四元數(shù)矩陣重構(gòu)魯棒波束形成算法

張 雪,朱向鵬,劉 帥,閆鋒剛,王 軍

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,山東 威海 264209； 2.中國空間技術(shù)研究院西安分院,西安 710000)

極化敏感陣列的自適應(yīng)波束形成技術(shù)能夠同時利用極化信息和空域信息完成濾波，相比傳統(tǒng)標(biāo)量陣列的純空域濾波具有更加優(yōu)良的抗干擾能力，使其在重要的軍事、民事等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1-2].四元數(shù)具有4個正交基，特別適用于極化敏感陣列的信號建模及信號處理，因此其在極化敏感陣列上得到了廣泛的應(yīng)用[3-4].文獻[5]提出的四元數(shù)MVDR(Quaternion Minimum Variance Distortionless Response, Q-MVDR)算法在干擾噪聲協(xié)方差矩陣(interference-plus-noise covariance matrix, IPNCM)及期望信號導(dǎo)向矢量精確已知時具備優(yōu)越的性能.然而，在實際應(yīng)用中，許多非理想因素不可忽視.如：由指向誤差、陣元位置誤差帶來的期望信號導(dǎo)向矢量失配[6-8]；精確的IPNCM難以獲得，利用采樣協(xié)方差矩陣代替，在期望信號較強時，會出現(xiàn)信號相消現(xiàn)象，引起算法性能急劇下降[9-10].因此，對基于四元數(shù)的魯棒自適應(yīng)波束形成算法(Robust Adaptive Beamforming, RAB)進行研究十分必要.

在RAB算法方面，文獻[11-12]利用對角加載(Diagonal Loading, DL)技術(shù)改善了對導(dǎo)向矢量誤差的敏感性，但是并沒有準(zhǔn)則來確定最優(yōu)加載量.針對此問題，文獻[13-14]提出的迭代RAB算法、基于收縮失配估計的RAB算法避免了加載量的求解，并提高了在導(dǎo)向矢量失配時算法的魯棒性.但是，以上RAB算法都有一個共同的缺點：由于訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號成分，當(dāng)期望信號較強時，算法性能下降.因此，文獻[15]利用Capon空間功率譜估計器對與期望信號分離的區(qū)域進行積分重構(gòu)得到了IPNCM，去除訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的期望信號成分，在波束形成領(lǐng)域?qū)崿F(xiàn)了有價值的創(chuàng)新，為RAB技術(shù)的發(fā)展提供了一種新思路.但是該算法忽略了干擾信號的功率，并且需要利用CVX工具包求解二次約束二次規(guī)劃問題，不易實現(xiàn).在該算法的基礎(chǔ)上，文獻[16-18]提出的改進算法利用斜投影、去除殘余噪聲等方法在一定程度上提高了重構(gòu)IPNCM的精度，以及導(dǎo)向矢量失配時的魯棒性，但在這兩方面仍具有一定的改進空間.

綜上，在標(biāo)量陣列、強期望信號條件下，矩陣重構(gòu)類方法極大地提升了波束形成算法的魯棒性.但是在極化敏感陣列方面，已有研究成果尚未有效解決強期望信號和導(dǎo)向矢量失配情況下性能下降的問題.本文針對此問題，提出一種基于四元數(shù)矩陣重構(gòu)的魯棒波束形成算法，該算法利用四元數(shù)完成信號建模，將協(xié)方差矩陣重構(gòu)方法擴展到四元數(shù)域，結(jié)合四元數(shù)信號子空間投影方法，完成了對極化敏感陣列最優(yōu)權(quán)矢量的求解.仿真實驗表明，在強期望信號和導(dǎo)向矢量失配時，本文算法表現(xiàn)出較好的魯棒性.

1 四元數(shù)信號模型

1.1 四元數(shù)基礎(chǔ)

將復(fù)數(shù)在四維空間上進行擴展，可以得到四元數(shù)，比較常用的是Hamilton四元數(shù).其定義四元數(shù)q由4個分量組成，一個實部和3個虛部[19]，可以表示成如下形式

q=a+ib+jc+kd.

式中i,j,k都是虛部單位，滿足

i2=j2=k2=ijk=-1, ij=k, ji=-k,

ki=j, ik=-j, ik=i, kj=-i,

四元數(shù)具有如下性質(zhì)：

一個四元數(shù)q可以表示成2個復(fù)數(shù)q1，q2相加的形式如:q=q1+iq2，其中q1=a+jc，q2=b+jd，且q1，q2唯一.

1.2 四元數(shù)信號模型

為了簡化闡述，文中假設(shè)接收極化波為完全極化波，陣列工作在理想環(huán)境下.

極化敏感陣列由相互正交的M個電偶極子對構(gòu)成，陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，整個陣列可以分為2個子陣，分別由沿x軸和y軸方向放置的電偶極子組成，接收來自x軸和y軸方向的電場分量.各個陣元沿y軸構(gòu)成均勻線陣，陣元間距為d.

圖1 交叉偶極子均勻線陣

根據(jù)偶極子方向，可將陣列分為垂直、水平偶極子兩個子陣，這兩個子陣上第l個信號的導(dǎo)向矢量可表示為

則兩個子陣的輸出x1(t)和x2(t)分別為

式中：n1(t)和n2(t)分別為兩個子陣中與信號相統(tǒng)計獨立的高斯白噪聲矢量.

四元數(shù)具有4個正交基，極化敏感陣列的每個陣元有兩個正交分量，整個陣列的輸出可以表示成四元數(shù)的形式，保持了各分量之間固有的正交特性.四元數(shù)域極化敏感陣列的輸出可表示為

x(t)=x1(t)+ix2(t)=

(1)

式中：a(θl,γl)?ax,l+iay,l為第l個信號的四元數(shù)域?qū)蚴噶浚琻(t)?n1(t)+in2(t)為四元數(shù)域噪聲矢量.

在波束形成中，式(1)一般表示為

式中：a0為期望信號導(dǎo)向矢量，s0(t)為期望信號，al,(l=1,2,…L)為干擾信號導(dǎo)向矢量，sl(t),(l=1,2,…,L)為干擾信號.

四元數(shù)域的協(xié)方差矩陣R∈HM×M為

干擾噪聲協(xié)方差矩陣Rj+n定義為

(2)

1.3 Q-MVDR波束形成算法

Q-MVDR算法的最優(yōu)權(quán)矢量w∈HM×1可以依據(jù)最大輸出信干噪比(max signal-to-interference-plus-noise ratio, MSINR)準(zhǔn)則轉(zhuǎn)化為如下問題求得

(3)

利用拉格朗日乘子法求解式(3)，解得四元數(shù)域最優(yōu)權(quán)矢量的表達式為

(4)

(5)

2 基于四元數(shù)矩陣重構(gòu)的魯棒波束形成算法

2.1 干擾噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

針對強期望信號時，MVDR算法出現(xiàn)性能下降并且會加重導(dǎo)向矢量失配的問題，文獻[15]提出復(fù)數(shù)域標(biāo)量陣列的重構(gòu)IPNCM的方法，本文將其擴展到四元數(shù)域

(6)

(7)

第l個干擾信號的導(dǎo)向矢量位于Bs各列矢量bi張成的干擾子空間，即可用Bs各列線性表示

式中：?αB∈RP×1為系數(shù)向量，R為實數(shù)集.

(8)

第l個干擾信號的導(dǎo)向矢量也可以用Es線性表示

式中?αE∈R(L+1)×1為系數(shù)向量.

aL+1=PBPEaL.

當(dāng)L趨近于∞時，aL收斂于真實的導(dǎo)向矢量，即：a∞=PBPEa∞.根據(jù)文獻[20]，a∞的求解問題可以等價為對矩陣PBPE中特征值為1的特征向量的求解問題，有

式中eigmax( )代表矩陣的最大特征值.矩陣PBPE的最大特征值為1.

得到

(9)

最后，利用Capon譜估計器得到第l個干擾信號的功率

(10)

(11)

(12)

2.2 四元數(shù)信號子空間投影

得到最優(yōu)權(quán)矢量

(13)

綜上，本文提出的基于四元數(shù)矩陣重構(gòu)的魯棒波束形成算法，具體步驟如下

步驟3：根據(jù)干擾信號個數(shù)，利用式(9)和(10)得到干擾信號的導(dǎo)向矢量和功率的估計值；

3 算法性能分析

定義四元數(shù)波束形成器信干噪比損失[20]為

(14)

將式(4)代入式(14)得到最優(yōu)波束形成器的信干噪比損失為

最優(yōu)波束形成器的輸出SINR可以表示為

(15)

在強期望信號和導(dǎo)向矢量失配情況下，算法性能嚴(yán)重下降的原因有以下兩種情況：

1)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中不含期望信號時導(dǎo)向矢量失配的權(quán)矢量為

(16)

將式(16)代入Sout，得到

(17)

則信干噪比損失為

結(jié)合式(15)得

Smis=SCBFLoptLmis.

可見，此時由導(dǎo)向矢量失配引起的信干噪比損失與期望信號強度無關(guān)，當(dāng)失配角較小時，Lmis接近為1.

2)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中含有期望信號時導(dǎo)向矢量失配，信干噪比損失為

(18)

并且有

Smis+sp=SmisLsp=SCBFLoptLmisLsp.

由式(18)可知，此時的信干噪比損失與期望信號強度有關(guān)，期望信號越強，信干噪比損失越大，甚至?xí)霈F(xiàn)強期望信號時的輸出SINR比弱期望信號時還要低的現(xiàn)象，這就是強期望信號引起性能下降的原因所在.此外，導(dǎo)向矢量失配對算法性能的影響比不含期望信號時大[21].

SProposed≈SoptLProposed≈Sopt.

因此，本文算法的輸出SINR接近于最優(yōu)值.

4 仿真分析

仿真條件：由8個偶極子構(gòu)成的均勻線陣，陣元數(shù)M=8，陣元間距d=λ/2，采樣快拍數(shù)K=200，期望信號參數(shù)為(θ0,γ0)=(0°,10°)，導(dǎo)向矢量失配誤差為2°，S=10 dB，干擾信號參數(shù)為(θ1,γ1)=(50°,20°)，I=30 dB.

在以上仿真條件下，將本文算法(Proposed)與四元數(shù)域PCMR-Q-MVDR算法[17]、CCMR-Q-MVDR算法[15]、對角加載(DL-Q-MVDR)算法[11]、Q-MVDR算法[5]和最優(yōu)(Optimal)算法進行對比分析，考察算法方向圖、輸出信干噪比等方面的性能.

4.1 強期望信號時不同算法方向圖比較

本實驗考察強期望信號情況下，不同算法的方向圖對比，仿真結(jié)果如圖2所示.

圖2 強期望信號時方向圖的對比

Fig.2 Comparison of beampatterns in strong desired signal case

由圖2可知，DL-Q-MVDR和Q-MVDR算法出現(xiàn)期望信號相消的現(xiàn)象，即：期望信號方向產(chǎn)生了零陷；CCMR-Q-MVDR算法在期望信號方向出現(xiàn)較小的估計偏差；本文算法和PCMR-Q-MVDR算法都精確對準(zhǔn)期望信號并具有較低的旁瓣.

4.2 輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化

本實驗在導(dǎo)向矢量失配條件下，考察不同算法輸出SINR隨輸入SNR的變化情況.仿真條件改變S=-10 dB～20 dB，進行500次蒙特卡洛獨立實驗，仿真結(jié)果如圖4所示.

圖3 強期望信號時干擾零陷深度的對比

Fig.3 Comparison of interference depth in strong desired signal case

圖4 輸出SINR與輸入SNR的變化曲線

由圖4可知，Q-MVDR算法在SNR很小時，性能已經(jīng)出現(xiàn)下降；DL-Q-MVDR算法雖然一定程度上改善了算法的性能，但是當(dāng)SNR>0 dB時，算法性能也明顯下降；本文算法、PCMR-Q-MVDR和CCMR-Q-MVDR算法由于重構(gòu)出IPNCM，輸出SINR隨著輸入SNR線性增加.本文算法相比其他兩種重構(gòu)類算法，具有更高的輸出SINR，并接近于最優(yōu)值.

4.3 輸出信干噪比與失配角度的關(guān)系

本實驗在強期望信號條件下，對不同算法輸出SINR與失配角度的關(guān)系進行仿真.仿真條件改變失配角度為-10°～10°，進行500次蒙特卡洛獨立實驗，仿真結(jié)果如圖5所示.

由圖5可知，Q-MVDR算法即使很小的失配角度，就會引起性能嚴(yán)重惡化；DL-Q-MVDR算法一定程度上提高了對失配角度的敏感性，但當(dāng)失配角度大于2°時，算法性能嚴(yán)重下降；CCMR-Q-MVDR算法進一步提高了對失配角度的敏感性，但當(dāng)失配角度大于5°時，性能也出現(xiàn)明顯下降；本文算法和PCMR-Q-MVDR算法都對失配角度不敏感，但本文算法具有更高的輸出SINR，當(dāng)失配角度較大時，依舊較接近于最優(yōu)值.

圖5 期望信號失配時輸出SINR與失配角度關(guān)系

Fig.5 Correlation between output SINR and mismatch angle in the case of desired signal steering vector mismatch

5 結(jié) 論

針對在強期望信號和導(dǎo)向矢量失配的情況下，Q-MVDR算法性能下降的問題，提出了一種基于四元數(shù)矩陣重構(gòu)的魯棒波束形成算法.該算法首先利用四元數(shù)矩陣重構(gòu)方法得到IPNCM的精確估計；然后利用四元數(shù)特征空間投影對導(dǎo)向矢量失配誤差進行修正.仿真結(jié)果表明，本文算法在強期望信號和導(dǎo)向矢量失配同時存在時，能夠保證期望信號方向波束增益無損失的同時，實現(xiàn)對干擾的有效抑制；算法始終具有較高的輸出SINR，有效地提高了算法的魯棒性.