立足教材 淺談數(shù)學(xué)思想方法在復(fù)習(xí)課中的滲透
——以中考復(fù)習(xí)課《二次函數(shù)(一)》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例

黃淑芬

(福建省漳州第三中學(xué) 363000)

一、問題提出

筆者曾開設(shè)一節(jié)中考復(fù)習(xí)課《二次函數(shù)(一)》的公開課.在磨課的過程中，筆者用較為傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課模式進(jìn)行試講，試圖從二次函數(shù)的定義(一般式)出發(fā)，用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)表達(dá)式化為y=a(x-h)2+k(本文中a作為二次項(xiàng)系數(shù)，a≠0)的形式，再用五點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象，進(jìn)而以圖象的直觀輔助研究二次函數(shù)的性質(zhì)，最后再對知識進(jìn)行鞏固和運(yùn)用.但是學(xué)生的課堂反應(yīng)不如預(yù)期，復(fù)習(xí)效果也較差.

對此現(xiàn)象，分析主要原因有：(1)教師沒有深入理解教材，對函數(shù)的教學(xué)只停留在知識結(jié)構(gòu)層面；(2)教師沒有遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，沒有厘清知識間的關(guān)系；(3)教師沒有設(shè)定好中考復(fù)習(xí)課的教學(xué)功能，對數(shù)學(xué)思想方法的滲透不夠自然.

二、問題分析

回歸教材，對于函數(shù)的教學(xué)，教材設(shè)計(jì)均是通過對實(shí)際問題的分析，建立函數(shù)模型，再對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行探索，最終解決實(shí)際問題.這是研究函數(shù)的一般程序.如果在九年級的中考復(fù)習(xí)課中，仍按照學(xué)習(xí)函數(shù)的一般程序進(jìn)行復(fù)習(xí)，那么就會忽略對二次函數(shù)的特殊性的理解，知識的構(gòu)建沒有針對性.遇到具體的二次函數(shù)問題，學(xué)生仍不能較好地分析解決.

在方法上，對于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究，教材化復(fù)雜為簡單，從具體的、特殊的二次函數(shù)y=ax2出發(fā)，先研究函數(shù)的圖象，再由圖象的特征分析函數(shù)的性質(zhì).這是研究函數(shù)的一般方法.因此，在教學(xué)中，教師可以以學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，從特殊到一般，從“數(shù)”到“形”，再從“形”到“數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生整體把握二次函數(shù)表達(dá)式與圖象之間的聯(lián)系，抓住圖象主要特征(開口方向，對稱軸，及頂點(diǎn)坐標(biāo))，從而構(gòu)建二次函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò).

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.學(xué)情分析

學(xué)生能識別二次函數(shù)并知道二次函數(shù)的圖象是拋物線；能借助圖象的幾何直觀分析函數(shù)的性質(zhì)；但是由表達(dá)式得到圖象特征，畫二次函數(shù)的示意圖等方面存在困難；已知二次函數(shù)表達(dá)式，在解決問題時(shí)，借助圖形分析性質(zhì)的主動意識也不強(qiáng).

2.復(fù)習(xí)目標(biāo)

立足教材，從二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)開始構(gòu)建知識，引導(dǎo)學(xué)生抓住圖象的主要特征(開口方向，對稱軸，頂點(diǎn))，并依次得到函數(shù)的對稱性，增減性和最值.通過圖象的平移變換，由具體到抽象，讓學(xué)生理解二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=a(x-h)2+k中a，h，k的意義.最終再一般化得到確定二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征的方法.在過程中，讓學(xué)生體會“數(shù)” 與“形”的結(jié)合在解決函數(shù)問題時(shí)的便利，同時(shí)，為學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，降低學(xué)習(xí)難度，引導(dǎo)抓住圖象特征，即得到分析函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵.

3.教學(xué)過程

(1)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

活動：畫出二次函數(shù)y=2x2的大致圖象(再用五點(diǎn)法作圖).

學(xué)生在作圖的過程中會經(jīng)歷分析問題(需要確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo))，解決問題的過程.通過動手作圖，再次讓學(xué)生體會抓住作圖的關(guān)鍵在于確定拋物線的開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，在描點(diǎn)時(shí)，從本質(zhì)上理解(對稱性)圖形的對稱即為點(diǎn)的對稱，對稱點(diǎn)的連線段被對稱軸垂直平分(對稱點(diǎn)到對稱軸的距離相等)，對稱點(diǎn)具有相同的函數(shù)值.

問1：借助圖象，說說函數(shù)有哪些性質(zhì)？(對稱性、增減性、最值)

問2：一般的，分析二次函數(shù)y=ax2的圖象特征.

方法提煉：抓住拋物線的圖象特征，就可以直觀得到函數(shù)的性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】從一個(gè)特殊的二次函數(shù)(y=2x2)的表達(dá)式開始，讓學(xué)生識辨，經(jīng)歷從“數(shù)”到“形”，從“形”到“數(shù)”的過程，最終得到二次函數(shù)y=ax2的圖象特征.

問3：將拋物線y=2x2向上或向下平移，說說在圖形的變化過程中，圖象特征發(fā)生了怎樣的變化？一般的，分析二次函數(shù)y=ax2+k的圖象特征.(上下平移對稱軸不變，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為k)

問4：將拋物線y=2x2向左或向右平移，說說在圖形的變化過程中，圖象特征發(fā)生了怎樣的變化？一般的，分析二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象特征.(左右平移對稱軸發(fā)生改變，頂點(diǎn)橫坐標(biāo)改變，縱坐標(biāo)不變，對稱軸為直線x=h)

問5：如何平移拋物線y=2x2得到拋物線y=2(x+3)2-1？說說平移后的圖象特征.

問6：一般的，試分析二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象特征.

【設(shè)計(jì)意圖】：加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)圖象的直觀感知.圖象的平移過程中，抓住對稱軸的變化規(guī)律，幫助獲得對稱軸以及頂點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法，從本質(zhì)上理解a，h，k的意義.

問7：說說二次函數(shù)y=-2(x-2)2+3的圖象特征.二次函數(shù)y=-2x2+8x-5的圖象特征呢？

問8：一般地，說說二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象特征.

從頂點(diǎn)式到一般式，讓學(xué)生通過對比，快速確定解決方案：①運(yùn)用公式求對稱軸，利用頂點(diǎn)的定義即對稱軸與拋物線的交點(diǎn)，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；②對一般式進(jìn)行配方，把一般式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，直接求出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

【設(shè)計(jì)意圖】：學(xué)生經(jīng)歷二次函數(shù)從y=ax2的特殊形式逐步到y(tǒng)=ax2+bx+c的一般化的過程，對知識體系產(chǎn)生整體性的再認(rèn)識.同時(shí)，獲得了研究函數(shù)的一般方法，體驗(yàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.

(2)技能固化

練習(xí)(1)二次函數(shù)y= -3(x+1)2+3 的開口方向是____，頂點(diǎn)坐標(biāo)____，對稱軸是____，說說此函數(shù)的性質(zhì).

練習(xí)(2)二次函數(shù)y=x2-2x+c，的開口方向是____，頂點(diǎn)坐標(biāo)____，對稱軸是____，說說此函數(shù)的增減性.

【設(shè)計(jì)意圖】：練(1)和練(2)對于頂點(diǎn)式和一般式的分析，獲得圖象特征，由“數(shù)”得“形”，再借“形”得“數(shù)”.

練習(xí)(3)已知y是x的二次函數(shù)，圖象過(-1，0)，(0，3)，(2，3)，則該拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是____.

【設(shè)計(jì)意圖】：學(xué)生可以由坐標(biāo)特征，通過描點(diǎn)分析圖象的特征，從而得到拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；學(xué)生也可以從“數(shù)”的角度，分析數(shù)據(jù)特征，得出對稱軸，進(jìn)而再根據(jù)對稱性求解.

練習(xí)(4)已知二次函數(shù)y=-(x-h)2+2(h為常數(shù))，求函數(shù)的最大值.

變式：當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y的最大值為-2，求h的取值.

【設(shè)計(jì)意圖】：這是含參數(shù)的頂點(diǎn)式，由表達(dá)式確定圖象的特征，借助大致圖象，分析增減性求最值，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.

四、問題思考

1.教材在中考復(fù)習(xí)中的作用

通過教材的學(xué)習(xí)，學(xué)生在獲得新知識的同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)習(xí)的能力.而在實(shí)際的中考復(fù)習(xí)中，教材的作用已經(jīng)漸漸的被復(fù)習(xí)材料替代了.在教學(xué)中，教師會建議學(xué)生利用課后時(shí)間對復(fù)習(xí)課中相應(yīng)的知識點(diǎn)，結(jié)合教材進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，但現(xiàn)實(shí)是，學(xué)生會因?yàn)闀r(shí)間不夠，作業(yè)量大或不重視等因素而將書本“束之高閣”.如何發(fā)揮教材在中考復(fù)習(xí)中的作用？在本文中《二次函數(shù)(一)》的復(fù)習(xí)便是立足教材，有效幫助學(xué)生理清知識間的關(guān)系.這種處理方式，讓學(xué)生在熟悉的情景下，較為容易地對接課堂，夯實(shí)基礎(chǔ)，為后續(xù)“鏈接中考”作鋪墊.在本節(jié)課的課堂上，學(xué)生的參與度高，學(xué)生能在解決問題中，不斷獲得信心.試想在以后復(fù)習(xí)課的教學(xué)中能否通過合理利用教材，巧妙搭建再學(xué)習(xí)的平臺，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)課中，發(fā)揮課堂的主體作用.

2.數(shù)學(xué)思想方法的滲透在中考復(fù)習(xí)中的意義

傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課重在知識的構(gòu)建和知識的運(yùn)用，構(gòu)建的方式一般是思維導(dǎo)圖或讓學(xué)生課前梳理.而方法的提煉主要在例題和練習(xí)題的講解過程中體現(xiàn).如果教師不進(jìn)行精心設(shè)計(jì)，對例題和習(xí)題只注重知識點(diǎn)的應(yīng)用而不注重方法的概括，單純的依賴復(fù)習(xí)材料，則很容易“滿堂灌”，學(xué)生也容易出現(xiàn)“聽得懂”，卻“不會解”的現(xiàn)象.因此，在中考復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)思想方法的滲透也是教學(xué)的重任.在授之于魚的同時(shí)，授之于“漁”.在本文中《二次函數(shù)(一)》的復(fù)習(xí)，教師讓學(xué)生重新體驗(yàn)探究二次函數(shù)圖象和性質(zhì)的過程，著力滲透“數(shù)”與“形”結(jié)合的思想方法.在練習(xí)題的解決過程中，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生能很好地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，化抽象為直觀，以幫助解決問題.此外，學(xué)生又可以從中習(xí)得，在解決一般的數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以從特殊出發(fā)，從具體出發(fā)，化復(fù)雜為簡單.