到系統(tǒng),即此過(guò)程為系統(tǒng)對(duì)歷史沒(méi)有記憶的馬爾科夫過(guò)程。然而,實(shí)際環(huán)境和系統(tǒng)強(qiáng)耦合或者環(huán)境是人為構(gòu)造的情況[5]普遍存在,流入到環(huán)境的能量和信息流回到系統(tǒng)中去,該過(guò)程必然改變系統(tǒng)的狀態(tài)和性質(zhì),因此必須考慮非馬爾科夫效應(yīng)。在某種程度上,雖然馬爾科夫過(guò)程能夠較為準(zhǔn)確地描述開放量子系統(tǒng)的某些動(dòng)力學(xué)演化特性,但是由于其表示形式太過(guò)簡(jiǎn)單,可能會(huì)導(dǎo)致理論計(jì)算與實(shí)際的物理情況不相符,甚至有可能會(huì)漏掉一些比較重要的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[6～8]。因此,研究有記憶效應(yīng)的非馬爾科夫過(guò)程的動(dòng)力學(xué)演化特性非常重要。

Laine 等[9]發(fā)現(xiàn),用糾纏光子極化態(tài)進(jìn)行量子隱形傳輸時(shí),即使是在混合光子極化態(tài)情況下,由兩個(gè)光子的局域環(huán)境間存在的初始關(guān)聯(lián)記憶效應(yīng)能夠使得完美量子隱形傳態(tài)成為可能。到目前為止,量子隱形傳態(tài)已在很多不同體系中實(shí)現(xiàn),如具有易集成性和可擴(kuò)展性特點(diǎn)的固態(tài)體系[10,11]。然而,固態(tài)體系因與周圍環(huán)境耦合自由度多,退相干效應(yīng)也比較強(qiáng)。如何克服固態(tài)體系中的退相干效應(yīng)是一個(gè)極具實(shí)際意義的課題,固態(tài)體系與其環(huán)境耦合強(qiáng)的特點(diǎn)帶來(lái)的非馬爾科夫性已被用來(lái)在一定程度上解決該問(wèn)題。比如,Diosi 等[12,13]提出量子態(tài)擴(kuò)散方法,可以用來(lái)探索開放量子系統(tǒng)的非馬爾科夫動(dòng)力學(xué)。文獻(xiàn)[14～16]利用量子態(tài)擴(kuò)散方法(Quantum state diffusion,QSD)研究了兩個(gè)二能級(jí)原子與一個(gè)共同玻色庫(kù)強(qiáng)耦合的模型,結(jié)果證實(shí)兩個(gè)非相互作用的量子位的糾纏完全是由環(huán)境記憶產(chǎn)生的。調(diào)研發(fā)現(xiàn),利用此方法研究開放量子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題僅局限于量子糾纏,因此可利用此方法研究開放量子系統(tǒng)的量子通訊特性。

本文第2 節(jié)引入一對(duì)耦合的量子比特模型,并介紹了QSD 理論方法[14,17]。第3 節(jié)介紹量子隱形傳態(tài)基礎(chǔ)理論。第4 節(jié)重點(diǎn)利用QSD 方法探究海森堡自旋鏈被用來(lái)當(dāng)量子隱形傳態(tài)信道時(shí),零溫玻色庫(kù)環(huán)境的非馬爾科夫性對(duì)隱形傳態(tài)保真度的作用。此外,根據(jù)海森堡自旋鏈實(shí)際應(yīng)用情況,理論分析了在非馬爾科夫環(huán)境下外加磁場(chǎng)及DM 相互作用對(duì)隱形傳態(tài)的作用,前者可以用來(lái)實(shí)現(xiàn)各種量子邏輯門操作,而后者作為一種自旋-軌道耦合相互作用已被用于操控自旋鏈體系中的量子糾纏。

2 模型與量子態(tài)擴(kuò)散方法

考慮兩比特海森堡XXZ 模型(等效于一對(duì)耦合的二能級(jí)原子)與零溫玻色庫(kù)相互作用,總哈密頓量表示為(設(shè)?=1)

式中L=kAσ1?+kBσ2?是系統(tǒng)與環(huán)境耦合的Lindblad 算符,kA、kB是常量,描述兩個(gè)自旋鏈與各自環(huán)境的不同耦合強(qiáng)度;Hsys選為含z 方向的DM 相互作用和外加磁場(chǎng)的海森堡自旋鏈哈密頓量,可寫為

式中J 為x、y、z 方向上的耦合常數(shù),此處取Jx= Jy= Jxy;σ±= (σx±iσy)/2 為二能級(jí)原子的產(chǎn)生(湮滅)算符;ωA和ωB為兩個(gè)原子的能級(jí)躍遷頻率;Bz為z 方向均勻外加磁場(chǎng);Dz代表z 方向DM 相互作用,它源于自旋與軌道之間的耦合。

基于海森堡模型所產(chǎn)生的糾纏在量子信息傳輸?shù)阮I(lǐng)域中扮演著重要角色,尤其是包含Dzyaloshinskii-Moriya(DM)相互作用的海森堡自旋鏈的糾纏特性備受關(guān)注[18,19]。根據(jù)QSD 理論,相互作用自旋系統(tǒng)的非馬爾科夫隨機(jī)擴(kuò)散方程(NMQSD)可寫為[20]

其中M[·] 表示經(jīng)典噪聲zt的系宗平均值。將噪聲選為Ornstein-Uhlenbeck 噪聲時(shí), 其關(guān)聯(lián)函數(shù)為α(t,s) = (γe?γ|t?s|)/2,其中的參數(shù)γ 反映庫(kù)的記憶效應(yīng),以γ 的取值就可以區(qū)別馬爾科夫和非馬爾科夫過(guò)程。當(dāng)γ 趨近于無(wú)窮時(shí),關(guān)聯(lián)函數(shù)是一個(gè)Dirac delta 函數(shù),此時(shí)系統(tǒng)完全處于馬爾科夫環(huán)境中,反之處于非馬爾科夫環(huán)境[17]。

通?？梢岳?3)式推導(dǎo)出精確的非馬爾科夫近似主方程[17]來(lái)求解系統(tǒng)約化密度矩陣ρt,即

值得一提的是主方程(6)可以很好地替代精確的非馬爾科夫主方程(5)[12]。文獻(xiàn)[13]發(fā)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)非馬爾科夫過(guò)程中一階近似和零階近似結(jié)果相似,尤其在零階近似中數(shù)學(xué)計(jì)算過(guò)程被簡(jiǎn)化。因此,將通過(guò)零階近似情況下的主方程來(lái)求解系統(tǒng)的約化密度矩陣。

3 標(biāo)準(zhǔn)量子隱形傳態(tài)協(xié)議下傳遞單比特量子態(tài)的平均保真度

在標(biāo)準(zhǔn)量子隱形傳態(tài)協(xié)議下[21],以最大糾纏態(tài)作為量子信道,如四個(gè)Bell 態(tài)

中的一個(gè),則作為被傳輸?shù)男畔?任意未知的單粒子純態(tài)可寫為

式中0 ≤θ ≤π,0 ≤φ ≤2π。隱形傳態(tài)后總輸出態(tài)可以表示為[22]

然而,量子隱形傳態(tài)的輸入態(tài)是未知的,這更有利于計(jì)算量子隱形傳態(tài)中所有可能被輸出態(tài)的平均保真度。平均保真度的公式為[24]

4 數(shù)值結(jié)果與討論

基于平均保真度(10)式,利用非馬爾科夫近似主方程(6)式進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,并研究以最大糾纏態(tài)為量子信道傳輸未知量子態(tài)時(shí),受環(huán)境非馬爾科夫性系數(shù)γ、耦合常數(shù)Jxy、Jz影響的量子通信過(guò)程。Fig.1給出了在最大糾纏態(tài)量子信道傳輸過(guò)程中,γ 取不同值時(shí)平均保真度隨時(shí)間的演化圖像。對(duì)于參數(shù)的取值,只考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的情況,參數(shù)都對(duì)稱的兩個(gè)qubits,即ωA=ωB=0.5ω,kA=kB=1。當(dāng)量子信道由最大糾纏態(tài)構(gòu)成時(shí),隨著γ 的減小,即非馬爾科夫記憶效應(yīng)增強(qiáng),F 增大。這是因?yàn)樵瓉?lái)系統(tǒng)中耗散到環(huán)境中的信息和能量部分返回到系統(tǒng),表明非馬爾科夫環(huán)境的記憶效應(yīng)有助于保持和提高隱形傳態(tài)平均保真度。

Fig.1 Average fidelity for different memory times of the noise. The other parameters are Jxy =1,Jz =0,ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1

Fig.2 Time evolution of average fidelity for different anisotropic coupling parameters in non-Markovian environment. The other parameters are|ψ〉=1/(|01〉+|10〉),ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1. (a) Jz =0;(b) Jxy =1

為進(jìn)一步弄清非馬爾科夫環(huán)境中自旋耦合常數(shù)對(duì)保真度的作用, Fig. 2 給出量子信道由|ψ〉 =1/(|01〉+|10〉)構(gòu)成時(shí),在非馬爾科夫機(jī)制下(γ =0.1)耦合常數(shù)Jxy、Jz對(duì)F 的影響。Fig.2(a)描述了當(dāng)Jz=0,即該模型退化為海森堡XX 自旋鏈模型,Jxy分別取不同值時(shí)F 隨時(shí)間的變化關(guān)系。由Fig.2(a)可見Jxy= Jz=0 時(shí),這兩個(gè)非相互作用的量子位的保真度完全受環(huán)境記憶的作用,然而隨Jxy增大而增大,表明Jxy在隱形傳態(tài)過(guò)程中起著積極的作用。Fig.2(b)顯示,在非馬爾科夫機(jī)制下且取Jxy= 1 時(shí), Jz取值越小越大。也就是說(shuō)在實(shí)際模型中可以選擇XX 自旋鏈模型實(shí)現(xiàn)較為理想的隱形傳態(tài)。

還發(fā)現(xiàn)不同的自旋-自旋耦合常數(shù)對(duì)隱形傳態(tài)保真度的影響并非總是不變的。如Fig.3,當(dāng)選取不同

Fig.3 Time evolution of average fidelity for different anisotropic coupling parameters in non-Markovian environment.The other parameters are|ψ〉=1/(|00〉+|11〉),ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1.(a)Jz =0;(b)Jxy =1

Fig.4 Time evolution of average fidelity for different DM interaction and external magnetic field in non-Markovian environment.The other parameters are|ψ〉=1/(|01〉+|10〉),Jxy =1, Jz =0,γ=0.1,ωA =ωB =0.5ω,kA =kB =1.(a)Dz =0;(b)Bz =0;(c)Dz =1;(d)Bz =1

的量子信道時(shí), Jxy與Jz對(duì)的影響與Fig.2 正好相反。從圖中還可以看出,保真度隨時(shí)間的震蕩幅度及頻率也與自旋耦合常數(shù)有關(guān)?？傊?Fig.2 和Fig.3 表明,量子信道的選取影響隨時(shí)間的演化特性。因此,選擇合適的糾纏態(tài)作為量子信道尤為關(guān)鍵,環(huán)境噪聲關(guān)聯(lián)系數(shù)γ 和兩比特間耦合常數(shù)Jxy、Jz可以有效地控制平均保真度。接下來(lái)討論非馬爾科夫環(huán)境下,均勻外加磁場(chǎng)Bz和DM 相互作用Dz對(duì)的影響。Fig.4 給出了當(dāng)量子信道由糾纏態(tài)|ψ〉 = 1/(|01〉+|10〉)構(gòu)成時(shí), Bz和Dz的引入對(duì)量子隱形傳態(tài)的影響。Fig.4(a)顯示,無(wú)DM 相互作用時(shí),外加磁場(chǎng)對(duì)平均保真度有明顯的積極作用。從Fig.4(b)中可以看出沒(méi)有外加磁場(chǎng)只有Dz時(shí),Dz越大,的頻率和振幅同時(shí)增大,峰值可達(dá)最大值1。為了弄清磁場(chǎng)和DM 相互作用同時(shí)存在時(shí)隨時(shí)間的演化特性,給出了Fig.4(c)。發(fā)現(xiàn)兩者都取相同值時(shí)保真度的質(zhì)量不如一個(gè)取值比另一個(gè)小的情況。而且兩者取值差別越大保真度越好。

5 結(jié) 論

利用非馬爾科夫QSD 方法研究了在海森堡XXZ 自旋鏈模型中量子隱形傳態(tài)的理論實(shí)現(xiàn)。詳細(xì)討論了環(huán)境非馬爾科夫性系數(shù)、不同的量子信道、兩比特間不同的耦合常數(shù)、z 方向的DM 相互作用以及均勻外加磁場(chǎng)對(duì)平均保真度的影響。研究結(jié)果表明: 量子隱形傳態(tài)的平均保真度隨環(huán)境的記憶效應(yīng)的增大,即環(huán)境關(guān)聯(lián)系數(shù)γ 的減小而增大,說(shuō)明環(huán)境記憶效應(yīng)對(duì)量子隱形傳態(tài)起到積極作用。另外,不同的量子信道下,不同的自旋耦合常數(shù)對(duì)量子隱形傳態(tài)平均保真度的影響不盡相同。最后,如果想得到最大保真度,外加磁場(chǎng)和DM 相互作用不能同時(shí)存在。在實(shí)際情況下,如兩種因素同時(shí)存在,通過(guò)增大兩者取值間差距也可以得到較為理想的保真度。