■ 江蘇大學(xué)東海機械汽配研究院 (江蘇連云港 222000) 孫 躍
■ 卓郎(江蘇)紡織機械有限公司 (江蘇常州 213200) 孫 圓
在機械制造領(lǐng)域,經(jīng)常會遇到平面尺寸鏈的計算問題。所謂平面尺寸鏈,是指封閉環(huán)和所有組成環(huán)同處于同一平面或幾個相互平行的平面內(nèi),且某些組成環(huán)不平行于封閉環(huán)的尺寸鏈。相對線性尺寸鏈而言,平面尺寸鏈中除了長度尺寸外,還有角度及坐標(biāo)尺寸等。比如,在加工機械零件時,經(jīng)常會遇到類似如圖1所示的零件。加工類似零件,除了選擇加工工藝基準(zhǔn)、加工方法、加工順序及工藝裝備外,還必須計算有關(guān)工序尺寸的幾何參數(shù)的允許誤差,從而使加工的零件符合圖樣要求。目前對平面尺寸鏈的計算常用投影法和微分法,但兩者的計算精確度有誤差,下面就這兩種方法進(jìn)行一般公式推導(dǎo)以及對比分析。
投影法的原理是將平面尺寸鏈轉(zhuǎn)化為直線尺寸鏈求解,一般把各組成環(huán)沿封閉環(huán)所在方向投影,將二維的平面尺寸鏈轉(zhuǎn)化為一維的直線尺寸鏈,建立形式上的線性尺寸鏈,求出封閉環(huán)與各組成環(huán)的關(guān)系方程,以確定封閉環(huán)的基本尺寸,最后根據(jù)直線尺寸鏈公式進(jìn)行求解。下面以平面孔系尺寸鏈為例進(jìn)行推導(dǎo)。
圖1 多孔零件
將圖1簡化為如圖2所示三角形,A1與A0尺寸之間的夾角為α,A2與A0尺寸之間的夾角為β,A1與A0之間的夾角為θ。通過鏜孔的加工順序可判斷A1、A2為組成環(huán),A0為封閉環(huán)。按照投影法原理將A1、A2投影到A0尺寸線上,通過三角函數(shù)關(guān)系可得如下關(guān)系式
圖2 各孔距間三角關(guān)系
為便于計算,投影時公式(1)中各變量皆取平均值,可知A0尺寸為A1與A2尺寸在A0尺寸線上投影之和。
由于A1與A2尺寸公差的影響,導(dǎo)致角度尺寸α、β也隨之在一定范圍內(nèi)變化。為考慮A1與A2尺寸變化對A0尺寸的影響程度,對公式(1)兩邊進(jìn)行微分,得到方程如下
由圖2可知,A1·sinα=A2·sinβ,且三角形內(nèi)角和α+β+θ=π,為簡化計算過程,設(shè)兩邊夾角θ的值為一給定值,α和β為未知變量,對α+β+θ=π兩端微分,得到dα=-dβ,這時可將公式(2)簡化為
用公差Ti代替公式(3)中的微小增量dAi,令T0=dA0,T1=dA1,T2=dA2,對各偏導(dǎo)數(shù)取正值,則公式(3)簡化為
綜上所述,可得投影法求解平面尺寸鏈中的孔系尺寸鏈的一般公式(1)和公式(4)。從兩個公式形式上可以看出它們很相似,由于將A1與A2之間的夾角θ當(dāng)做一個固定值,不考慮θ變化對A0的影響,公差T0的變化就僅受A1與A2的影響,而求T0的解則變成了對應(yīng)的公差T1和T2的三角函數(shù)運算。事實上,θ角公差還是對A0的影響很大的,下面通過微分法求解的推導(dǎo)過程進(jìn)行對比分析。
運用全微分概念,把封閉環(huán)尺寸視為組成環(huán)的函數(shù),設(shè)各組成環(huán)尺寸Ai為自變量,則封閉環(huán)尺寸A0為多元函數(shù)
根據(jù)全微分的概念,當(dāng)各組成環(huán)變量產(chǎn)生微小增量時,則封閉環(huán)尺寸的增量為
用各環(huán)的公差代替微小增量dAi并對偏微分取絕對值,即可近似求得封閉環(huán)A0的公差T0為
式中,Ti為各組成環(huán)公差。
對于圖1所示零件,根據(jù)余弦定理,建立方程如下
對方程兩端微分并整理后可得
式中,Ti為各組成環(huán)公差,角度θ換算成弧度計算。
綜上所述,可得微分法求解平面孔系尺寸鏈的一般公式(8)和公式(10),從公式(10)可以看出,當(dāng)計算封閉環(huán)A0的公差時,考慮到了θ變化對A0的影響,比較全面。
設(shè)如圖1所示零件,A1=(300±0.125)mm,A2=(250±0.2)mm,θ=135°±15′,求解A0的公稱尺寸和公差。
根據(jù)正弦和余弦定理,求得α=20.34°,β=24.66°。
根據(jù)推導(dǎo)出的公式(1),帶入相關(guān)數(shù)據(jù),可求得A0的公稱尺寸,A0=A1·cosα+A2·cosβ=300×cos20.34°+250×cos24.66°≈508.494(mm)。
根據(jù)推導(dǎo)出的公式(4),帶入相關(guān)數(shù)據(jù),可求得A0的公差T0=T1·cosα+T2·cosβ=0.25×cos20.34°+0.4×cos24.66°≈0.598(mm)。
所以投影法求得的孔距A0=(508.494±0.299)mm。
根據(jù)公式(8),帶入相關(guān)參數(shù),可求得A0的公稱尺寸,508.494(mm)。
根據(jù)推導(dǎo)出的公式(1 0),帶入相關(guān)數(shù)據(jù),并將角度θ換算成弧度,可求A0的公差。Tθ=θπ/1 8 0≈0.0 0 9,≈0.938×0.25 +0.909×0.4+104.294×0.009≈1.536(mm)。
所以微分法求得的孔距A0=(508.494±0.768)mm。
從投影法和微分法計算結(jié)果可以看出,封閉環(huán)的公稱尺寸是相同的,最大差別就在于公差上,投影法封閉環(huán)公差的計算值要包含于微分法計算值區(qū)間內(nèi)。投影法只考慮組成環(huán)A1與A2的影響而忽略了夾角θ公差對A0公差值的影響,而微分法既考慮組成環(huán)又考慮了夾角公差的影響。根據(jù)A1、A2、θ對A0的偏微分,求得的傳遞系數(shù)分別為0.938、0.909和104.294,可見夾角θ公差對封閉環(huán)的影響是最大的。
與微分法求解得出的封閉環(huán)尺寸和公差比較,投影法將夾角角度設(shè)為沒有加工誤差的理想情況,對實際測量尺寸的精度要求會明顯提高,在生產(chǎn)過程中雖然最終加工的產(chǎn)品符合圖樣設(shè)計要求,但容易出現(xiàn)“假廢品”情況,而且由于投影法計算出來的公差值較小,導(dǎo)致產(chǎn)品加工對操作員水平和設(shè)備要求高,降低了生產(chǎn)效率,導(dǎo)致生產(chǎn)成本上升。
通過對平面尺寸鏈中的孔系尺寸鏈的投影法和微分法推導(dǎo)及計算結(jié)果進(jìn)行對比分析可知,采用投影法求解對封閉環(huán)的公稱尺寸無影響,但由于不考慮角度的影響,計算得出的公差與微分法求解值有較大的差距,明顯提高了封閉環(huán)的精度,導(dǎo)致檢測時容易出現(xiàn)“假廢品”現(xiàn)象。而微分法求解,由于考慮了角度公差的影響,計算準(zhǔn)確,能夠真實反映各因素對計算結(jié)果的影響,是求解平面尺寸鏈較好的方法。微分法只需要建立封閉環(huán)與各組成環(huán)的函數(shù)關(guān)系,特別是當(dāng)尺寸鏈的組成環(huán)較多,投影困難,難以判斷各環(huán)增、減屬性時,更能體現(xiàn)出其優(yōu)越性。
專家點評
文章的理論性很強,通過對尺寸鏈中的投影法和微分法進(jìn)行對比分析,從推導(dǎo)公式和計算結(jié)果得出,兩種方法的差別就在于公差上。投影法求解不考慮角度誤差,容易出現(xiàn)“假廢品”情況;微分法求解,只需建立封閉環(huán)與組成環(huán)的函數(shù)關(guān)系,并考慮角度公差值的影響,能夠真實反映各項因素的影響,計算更加準(zhǔn)確。
文章條理清晰,思路嚴(yán)謹(jǐn),能夠?qū)⒊橄蟮某叽珂渾栴}上升到對比分析的理論高度,結(jié)論部分也寫得很好,簡明扼要,有理有據(jù),起到了畫龍點睛的作用。