變論域模型上帶賦值算子的認知邏輯研究

魏 宇

1.簡述

設想一個機器人的世界?，F(xiàn)在有兩個機器人，分別是A和B。A發(fā)生了故障，于是通過公共廣播系統(tǒng)發(fā)出求助信息。B是機器人世界的維修工，負責維修壞損的機器人。此時B可能接收到或者沒有接收到A 的求助信息，A 下一步的行動將取決于其是否有“我（A）知道B知道我需要幫助”這條知識。①例子來源于A.J.Grove，“Naming and Identity in Epistemic Logic PartⅡ：A First-order Logic for Naming，”Artificial Intelligence，Vol.74 No.2（1995）：311-350。如果有，A可以等待救助，否則它將嘗試其他的方式自救。那么，認知邏輯里如何形式化“我知道B知道我需要幫助”這樣的知識呢？

當代認知邏輯的研究起源于亨迪卡（J.Hintikka）自上世紀六十年代開始的一系列工作。②參見J.Hintikka，Knowledge and Belief：An Introduction to the Logic of the Two Notions，Ithaca，New York：Cornell University Press，1962，pp.40-57。辛提卡開創(chuàng)了研究“知識”、“信念”概念的模態(tài)邏輯路徑，他提出“知道”模態(tài)算子Ki以表達“主體i 知道命題φ”這樣的知識（公式表示：Kiφ）。語義上說，根據(jù)模態(tài)邏輯的可能世界語義學，一個命題是必然的意味著該命題在所有可能世界上為真，應用到認知邏輯上，一個命題是知識被刻畫為其在所有認知可能的世界上為真。而認知上的可能性被定義為可能世界之間的一種二元的可通達關系，如w、v 是兩個可能世界，Ri表示這樣一種可通達關系，那么wRiv 表示對于世界w 上的主體i而言，世界v 是認知可能的。斯塔爾內(nèi)克（R.Stalnaker）指出，這樣做的想法是給出對認知狀態(tài)的結構的一個準確描述，同時在什么構成了知識等更實質(zhì)性的問題上保持中立，而集中于有關知識的邏輯問題上。③R.Stalnaker，“On Logics of Knowledge and Belief，”Philosophical Studies，Vol.128 No.1（2006）：169-199.

把可能世界語義學應用到認知概念上，在某種意義上是更合理的。如，原本的可能世界語義學意在刻畫必然性、可能性等真勢（alethic）概念，卻很難解釋為什么可通達關系不是全局關系，畢竟每個可能世界都是“可能”的。而在認知情形下，由于可通達關系反映了認知主體的可設想性，因此它理應是局部的。辛提卡認為描述知識的可通達關系應該是自返的和傳遞的，這兩條模型性質(zhì)分別對應于其認知邏輯系統(tǒng)中的公理Kiφ→φ（簡稱T）和Kiφ→KiKiφ（簡稱4）。T公理又被稱為真實性公理（factivity axiom），體現(xiàn)知識蘊涵真的想法；4公理又稱正自省公理（positive introspection axiom），說的是主體知道就蘊涵知道自己知道。在后來認知邏輯的發(fā)展和應用中，學者們常常假設刻畫知識的邏輯還應該加上一條負自省公理：～Kiφ→Ki～Kiφ（簡稱5），即主體不知道就蘊涵知道自己不知道。以T、4、5為基礎的認知邏輯系統(tǒng)（簡稱S5）在分布式計算系統(tǒng)、博弈論和人工智能等領域有著廣泛而成功的應用。以上的簡述是在命題邏輯的層面。

回到文章開頭的例子，形式化要用到謂詞邏輯的語言。對機器人A 的知識“我知道B知道我需要幫助”標準的形式化是：KAKBH（A），其中H 是一元謂詞“需要幫助”。但這樣一個公式并不能區(qū)分以下四種A的知識，即A知道：

（1）名字叫B的機器人知道名字叫A的機器人需要幫助；

（2）名字叫B的機器人知道它這個損壞機器人需要幫助；

（3）那個維修機器人知道名字叫A的機器人需要幫助；

（4）那個維修機器人知道它這個損壞機器人需要幫助。

這些不同知識的區(qū)分常常被稱為從物（de re）和從言（de dicto）知識的區(qū)分。這里的區(qū)分對于例子中的場景是關鍵的。如，為了使A能夠安心等待救援，A不僅僅需要知道“維修機器人知道名字叫A的機器人需要幫助”，某種意義上這等同于知道“維修機器人知道發(fā)送求助信息的機器人需要幫助”，A還需要確認維修機器人知道它需要幫助，因為維修機器人很可能并不從物地知道A是誰。

在一階模態(tài)邏輯的基礎上，僅僅把模態(tài)算子處理成知道算子Ki并不能使我們在邏輯語言中（語形上）區(qū)分從物、從言的不同情形。客觀上，量化的認知邏輯也并沒有像命題認知邏輯一樣受到應有的關注。①盡管在認知邏輯的開端亨迪卡本人就做過大量有關量化的認知邏輯的工作，并且量化也被很多應用領域驅(qū)動著（有關博弈、加密知識、安全協(xié)議等），一階認知邏輯的研究遠沒有成為主流。參見Y.Wang，“Beyond Knowing That：A New Generation of Epistemic Logics，”Jaakko Hintikka on Knowledge and Game-Theoretical Semantics，Hans van Ditmarsch&Gabriel Sandu（eds.），Springer，2018，pp.499-533。在斯坦福哲學百科全書中，最新修訂的“認知邏輯”詞條里有這樣的說法：“直到最近，認知邏輯幾乎完全集中在命題知識上?！雹賀.Rendsvig&J.Symons，“Epistemic Logic，”The Stanford Encyclopedia of Philosophy（Summer 2019 Edition），Edward N.Zalta（ed.），URL〈https：//plato.stanford.edu/archives/sum2019/entries/logic-epistemic/〉.根據(jù)王彥晶和謝立民（J.Seligman）的梳理②參見Y.Wang &J.Seligman，“When Names are not Commonly Known：Epistemic Logic with Assignments，”Advances in Modal Logic，Vol.12 No.1（2018）：611-628。，面對文章開頭例子中的問題，邏輯學家們曾提出過不少方案，比如費廷（M.Fitting）曾提出一種一階內(nèi)涵邏輯，應用謂詞抽象（predicate abstraction）的技術來刻畫不同的從物/從言情形。③參見M.Fitting& R.L.Mendelsohn，F(xiàn)irst-Order Modal Logic，Dordrecht：Springer Science&Business Media，1998，pp.187-195。例如，＜λx.KbH（x）＞（a）表達了個體b 從物的知道a 需要幫助，而不論b是否知道該個體名字叫做a；KbH（a）說的是個體b從言的知道a 需要幫助，而不論b是否知道a 是誰。

本文將采用王彥晶和謝立民所提出的帶賦值算子的認知邏輯的研究進路。該邏輯沿循庫伊（B.Kooi）所提出的動態(tài)項模態(tài)邏輯的想法④B.Kooi，“Dynamic Term-modal Logic，”A meeting of the minds.Proceedings of the workshop on Logic，Rationality and Interaction，Beijing，2007 Texts in Computing Computer Science 8，J.Van Benthem，S.Ju&F.Veltman（eds.），London：College publications，2007，pp.173-185.，而二者都可以追溯到費廷與其學生提出的項模態(tài)邏輯（term-modallogic）。⑤M.Fitting，L.Thalmann&A.Voronkov，“Term-modal Logics，”Studia Logica，Vol.69 No.1（2001）：133-169.項模態(tài)邏輯的主要想法是把一階邏輯中的項當做多元模態(tài)詞中的指標（indexes），從而使得模態(tài)詞指標本身也可以被量化。應用到認知邏輯上，如Kf（a）～?x Kxφ 表達了“a的爸爸知道并非所有人都知道φ”。在此基礎上，庫伊借用一階動態(tài)邏輯中的賦值算子來更改名字的所指。然后王彥晶和謝立民在動態(tài)項模態(tài)邏輯之上采取了一種最小化的方法，僅把動態(tài)邏輯中基礎的賦值算子加入無量詞的項模態(tài)邏輯中，其表達力就足以自然地區(qū)分開多種從物/從言情形。

王彥晶和謝立民的工作的主要技術結果是給出了帶賦值算子的認知邏輯在S5的常論域模型上可靠完全的公理系統(tǒng)。注意到庫伊的工作也是在常論域模型上，這就啟發(fā)我們進一步放松對論域的限制，并討論由此可能引發(fā)的不同情況。正如庫伊在動態(tài)項模態(tài)邏輯提出之初所言，動態(tài)項模態(tài)邏輯的一個發(fā)展方向就是允許論域變化，并從認知的視角研究存在的問題①參見B.Kooi，“Dynamic term-modal logic，”A meeting of the minds.Proceedings of the workshop on Logic，Rationality and Interaction，Beijing，2007 Texts in Computing Computer Science 8，J.Van Benthem，S.Ju&F.Veltman（eds.），London：College publications，2007，pp.173-185。，本文在這個方向上做出了第一步的嘗試。下文可以看到，通過定義變論域情形下恰當?shù)恼J知模型，盡管邏輯語言中沒有量詞，我們也能夠通過特殊的項-模態(tài)公式表達一個個體在某可能世界中存在，即把元語言層面的“存在”概念引入目標語言中。更進一步，如果我們放松對項的解釋的限制，允許某些項可能在某些可能世界是空指的，則我們也可以通過特定的帶賦值算子的公式表達一個名字在一個可能世界上有指，即把元語言層面的“指稱”（designation）概念引入邏輯語言。相對于新的模型設定，我們還將給出一個可靠完全的公理化系統(tǒng)。語義上的放松限制亦將很好得體現(xiàn)在該公理系統(tǒng)中。

2.形式語言與變論域認知模型

首先給出形式語言。給定一個名字的可數(shù)集N，一個變元的可數(shù)集X，一個謂詞符號的可數(shù)集P，一個函數(shù)符號的可數(shù)集F：

（1）項t的定義：①x∈X 是項；②a∈N 是項；③任意n元函數(shù)符f∈F應用到任意n個項上，得到的f（t1，…，tn）是項。

（2）公式φ 的定義：①t≈t是公式；②任意n元謂詞符P∈P，P（t1，…，tn）是公式；③如果φ，ψ 是公式，那么～φ，φ∧ψ 都是公式；④如果φ 是公式，那么Ktφ 是公式；⑤如果φ 是公式，那么[xt]φ 是公式。

如果把a∈N 稱為專名（propername），把f（t1，…，tn）稱為函數(shù)名（function name），并把專名和函數(shù)名統(tǒng)稱為名字，那么所有的項就分為兩類，變元和名字，它們構成了邏輯語言的基本元素。相比于王彥晶和謝立民的工作，引入函數(shù)符號增加了我們邏輯語言的表達力，使得我們能夠表達“a的爸爸知道φ”（公式表示成Kf（a）φ）這樣的知識。引入，＜xt＞φ 分別表示公式～Kt～φ 與～[xt]～φ 的縮寫。[xt]φ 直觀上說的就是，把t在當前世界的值賦給x 以后，φ 成立。由下文即將引入的語義可以看出，在該形式語言里，只有變元x 是嚴格的（rigid），即在所有可能世界中指示同一個對象，名字并非嚴格指示詞。

在謂詞邏輯的框架下，可能世界語義學的內(nèi)容變得更加豐富。常論域的克里普克模型只帶有唯一的一個論域，本質(zhì)上假設了論域是一種公共知識。這種假設在許多應用中是合理的。比如在分析紙牌類游戲的時候，游戲者通常被假定擁有關于桌子上都有什么牌的公共知識。①R.Fagin，J.Y.Halpern，Y.Moses & M.Vardi，Reasoning about Knowledge，Cambridge，Massachusetts：MIT Press，2004，pp.86-87.然而這樣的假定顯然并不總是合理的，尤其在認知場景里，認知主體并不總能確定有且僅有哪些個體是存在的。

定義2.1：一個變論域的克里普克模型M 是一個七元組＜W，I，R，D，ρ，δ，η＞，其中：

（1）W 是一個非空的可能世界集；

（2）I 是一個非空的個體（agents）集合，稱為模型的全體論域（global domain）；

（3）R：I→2W×W為I 中的每個個體i 賦上一個可能世界間的二元關系Ri；

（4）D：W→2I為W 中的每個世界w 賦上一個I 的子集Iw，稱為世界w的局部論域（local domain）；

（5）ρ：P×W→∪n∈ω2In為每個n元謂詞P 在每個可能世界w 上賦上一個個體間的n元關系ρ（P，w）；

（6）δ：F×W→∪n∈ω2In→I為每個n元函數(shù)f 在每個可能世界w 上賦上一個I上的部分（partial）n元函數(shù)δ（f，w）；

（7）η：N→W 為每個專名a 在部分可能世界w 上（可能沒有）賦上一個個體η（a，w）。

在語義中我們把每個世界上的局部論域當作事實上存在于該世界上的個體集，而且，我們還設定邏輯語言中的項在一個世界上可以指示不存在的個體?？死锲湛俗畛踉诮o出一階模態(tài)邏輯語義的時候，曾限定全體論域等于局部論域之和，即I＝∪w∈WIw。②S.Kripke，“Semantical Consideration on Modal Logic，”Acta Philosophica Fennica，Vol.16 No.1（1963）：83-94.進一步，我們允許I?∪w∈WIw，即存在項的指稱在所有可能世界上都不存在。憑借在全體論域和局部論域之間的這個“開口”（gap），我們可以在邏輯語言中有意義地談論像“李白”、“孫悟空”等在所有認知可能世界上都不存在的名字，如“李白有胡子”，并使這樣的語句在模型中為真。

如果在變論域模型上僅允許名字所指的個體可以不存在，那么我們實際上還是接受了這樣的語義原則：項總是有指的。這條原則在某種意義上也太過嚴苛。很多經(jīng)典的例子，如“當今法國國王”，都涉及對空指的項的討論。嚴格說，當今法國國王”等很多空指的項的例子都是限定摹狀詞。但在討論指稱問題的時候，我們不必要專門在語言里引入形式化的限定摹狀詞，否則可能使我們的工作不得不引入量詞。①參見M.Fitting，“On Height and Happiness，”Rohit Parikh on Logic，Language and Society，R.Ramanujam，L.Moss&C.Bakent（eds.），Verlag：Springer，2017，pp.235-258。為了簡單起見，在不引入更多內(nèi)容的前提下，我們在語義中設定對函數(shù)符號和專名的解釋是一個部分函數(shù)。在n元函數(shù)f 的解釋中，δ（f，w）是一個從In的子集（不必然是全體子集）到I 的函數(shù)，δ（f，w）可能沒有定義。對專名a 的解釋，η（a，w）可能沒有定義。如果有定義，則滿足η（a，w）∈I。

為定義認知模型，我們需要在R 的關系上施加以下條件：

定義2.2：對任意變論域的克里普克模型M，任意i∈I，w，v，u∈W，Ri?W×W，M 被稱作一個認知模型如果滿足以下條件：

（1）如果w Riv，那么i∈Iw；

（2）如果i∈Iw，那么wRiw；

（3）如果wRiv，并且vRiu，那么wRiu；

（4）如果wRiv，那么vRiw。

條件一說的是只有存在于某世界w 的個體才能設想w 上可能的或可通達的世界，這是在認知框架下合理的約束。亨迪卡在認知邏輯之初的語義中就提出，w 的替代（alternative）就是w 中的知識者認為可能的情況②參見J.Hintikka，Knowledge and Belief.An Introduction to the Logic of the Two Notions，Ithaca，New York：Cornell University Press，1962，pp.44-45。，后來的研究者也提到，只有在某世界w 中存在的、生活的、或有意義的個體才能設想另一些世界是可能的。③參見A.J.Grove，“Naming and Identity in Epistemic Logic PartⅡ：A First-order Logic for Naming，”Artificial Intelligence，Vol.74 No.2（1995）：311-350，以及A.Padmanabha& R.Ramanujam，“Propositional Modal Logic with Implicit Modal Quantification，”Logic and Its Applications，ICLA 2019，M.A.Khan and A.Manuel（eds.），Berlin，Heidelberg：Springer，2019，pp.6-17。條件二對應于一種有條件的自返關系，即如果個體i屬于一個世界的局部論域，那么該世界是i自返的。條件三和條件四分別對應于傳遞性和對稱性。

根據(jù)認知模型的定義，我們還有如下的觀察。第一，個體i存在于世界w當且僅當w 是Ri自返的，這是定義里條件一和條件二的直接推論。第二，如果wRiv，那么i一定既在w 的局部論域、也在v 的局部論域里，這是考慮到對稱性的結果。第三，如果一個認知模型是常論域的，并且局部論域等于全體論域，那么所有Ri都是W 上的等價關系?？梢姡瑯藴收J知邏輯S5語義中的可通達關系，是我們現(xiàn)在所定義的認知關系的一種特殊情況。相比常論域模型，變論域的認知模型提供了一個更一般化的技術平臺。

為了解釋自由變元，我們還需要一個變元指派σ：X→I。在給定指派σ的情況下，邏輯語言中所有的項就都有了解釋。首先變元總是有指的，令σw（x）＝σ（x）。其次，如果η（a，w）有定義，則稱a 在w 上有指，令σw（a）＝η（a，w）；同樣，如果t1，…，tn中的每個項在w 上都有指，并且σw（t1），…，σw（tn）在函數(shù)δ（f，w）的定義域中，則稱f（t1，…，tn）在w 上有指，令σw（f（t1，…，tn））＝δ（f，w）（σw（t1），…，σw（tn））。最后，對于任意項t，如果項t在w 上空指，則σw（t）沒有定義。

一個公式總是解釋在帶指派σ的點模型（M，w）上。以下定義邏輯語言的真值條件：

定義2.3：

在上述定義中，原子公式、布爾式的定義與標準的語義定義一致。對于Ktφ 公式，其在點模型（M，w）上的賦值基于t在當前世界w 上的指稱。根據(jù)定義，當t在世界w 上空指的時候，Ktφ 總是成立的。語義中對空指情況處理的要點可以總結為：第一，變元總是有指的；第二，允許名字在某些可能世界上空指；第三，當動態(tài)賦值算子中包含有空指的名字時，賦值操作不再執(zhí)行。

雖然該邏輯僅僅是動態(tài)項模態(tài)邏輯的一個最小片段，但它已經(jīng)具備充分的表達力。如，根據(jù)語義不難看出Kt（x＝x）是一個有效式，它說的不是每個人都被知道，而是每個已知個體（known individuals）都被知道。說的是在個體a 所有可以設想的可能世界上名字a 的指稱相同，即，a 知道c是誰。說的是在個體a 的每個可設想的世界都通達到一個b所設想的世界，并且在那個世界上c的指稱恢復到當前世界的指稱，即a 知道b可以想到c是誰?；氐轿恼麻_頭機器人的例子，此時我們的語言已經(jīng)足以區(qū)分不同的從物/從言場景：

（1）KaKbH（a）說的是a 知道名字叫b 的機器人知道一個名字叫a 的機器人需要幫助；

如游戲法、問答法、探究法等教學方法，以及場景模擬、表演、演講、動手操作、辯論教學手段，讓課堂變得生動有趣，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生積極投入到教學過程中從而提高學習效率，體驗成功，獲得幸福感。如在教學《小山羊與小灰兔》時，讓學生進行角色扮演，惟妙惟肖的表演讓學生都動了起來，在學生用肢體語言對課文進行感悟、體驗的過程中，引導學生要做一個守信用的人。學生的成就感也就不知不覺地得到了體驗。

3.公理化系統(tǒng)

在前文區(qū)分個體與個體的名字、不固定論域、不假定名字都有指的形式化設定下，我們可以給出認知模型上有效公式的一個公理系統(tǒng)。該系統(tǒng)中的公理和規(guī)則可以分成七類：

另一方面，關于量化的公理和規(guī)則顯示了，賦值算子不僅可以被看成某種模態(tài)算子，還能被看作一種量詞，并且和通常一階邏輯中的量詞具有著相同的邏輯規(guī)律。

我們可以證明該公理系統(tǒng)相對于變論域的認知模型的可靠性和強完全性定理：

定理3.1：上述的公理系統(tǒng)在本文定義的帶指派的變論域認知模型下是可靠的。

根據(jù)語義定義，這一結果不難被驗證。

定理3.2：上述公理系統(tǒng)在帶指派的變論域認知模型下是強完全的。

完全性證明的具體技術細節(jié)不在本文的討論范圍之中。下面給出基于王彥晶和謝立民文章中的證明思路，①參見Y.Wang &J.Seligman，“When Names are not Commonly Known：Epistemic Logic with Assignments，”Advances in Modal Logic，Vol.12 No.1（2018）：611-628。結合本文的語義特點證明完全性定理的主要想法。首先觀察到任意模型M 的任意點w 都關聯(lián)于一個公式集，即{φ｜M，wφ}。該公式集實際上是一個極大一致集，從而如果φ 在某個模型上為真，那么φ 一定從屬于一個極大一致集。從這個角度看，在一個模型M 中，如果w與w′直接有可通達關系，則意味著與w 相關聯(lián)的極大一致集和與w′相關聯(lián)的極大一致集之間具有某種內(nèi)在的聯(lián)系。因此，給定一個模型就等同于給出了一個有內(nèi)在聯(lián)系的極大一致集的集合。在證明完全性定理中，經(jīng)典的構造典范模型的方法其實就是試圖反向還原上述的觀察結果，從一個有內(nèi)在聯(lián)系的極大一致集的集合出發(fā)，去構造想要的模型。

因此完全性證明的關鍵是確定我們需要什么樣的語言，構造什么樣的極大一致集，以及這些極大一致集之間該如何的聯(lián)系在一起。按照通常一階模態(tài)邏輯中的證明思路，首先我們要給語言中所有的非嚴格項找見證（witnesses）。這就需要我們在之前語言的中新加入可數(shù)多個新變元，作為待選的見證。但由于允許名字空指，在極大一致集里我們只需要給每個有指的名字找見證，即對每個形如＜xt＞的公式，如果其被包含在極大一致集Δ中，那么Δ的語言中一定有一個變元y 滿足y≈t∈Δ。滿足這樣屬性的極大一致集被稱為有見證的。其次，那些有見證的極大一致集就能通過特定的可通達關系的定義條件（包括Δ與Θ之間Rx可通達的前提是∈Δ，以及保證Δ與Θ間沒有相沖突的等式）構成一個偽（pseudo）典范框架。然后，給定一個有見證的極大一致集，從偽典范框架中將其生成子框架切割出來，通過取{｜x｜｜∈Δ}作為任一極大一致集Δ的局部論域，構建一個變論域的典范模型。爾后證明真值引理（truth lemma）在該典范模型上成立。最后，對變論域典范模型上的可通達關系取傳遞、對稱的閉包，得到的最終模型正是一個符合我們定義的變論域認知模型，并且可以證明如此改變可通達關系并不會影響原初語言里公式的真值。

4.結論與進一步研究方向

本文沿循帶賦值算子的認知邏輯研究進路，討論了在變論域的克里普克模型中，分別允許項在一個可能世界上的解釋不在該世界的局部論域中，以及項在某些可能世界上的解釋沒有定義，即允許作為解釋的個體不存在、以及允許名字空指，所帶來的在認知模型上的邏輯影響。文中給出一個相對于變論域的認知模型的可靠完全的公理化系統(tǒng)。在該邏輯中公式表達了新的模型下笛卡爾式的“存在”概念，相應地，公式表達了在新模型下類似的“指稱”概念。表現(xiàn)在公理系統(tǒng)里，→（Kxφ→φ）說明在允許項指稱不存在的個體的情況下，以往S5認知模型中的等價關系將具有有條件的自返性；而公理＜表明在允許項空指的情況下，語言中的相等關系也會具有有條件的自返性。這兩種有條件的自返性體現(xiàn)了當我們在語義上放寬了對個體存在和名字有指的限制后，在邏輯上所得到的最顯著的結果。

在該邏輯框架下，我們還可以做進一步的探索，例如在邏輯語言中引入受限制的個體量詞，即某人知道（形式化為：?x Kx）或所有人都知道（形式化為：?x Kx），而將個體的量化視作單個模態(tài)詞，像一些新近文獻中所做的，把?x Kx打包為[?]x，把?x Kx打包成[?]x，①參見E.Orlandelli&G.Corsi，“Decidable Term-modal Logics，”Multi-Agent Systems and Agreement Technologies，F(xiàn).Belardinelli&E.Argente（eds.），Cham：Springer International Publishing，2018，pp.147-162，以及A.Padmanabha& R.Ramanujam，“Propositional Modal Logic with Implicit Modal Quantification，”Logic and Its Applications，ICLA 2019，M.A.Khan and A.Manuel（eds.），Berlin，Heidelberg：Springer，2019，pp.6-17。以期能得到一些很好得平衡表達力和復雜度的一階認知邏輯片段。在上文中所定義的變論域克里普克模型M 之上，我們可以試圖定義打包模態(tài)公式的可滿足關系，如：

注意到上述[?]x和[?]x的真值條件也可以用項模態(tài)詞Kx來定義，分別是：

在之前的討論中，當i?Iw的時候，根據(jù)文中變論域模型上項模態(tài)算子的語義定義，i的知識總是為真，即個體i在不存在的世界上是全知的。以上的定義表明，如果認為這樣的結果不可以接受，那么以上所謂隱式的模態(tài)量化（implicit modal quantification）就給了我們一個更好的技術平臺，使我們的語言總是在談論每個世界上存在或有意義的個體及其知識。

當然潛在的方向不止于此，我們還引入類似項模態(tài)算子的帶項的公共知識算子，這是因為在個體的名字不確定的情況下，公共知識算子就不能等價于通常的KAKB…的形式了。而且，還嘗試用現(xiàn)在的邏輯工具刻畫“信念”，在語義上舍棄現(xiàn)實世界上的自返關系。事實上，認為某些主體和名字是不可知的在認知的場景下其實是非常合理的。

指導教師評語

魏宇在本文中概述的研究擴展了我和謝立民在《模態(tài)邏輯進展》（第十二卷）中報告的工作。我們的文章討論了如何在不假設主體的身份都被知道的情況下建立一個認知邏輯，并且用很清晰的語形的方式區(qū)分一個命題的各種從言、從物的解釋。魏宇的貢獻是把我們的工作從常論域模型推廣到變論域的認知模型上，從而處理一個主體對其他主體的存在性抱有疑問的情況。而且在邏輯語言里加入了帶函數(shù)符號的更一般的項，并允許項的空指以處理類似摹狀詞的名字。相應的，他在我們的公理系統(tǒng)上也增加了一些有趣并且有意義的公理。比如，相較我們的T公理（主體的知識都是真的），在變論域的設定下，新的T公理要說，如果x 在當前世界存在，則其知識都是真的。這里要表達“x在當前世界存在”，不需要像經(jīng)典一階模態(tài)邏輯那樣引入一個特殊的存在謂詞E，而是恰恰借用了包含項模態(tài)詞的公式～Kx～。能這么做的原因是在變論域模型中一個主體在當前世界存在當且僅當其認知關系在當前世界上有后繼（即在當前世界上該主體能“想”到一個不可區(qū)分的可能世界），這也是為什么這里也體現(xiàn)了所謂“我思故我在”的意思。類似的，在處理空指的時候，魏宇也是使用了一個公式＜xt＞來表示t有所指。這樣的創(chuàng)造性地使用項模態(tài)詞和賦值算子是非常有價值的，也為之后的公理化打開了思路。文章還陳述了可靠性和完全性的結果，并且給出了類似于我和謝立民文章中的證明思路，這里變論域典范模型的構造其實還是有一定的特殊性和技術難度的。在本文的基礎上，還可以進一步探索這樣的邏輯在各種類別的變論域模型上的公理化和判定性問題，也可以考慮放松認知邏輯的框架條件，使其可以處理信念的推理。