世界的本原及其數(shù)學設計
——數(shù)學作為一門橫斷科學的歷史溯源

郭龍先，劉 秀

（昭通學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南 昭通657000）

探索自然界的統(tǒng)一性這一崇高宗旨，始終貫穿于人類進步的歷史中。當古希臘第一位思想家、數(shù)學家泰勒斯提出“萬物源于水”這一反思世界本原的命題之后，就開啟了人類認識世界統(tǒng)一性的大門。其中由畢達哥拉斯開創(chuàng)的利用數(shù)學探索宇宙秩序與規(guī)律的思想，堪稱自然科學中最富有生命力的成果之一。這一思想方法有著悠遠的文化背景與學術(shù)傳統(tǒng)，回顧科學史上哲學、自然科學家利用數(shù)學探討世界本原，揭示物質(zhì)實體與數(shù)學法則的關(guān)系的種種努力，有利于加深對數(shù)學作為一門橫斷科學本質(zhì)的認識與理解。

1 探索世界的統(tǒng)一性——萬物本原的猜測與追問

在遠古時期已有的神話、藝術(shù)和行為準則的背景下，西方世界最初試圖對宇宙的產(chǎn)生及其組成等問題，做出自然解釋的是被譽為科學之父的古希臘哲學家泰勒斯。他所提出的“萬物源于水”這一命題受到了后世學者的高度贊譽。對該命題在哲學和科學史上的重大意義，M·克萊因的評價尤其精彩，他說道：

與現(xiàn)代先進的科學理論相比，泰勒斯這種對自然現(xiàn)象的分析顯得幼稚、淺薄。但是，泰勒斯和他的依奧尼亞學派的思想與前任思想相比，有一個很大的進步。至少這些人敢于探討宇宙，拒絕借助于神、精靈、鬼魅、邪惡、天使，或其他為具有理性思維的人不能接受的東西。他們唯物的、客觀的解釋，摒棄了神秘的、超自然的因素，而且他們的理性判斷方法，使那些怪誕的、經(jīng)不起推敲的詩意般的解釋信譽掃地。深邃的直覺洞察到了宇宙的本質(zhì)，而理性卻保證了這種洞察力。[1]74-75

繼泰勒斯之后的古希臘哲學家阿那克西美尼則主張“氣本原說”；赫拉克利特倡導“火為萬物之原”；恩培多克勒提出火、氣、水、土四元素為萬物之本的“四根說”。古希臘哲人對宇宙人生窮根究底、堅持不懈的追問與反思，無一不是為了揭示自然界復雜現(xiàn)象和多樣事物背后的統(tǒng)一性本原。瓦托夫斯基指出，這些探索者的最重要的方法論論點是：“事物多樣性是由一個統(tǒng)一的原理安排的，或者說，是由某種統(tǒng)一的質(zhì)料派生出來的”。[2]

與上述各派哲學家尋找某種物質(zhì)元素作為自然本原有所不同，畢達哥拉斯另辟蹊徑，提出了“萬物皆數(shù)”的主張。據(jù)說其學派成員的誓詞是：“謹以賦予我們靈魂的四象之名宣誓，長流不息的自然的根源包含于其中。”他們認為自然是由點、線、面和體四種幾何元素組成的，因此1、2、3、4 這四個數(shù)叫“四象”，受到特別的重視。后來亞里士多德則改為強調(diào)土、氣、火、水四種物質(zhì)元素為萬物的始基。文德爾班說：“畢達哥拉斯對世界本原的解答，比米利都學派的解答更抽象，比埃利亞學派更直觀、更明確，比赫拉克利特更清楚，但比居間派提供的解答更難理解?！彼麄儭盎跓o限的東西所受到的數(shù)字上的限制，基于從空間中形成形式”，將“數(shù)學形式當作了物理現(xiàn)實的本質(zhì)”。[3]67-68

在研究自然的變化與萬物的統(tǒng)一性過程中，最終由留基伯和德謨克利特集諸家之大成，創(chuàng)立了“原子論”，達到了古希臘自然哲學的頂峰。從此如何將“多”統(tǒng)一成“一”，就成了學者們追求的遠大目標。文德爾班寫道：

正是這種對自然界作客觀的思考才使思維初步升華到科學概念結(jié)構(gòu)的水平。其結(jié)果是，希臘科學將它的整個青春的歡樂和旺盛的知識首先貢獻給了自然界問題?！纬闪嘶靖拍罨蛘咚枷肽Ｊ?。[3]40

中國先秦時期也產(chǎn)生了獨樹一幟的“陰陽五行”、“太極八卦”等關(guān)于萬物本原學說。提出了“天人合一”的思想。中華文明同樣認為“上自天文、下及地理，中于人事之得失，于萬物之幽深玄遠、出入潛沒，莫不有數(shù)存焉”。[4]“天人合一”學說，將天、地、人三者視為一個統(tǒng)一的整體。由此產(chǎn)生了一種基本觀念，即整個宇宙存在著一種統(tǒng)一的力量或法則，無論天上、地下和人間都受其支配。這種宇宙人生的最高主宰在商周時期曾被認為是“天帝”或“上帝”，但到了春秋戰(zhàn)國時期，在陰陽五行家眼中它就是一種自然法則?！秴问洗呵铩ぶ帧诽岢觯?/p>

凡人物者，陰陽之化也。陰陽者，造乎天而成者。天固有衰嗛廢伏，有盛盈蚠息；人亦有困窮屈匱，有充實達遂；此皆天之容、物理也，而不得不然之數(shù)也。

《呂氏春秋·貴當》又說：“因其固然而然之，此天地之數(shù)也”。由于數(shù)學的正確運算，結(jié)果都必定是一樣的，因而古人認為“天數(shù)”具有控御萬物的必然性。荀子曰：“兩貴之不能相事，兩賤之不能相使，是天數(shù)也?！保ā盾髯印ね踔啤罚吨偾铩芬嘣疲骸胺才e事無逆天數(shù)，必順其時”。

數(shù)的必然性也被用來說明社會人生的各個方面。如對棋手而言有：“奕之為數(shù)也”。（《孟子·告子》）百工技藝也需要做到心中有“數(shù)”：“斲輪……有數(shù)存焉于其間。（《莊子·天道》）用于算命則有卜筮之數(shù)：“賈誼曰……試之卜數(shù)中以觀采”。（《史記·日者列傳》）諸如此類的還有“歷數(shù)”、“地數(shù)”、“命數(shù)”、“禮數(shù)”、“勝數(shù)”等等。

明朝數(shù)學家程大位總結(jié)說：“凡天宮、地員、律歷、兵賦以及纖悉秒忽，莫不有數(shù)”。即天文歷法、地理、軍事、賦稅和度、量等事物中都存在著數(shù)學關(guān)系?！叭f物皆數(shù)”不僅包含了宇宙的統(tǒng)一性，而且也奠定了數(shù)學自身的統(tǒng)一性基礎(chǔ)。簡而言之，從古到今，東、西方哲人所作的種種嘗試和不懈努力都是想要建立一種統(tǒng)一的宇宙理論。

2 自然的奧秘與法則——宇宙的數(shù)學設計

雖然東、西方哲人都在探索和思考主宰天地萬物的原則，而且建立了各具特色的學說，但現(xiàn)代科學的精神卻與希臘哲人的氣質(zhì)更加契合。法國天文學家伏古勒爾說：人類的思想方法，驟然改變?yōu)槔硇缘?，因此被叫做“希臘人的奇跡”；文化的演進由追求實際，產(chǎn)生了“工作的人”，到追求理論更產(chǎn)生了“智慧的人”。這種根本改變，原因雖不得而知但結(jié)果卻異常重要，因為它不但發(fā)展了天文學，而且整個西方文化都從這里產(chǎn)生。[5]總體而言，除古希臘文明及其繼承者外，其他幾個古老的文明中心都未能孕育出具有現(xiàn)代精神實質(zhì)的數(shù)理科學。

古希臘哲人始終秉持宇宙是一個統(tǒng)一而簡單的偉大設計這一信念。他們堅稱人類是通過理性，而不是感官獲得自然知識的。阿拉克薩哥拉的名言：“理性統(tǒng)治著世界”表達了這種觀點的精髓。畢達哥拉斯學派相信萬物之間的關(guān)系都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)之比，數(shù)是現(xiàn)實的基礎(chǔ)，是嚴整性和次序的根據(jù)，萬物的實質(zhì)是仿效著數(shù)做出來的。世界由造物者按照數(shù)學法則設計這一思想，開啟了人類用數(shù)學對天地萬物進行統(tǒng)一性研究的大門。經(jīng)柏拉圖發(fā)揚光大，宇宙是一種幾何結(jié)構(gòu)的觀念兩千年間已成了歐洲天文學研究的指導原則。

對畢達哥拉斯學派而言，數(shù)學無疑具有最明顯的哲學品質(zhì)，數(shù)學被賦予了探索真理和證明真理的雙重任務。亞里士多德在《形而上學》一書中總結(jié)了該學派對數(shù)與世界關(guān)系的認識時寫道：

他們認為，在數(shù)目中觀察到比火、土、水中更多的與存在著和生成著東西的相似之點?！送猓捎谒麄兛吹胶吐暤谋壤蛯傩允窃跀?shù)目之中，所以就認為，其它的那些東西的全部本性也是由數(shù)目塑造出來的，他們認為在整個自然界中數(shù)目是最初的，數(shù)目的元素也就是所有存在物的元素。整個的天是和諧的，是數(shù)目。[6]

畢達哥拉斯認為數(shù)學結(jié)構(gòu)是理解世界的基礎(chǔ)，數(shù)揭示了事物的真正本質(zhì)，物質(zhì)的最終結(jié)構(gòu)或存在就是它的數(shù)學形式。只要掌握了數(shù)之間的關(guān)系或比例，自然界就是合乎理性的。羅素說：“數(shù)學，在證明式的演繹推理意義上的數(shù)學，是從他開始的；……由于他的緣故，數(shù)學對于哲學的影響一直都是既深刻又不幸的?！盵7]公元前3世紀后，希臘數(shù)學思想一度出現(xiàn)了從哲學數(shù)學向科學數(shù)學轉(zhuǎn)化的趨勢。丹皮爾寫道：

哥白尼與刻卜勒雖然仍在數(shù)學的和諧中尋找最后因，并且在牛頓的時代以后很久，這個思路還是存在著，往往以為在每個現(xiàn)象可以用數(shù)學方式從量上加以表示以后，這個現(xiàn)象就算既得到了科學上的解釋，也得到了哲學上的解釋了。[8]

從哥白尼、牛頓到愛因斯坦，許多科學家都在不斷追求事物之間簡單、有序與和諧的關(guān)系，并努力以精確定量的方式來建立統(tǒng)一的理論。例如一旦形成了萬有引力的概念，宇宙間就沒有牛頓定理不起作用的地方。萬有引力定理導致了后來一系列天文學上的新發(fā)現(xiàn)。愛因斯坦說：

從那些看來同直接可見的真理十分不同的各種復雜的現(xiàn)象中認識到它們的統(tǒng)一性，那是一種壯麗的感覺。[9]

萬有引力理論的普遍性達到了宇宙的邊緣，從蘋果到月亮，從太陽到星系，凡有引力參與的一切復雜現(xiàn)象，無一不可歸結(jié)到這條簡潔而令人驚嘆的定理之中。正如李約瑟所言：“主張一個木球和一個不知道由什么物質(zhì)組成的星星之間的共同之處，要比一個球的不同性質(zhì)之間的共同之處要多得多。這種假說必須是數(shù)學上的假說，這點極其重要?！盵10]

3 天體的音樂——數(shù)量比例與宇宙和諧

算術(shù)、幾何、音樂、天文學在古希臘被認為是超然于塵世的“自由藝術(shù)”，在畢達哥拉斯學校里，這四門學科被列為基本課程，統(tǒng)稱為“四藝”。對此，弗賴登塔爾說：

mathematics 一詞看來是一個復數(shù)名詞……。的確，在很久以前它確實表示復數(shù)……數(shù)學曾經(jīng)是四門學科：算術(shù)、幾何、天文學和音樂，處于一種比語法、修辭和辯證法這三門學科更高的地位。[12]

M·克萊因指出：“那些堅信數(shù)學僅僅具有使用價值的學者，經(jīng)常自以為是地認為，歷史上的數(shù)學活動靠實際需要的推動，不可能存在什么來自邏輯的推動（理論的推動）。……在大海中迷航的水手，絕不會突然意識到觀察星星可以解決他的航海問題。”他說：

在天文學和數(shù)學用于計算歷法和航海之前，……那時的人類受不可抑制的哲學精神的驅(qū)使，耐心地觀察太陽、月亮和星星的運行。……終于從他們的觀察中畫出了天體運行的圖像。[1]17

中國天文學家陳遵媯也認為：“至于航海的需要，對我國天文學的發(fā)展，似乎沒起過什么促進作用?！盵13]對于絕大多數(shù)純粹的數(shù)學家而言，他們工作的最終目標在于揭示數(shù)學世界的奧秘，至于其結(jié)果是否有用以及如何應用，似乎并不是他們關(guān)心的主要問題?！逗螢榭茖W真理》一書的作者寫道：

希臘人稱奧菲士懷著這樣的感情彈奏豎琴，連野獸都會被他馴服。他們沒有提到他是為了做一名訓獅員才獲得這一才能的。[14]

布羅諾夫斯基說：“威力只是認識的副產(chǎn)物?！蓖瑯?，中國的庖丁其游刃有余的解牛技藝達到了“依乎天理”的高度，面對這種由“技”至“道”的境界，沒有人會認為他只是一個屠戶！

畢達哥拉斯將天文學和音樂“歸結(jié)”為數(shù)，他認為算術(shù)是研究絕對的不連續(xù)量；音樂（實為樂理）研究相對的不連續(xù)量；幾何研究靜止的不連續(xù)量；天文研究運動的連續(xù)量。到了中世紀，算術(shù)、幾何、音樂、天文加上文法、修辭和邏輯，便構(gòu)成了歐洲教育史上著名的“七藝”。無獨有偶，中國也有古代文人“四藝”（棋、琴、書、畫），貴族“四術(shù)”（詩、書、禮、樂），儒家“六藝”（禮、樂、射、御、書、數(shù)）等教學內(nèi)容。

羅素認為：“數(shù)學里的‘調(diào)和中項’與‘調(diào)和級數(shù)’就仍然保持著畢達哥拉斯為音樂和數(shù)學之間所建立的那種聯(lián)系?！敝阅馨岩魳窔w結(jié)為數(shù)與數(shù)之間的簡單關(guān)系，是因為他們發(fā)現(xiàn)了下列兩個事實：第一，弦所發(fā)出的聲音取決于弦的長度；第二，兩根繃得一樣緊的弦，若一根是另一根的兩倍，就會產(chǎn)生諧音。普希金曾在一首詩中寫道：

我用代數(shù)

檢驗了和諧

我們就相互理解了[15]

古希臘哲學家不僅“聲言隱藏在自然界不斷變化的萬象之下的真實性是可用數(shù)學來表示的，而且認為這個世界上所發(fā)生的一切是由數(shù)學規(guī)律嚴格確定了的?！盵16]萊布尼茲在1712年致霍爾巴赫的信中說：音樂是不知道自己在演算自己的思維的算術(shù)練習。詹姆斯寫道：

對于柏拉圖、西塞羅和經(jīng)院哲學學者們來說，天體的音樂相當真實（即使我們知道沒有人聽到過它），但是，它僅包含音階。我們知道，和諧的古典概念是連續(xù)的；和諧被人們理解為兩個聲調(diào)之間的抽象關(guān)系而不是耳朵所能聽到的一個單一的一致。[17]134

無論是音調(diào)、音色還是和聲，都可以利用數(shù)學對其進行測量和分析。音律的計算在中國同樣受到高度的重視，而且歷史更為悠久。據(jù)先秦古籍《世本》載：“黃帝使羲和占日,常儀占月，臾區(qū)占星氣，伶?zhèn)愒炻蓞危髶献骷鬃?，隸首作算術(shù)，容成綜此六術(shù)而著《調(diào)歷》”。可見，占卜、樂律、天文、計量、算學在中國古代同樣也是被當作關(guān)系密切的學科群，但卻統(tǒng)一于“歷學”名下?！渡袝虻洹氛f：“協(xié)時月正日，同律度量衡”的記載。《呂氏春秋?大樂》亦云：“音樂之所由來者遠矣。生于度量，本于太一?！盵18]所謂“生于度量”即指律管的長度、容積等數(shù)量關(guān)系?！洞蟠鞫Y記》載：

截十二管，以定八音之上下清濁，謂之律。律居陰而治陽，歷居陽而治陰，律歷疊相治也，其間不容發(fā)。

我國早在西周時期已掌握了十二律（陰陽各六）和七聲音階的知識?！对铝钫戮洹氛f：“古之為鐘律者，以耳齊其聲。后不能，則假數(shù)以正其度，度數(shù)正則亦正矣?！钡搅舜呵飼r期則使用“三分損益法”確定律管長度與音調(diào)的關(guān)系。所謂“三分損”，即在制定“六律”的過程中，將律管的長度變?yōu)樵鹊?/3；“三分益”則是其將長度變?yōu)樵瓉淼?/3。《史記·律書》中對此有詳細記載：九九八十一以為宮。三分去一，五十四以為征。三分益一，七十二以為商。三分去一，四十八以為羽。三分益一，六十四以為角。

據(jù)考古研究，中國樂律的起源至少可以追索至距今8000 多年前。河南舞陽賈湖遺址出土了25件距今8000 多年的骨笛（丹頂鶴尺骨），可分為五孔、六孔、七孔和八孔笛，其制作都是經(jīng)過了精心的計算。在中國國家博物館收藏的一只骨笛上還保留了當時開孔時的設計刻痕，可以明顯看出設計修改的過程。[19]馮時指出：“實際測音的結(jié)果顯示，所存律管已備八律，且音孔設計之計算方法顯然已涉及到復雜的分數(shù)運算，足以證明其時算數(shù)之學已經(jīng)達到了相當高的水平。”[20]正是樂律、歷法、數(shù)學、天文的完美結(jié)合形成了中華文明極富特色的“律歷合一”思想。

明朝學者朱載堉被公認為中國“律歷合一”學說的集大成者。他在《算學新說·序》中寫道：“所撰新說凡四種，一曰律學，二曰樂學，三曰算學，四曰韻學，前二者其書之本原，后二者其書之支派。所以羽翼其書也?！敝燧d堉首創(chuàng)十二平均律，取為公比，使得相鄰兩律間的頻率完全相等，這一發(fā)現(xiàn)比歐洲早了半個世紀。今天對于音樂與數(shù)學是一對孿生姊妹的看法，不僅中國人感到匪夷所思，就連歐洲人也難以理解。杰米·詹姆斯寫道：

音樂和科學之間相交叉的領(lǐng)域，在西方文明開始的地方開始，當時兩者曾被如此深深地認同，以至任何認為在它們之間有什么本質(zhì)區(qū)別的人都被看作是毫無知識的人，而到了今天，當有人提出它們之間有什么相同的地方的時候，就會冒被一些人貼上俗人而被另一些人貼上業(yè)余藝術(shù)愛好者標簽的危險——并且，最該詛咒的是，兩者都是大眾化的人。[17]1

畢達哥拉斯學派堅信行星運動也受數(shù)學關(guān)系的支配。他們認為運動得快的物體，將比運動得慢的物體發(fā)出更高的音。行星離地球越遠，則運動得越快，因此行星發(fā)出的聲音與其到地球的距離有關(guān)。美國數(shù)學家和科學史家卡約里說：

畢達哥拉斯關(guān)于和聲和音階的思辨是不受對實驗深入探索的約束的。7 顆行星是七弦琴的7 根弦，他給我們一種美麗的“天體和諧”。這種思想不是作為詩歌而是作為物理哲學提出來的。人們的耳朵不能聽見這種行星間的音樂事實，似乎并未減少對它存在的信念。[21]

既然行星在宇宙空間運動時會發(fā)出和諧的“聲音”，那么它們離地球的遠近也必然符合相應的比例，這就是西方著名的“天體和聲”的典故。

哥白尼建立日心說之后，開普勒堅信上帝是依照完美的數(shù)學原則創(chuàng)造世界的，他曾利用5 種正多面體之間的幾何關(guān)系來表示當時所知六大行星的軌道半徑。天空中剛好有5 顆行星，而幾何學中也只有5 種正多面體，若將它們的內(nèi)切與外接球結(jié)合起來，正好可以形成六個同心球相互嵌套的結(jié)構(gòu)（太陽位于球心）。盡管開普勒的模型被天文觀測證明是錯誤的，但他高超的數(shù)學才能和奇特的創(chuàng)意，卻引起了天文觀測家第谷的注意，并邀請他做助手。這正是后來開普勒得以發(fā)現(xiàn)行星運動“三大定律”的契機。

天體“和諧運動”的思想，兩千多年間始終激勵著無數(shù)西方學者的好奇心。直到18世紀后期德國學者提出的“提丟斯—波得定則”，依然引起了眾多科學家的關(guān)注與爭論。據(jù)說提丟斯在給學生講授各大行星到太陽的平均距離時，同學們總是記不住，他便想出了如下辦法，取數(shù)列：

0，3，6 ，12 ，24，48，96，192，…

將其中的每一項加上4，再除以10，便得到各個行星到太陽的平均距離（天文單位）：0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6……水星 金星 地球 火星？ 木星 土星？

1872年德國柏林天文臺臺長波德將它公開發(fā)表。因此稱為“提丟斯—波得定則”。就在該法則公布不久，天文學家赫歇爾發(fā)現(xiàn)了天王星（距太陽19.2 個天文單位），皮亞齊發(fā)現(xiàn)了位于小行星帶上的第一顆天體——谷神星（高斯利用自己發(fā)明的“最小二乘法”計算出其軌道半徑距太陽約為2.77 個天文單位）。令人驚奇的是它們的位置都與提丟斯法則所預言的極為吻合，故而引發(fā)了學者們的極大興趣。

4 物質(zhì)實體與數(shù)學的關(guān)系——揭示自然秩序的鎖鑰

早期希臘自然哲學提供了科學思想的兩大傳統(tǒng)：一個是由泰勒斯開創(chuàng)的實體論構(gòu)成綱領(lǐng)；另一個是由畢達哥拉斯開創(chuàng)的結(jié)構(gòu)論的形式主義研究綱領(lǐng)。泰勒斯的名言是“萬物源于水”，這個看似平凡的說法包含著科學思想的精髓。首先，它表現(xiàn)了對世界統(tǒng)一性的把握；其次，它指出了把握世界統(tǒng)一性的方式在于找出其“始基”。在這個綱領(lǐng)之下，古希臘人分別找出了水、火、氣、土作為萬物構(gòu)成的基礎(chǔ)。畢達哥拉斯學派認為正是數(shù)量上的差異和幾何結(jié)構(gòu)上的差異導致了事物本質(zhì)的不同，因為始基永遠是均勻同一的，即使找到了也無法解釋自然界中復雜多樣的事物；而數(shù)學形式本身即具有無窮多的樣式，用它來描述萬物的不同，則不存在本質(zhì)的困難，更具說服力。正如塞路蒙·波克納所言：

無論數(shù)學的出現(xiàn)多么神秘，數(shù)學確實是最先出現(xiàn)的理性知識，這是整個西方文明的一個有意義的特性。[22]

據(jù)普羅克拉斯說：“畢達哥拉斯學派把數(shù)學研究變成一種自由教育的形式，從頭來檢驗它的原理?！彼麄儶毩⒌亍⑾到y(tǒng)化地在數(shù)學中運用推理證明的邏輯方法，證明了平面幾何、立體幾何、算術(shù)及數(shù)論中的基本定理，從而使數(shù)學理論從諸如大地測量、計算這樣的實踐活動中分離出來。數(shù)學定理的證明開辟了人類思維用抽象概念進行論辯和演繹的一個全新領(lǐng)域。古希臘數(shù)學家所要建立的是受到普遍論證支持，范圍廣泛、條理清晰的理論。譬如我們說數(shù)學中的某一陳述是真的（三角形內(nèi)角和等于180 度），與日常生活中說某一具體事物是真的（泰勒斯是哲學家），這兩者無論思維方式還是認識意義都是有所不同的。

留基伯和德謨克利特相信所有物質(zhì)都由原子組成，原子作為構(gòu)成物質(zhì)實體的基本單元是不可分割的、極小的、數(shù)目無限的微粒，這些微粒有大小、形狀和重量三種屬性。原子論者贊同用形和數(shù)的關(guān)系對自然進行解釋，他們同樣宣稱世界所發(fā)生的一切是由數(shù)學定律嚴格決定的。該學派關(guān)于宇宙本原及數(shù)學無限性問題的探討，對后世也產(chǎn)生了較大的影響。亞里士多德認為：

甚至更早的時候，所謂畢達哥拉斯學派的人與留基伯和德謨克利特同時從事數(shù)學研究，并且第一個推進了這一個知識部門。他們把全部時間用在這種研究上，進而認為數(shù)學的始基就是一切存在物的始基。[23]

作為物質(zhì)微粒的點與數(shù)學的點當然不同，但是“原子論綱領(lǐng)”的一個更重要方面是宏觀層次的質(zhì)變還原為原子層次的量變。因此，當原子論者企圖解釋“數(shù)學量”的變化時，就會以數(shù)學原子的形式,通過它的量變來加以回答。據(jù)說德謨克利特曾經(jīng)利用原子論思想，將整體分割成微小的部分，再以這些微小的部分相加得到整體的研究方法，求出一些空間幾何圖形的體積。例如，他曾將圓錐看作是一系列不可分割的薄層疊加而成，從而發(fā)現(xiàn)其體積為同底等高圓柱體的三分之一。瓦托夫斯基指出：“沿著原子論方向的這些物理思辨被一種數(shù)學傳統(tǒng)所補充，該傳統(tǒng)以一種在結(jié)構(gòu)上更為精致的方式來表述原子論。在這一出自畢達哥拉斯學說的傳統(tǒng)中，這些元素并不被當作是可以理解或感覺的物質(zhì)實體；而被認為是概念上的存在，思維的對象?！?/p>

弗朗西斯·培根說：“應當指出，對自然的探究如果始于物理學而終于數(shù)學，那就會有最好的結(jié)果。”[24]近代科學正是在追求自然界的數(shù)學規(guī)律中取得長足進步的，可以說，許多重大的成就都是由于發(fā)現(xiàn)了或運用了新的數(shù)學規(guī)律才取得的。M·克萊因?qū)懙溃?/p>

希臘人對了解自然界有那么一股迫切而不可遏制的愿望，推動他們創(chuàng)造和看重數(shù)學。數(shù)學是對自然界進行研究的本身工作之一，是了解宇宙的鑰匙，因為數(shù)學規(guī)律是宇宙布局的精髓。

正是數(shù)學概念和數(shù)學模型的“理想化”觀點，促進了古希臘經(jīng)典力學和天文學的發(fā)展，也為后來文藝復興時期的科學和技術(shù)取得進步奠定了基礎(chǔ)。其實，利用形式的不同解釋事物本性差異的思維方式，在中國女媧造人的古老神話傳說中，也有著生動的表現(xiàn)：

俗說天地開辟，未有人民，女媧摶黃土作人。劇務，力不暇供，乃引繩于泥中，舉以為人。故富貴者，黃土人；貧賤者，引縆人也。

據(jù)這一傳說故事所言，所有的人都是由質(zhì)料相同的黃土組成，但其貧賤富貴的根源，正是由于他們所獲得的“人形”這一關(guān)鍵之處存在差異。因為女媧娘娘對每個人的制作，在精細程度上有所不同，所謂“富貴之人”是她親手用黃土捏成的；“貧賤者”則是用繩索在泥漿中彈射出來的?？磥?，女媧造人這一古老的神話傳說所蘊含的觀念，與西方“數(shù)學形式?jīng)Q定事物本質(zhì)”的哲學思想還真有異曲同工之妙。

5 結(jié)語

數(shù)學作為人類文化的重要組成部分，始終在追求最簡潔而又超出人類感官所及的宇宙本原。和諧與秩序是希臘哲人的根本性觀念，在他們所創(chuàng)造的一切偉大成就之中，數(shù)學毫無疑問是奇跡中的奇跡；古希臘數(shù)學所強調(diào)的形式邏輯、演繹法、證明、公理化體系等，堪稱那個時代地球上最輝煌燦爛的人類文明之花。

“物質(zhì)實體”加“形式法則”的模式是現(xiàn)代科學思維的核心特征。理論預言的正確性，是由實驗驗證的，理論必須與測量值建立聯(lián)系，才能反映客觀世界的規(guī)律。任何一個物理概念，只有在能進行實際測量時，才是真實而豐富的，否則就是虛假而空洞的，這就是科學實驗的精華；為了同測量結(jié)果相比較，就需要在統(tǒng)一性的觀點下不斷朝著對自然界進行數(shù)學分析的方向探索，并通過數(shù)學的語言與方法來理解和表達自然規(guī)律。文德爾班說：

按照“本原”這個術(shù)語應用于各種不同的“物質(zhì)”、元素之類的東西而言，數(shù)目不能叫做萬物的本源，他們也沒有忽視這樣的事實：萬物不是產(chǎn)生于數(shù)目，而是按照數(shù)目構(gòu)成的。當他們說，萬物是數(shù)的模寫或摹擬，這也許就是他們表現(xiàn)他們的思想的最好、最積極意義的說法了。按照這個概念，數(shù)學形式的世界被看作是更高、更根本的現(xiàn)實。[3]69

說數(shù)即萬物當然是荒謬的，但若說事物所遵循的規(guī)律是符合數(shù)學關(guān)系的，則相當正確。愛因斯坦認為西方科學的發(fā)展是以歐幾里得幾何中的邏輯，以及文藝復興之后才興起的系統(tǒng)實驗為基礎(chǔ)的。這種深邃的洞察力，令人嘆為觀止！他評價牛頓萬有引力定律是“用數(shù)學的思維，邏輯地、定量地演繹出范圍很廣的現(xiàn)象，并且能同經(jīng)驗相符合。”數(shù)學作為一門橫斷科學，既是精確表述世間萬物的語言，也是探索宇宙奧秘的鎖鑰。