多種多翼吸引子共存的新型三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

徐昌彪，何穎輝，吳 霞，莫運(yùn)輝

(1.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院,重慶 400065; 2.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,重慶 400065)

分?jǐn)?shù)階微積分已有300多年的歷史，自然界的物理現(xiàn)象大多以分?jǐn)?shù)階的形式存在，整數(shù)階微分方程正好是分?jǐn)?shù)階微分方程的特例.與整數(shù)階模型相比，分?jǐn)?shù)階模型更接近真實(shí)的世界，具有更誘人的發(fā)展前景，近年來(lái)已得到了越來(lái)越多的關(guān)注[1-2].值得注意的是，與只有固定翼混沌吸引子的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)相比，具有多種多翼混沌吸引子共存的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)顯示出更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為和更好的性能[3-4].在安全通信[5]和圖像加密[6]中，此類分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有更高的序列復(fù)雜度以及更大的密鑰空間，提高了系統(tǒng)安全性能.因此，發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造具有多種多翼混沌吸引子共存的低維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有更大的價(jià)值.Zhou等人基于四翼整數(shù)階憶阻混沌系統(tǒng)，構(gòu)造了相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階憶阻系統(tǒng)，出現(xiàn)三翼與三翼、三翼與四翼混沌吸引子的共存[7]；Borah和Roy設(shè)計(jì)了一種新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，此系統(tǒng)具有三翼和四翼混沌吸引子共存[8]；Xian等人構(gòu)造了一個(gè)雙翼與四翼混沌吸引子共存的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)[9].目前，構(gòu)造具有更多種多翼混沌吸引子共存的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)仍然存在一定挑戰(zhàn).在已有文獻(xiàn)中，能夠產(chǎn)生雙翼到四翼混沌吸引子共存的三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)還比較少見(jiàn).

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)新型三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析.在q=0.98時(shí)，出現(xiàn)雙翼、雙翼、四翼等混沌吸引子的共存；q=0.83時(shí)，出現(xiàn)雙翼、三翼、四翼等混沌吸引子的共存，表明系統(tǒng)具有豐富的混沌特性.與文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[11]相比，此系統(tǒng)不存在不光滑的非線性函數(shù)，更易于用硬件電路實(shí)現(xiàn).對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了Multisim模擬電路設(shè)計(jì)和仿真，仿真結(jié)果與數(shù)值分析相符，進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌行為.基于分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定理論，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)同步控制器，仿真結(jié)果表明了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.

1 系統(tǒng)模型及其特性

1.1 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型

增廣Lü系統(tǒng)[12]狀態(tài)方程為

(1)

將式(1)中第一個(gè)方程右邊添加非線性項(xiàng)-kx-9yz-d，第3個(gè)方程右邊添加非線性項(xiàng)-9xy+y2.再根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義，構(gòu)建了一個(gè)新型三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(2)

式中:x，y，z為系統(tǒng)狀態(tài)變量，a，b為系統(tǒng)參數(shù)，q為系統(tǒng)階數(shù).

固定參數(shù)a=2，b=1，c=-0.78，取q=0.98，其最大Lyapunov指數(shù)(MAXLE)為1.065 96.利用預(yù)估-校正數(shù)值計(jì)算方法[13]，結(jié)合matlab軟件，得到系統(tǒng)的仿真相圖.初始值為[2,1,1]、[5,1,1]和[6,1,1]時(shí)，分別得到兩個(gè)孤立的雙翼混沌吸引子和一個(gè)四翼混沌吸引子，其x-y面和y-z面如圖1所示.其中，圖1(a)和(b)中的藍(lán)色部分為初始值[2,1,1]誘發(fā)的雙翼混沌吸引子，紅色部分為初始值[5,1,1]誘發(fā)的四翼混沌吸引子.

圖1 q=0.98時(shí)系統(tǒng)的相

取q=0.83，其MAXLE為1.494 3.初始值為[2,1,1]、[5,2,1]和[11,1,1]時(shí)，分別得到雙翼、三翼和四翼混沌吸引子，其x-y面和y-z面如圖2所示.

圖2 q=0.83時(shí)系統(tǒng)的相

由此可見(jiàn)，系統(tǒng)階數(shù)q=0.98時(shí)，系統(tǒng)有雙翼、雙翼、四翼等混沌吸引子共存；q=0.83時(shí)，系統(tǒng)有雙翼、三翼、四翼等混沌吸引子共存，表明了階數(shù)q對(duì)系統(tǒng)的混沌特性具有較大影響.

1.2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

參數(shù)不變，令系統(tǒng)(2)方程式的左邊等于0，即

(3)

求得平衡點(diǎn)，如表1所示.

表1 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

令det(λE-J)=0，得到其特征多項(xiàng)式為

f(λ)=λ3+A2λ2+A1λ+A0.

(4)

其中

A2=1.78,

若平衡點(diǎn)穩(wěn)定，其特征值滿足Re[λ]<0.依據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，當(dāng)且僅當(dāng)A2>0，A0>0，A2A1-A0>0時(shí)，平衡點(diǎn)穩(wěn)定[14-15].求得每個(gè)平衡點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的特征值及平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性如表2所示.

表2表明，平衡點(diǎn)S1是第一類鞍點(diǎn)，S0，S2，S3和S4是第二類鞍點(diǎn).混沌吸引子的環(huán)圍繞第二類鞍點(diǎn)產(chǎn)生，第一類鞍點(diǎn)起到連接環(huán)的作用[16-17].

設(shè)λ是第二類鞍點(diǎn)的共軛復(fù)根，為使分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)存在混沌吸引子，λ必須保持在不穩(wěn)定區(qū)域.由文獻(xiàn)[18]可得，需滿足

|arg(λ)|<0.5πq.

(5)

其中arg(λ)是特征值λ的輻角，所以有

(6)

表2 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性

由此，a=2，b=1，c=-0.78時(shí)，可得分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(2)存在混沌吸引子的必要條件，即q>0.822 4.

1.3 時(shí)序圖

參數(shù)不變，取q=0.83,初始值為[5,2,1]，得到相應(yīng)的時(shí)序圖，如圖3(a)所示，從圖中能直觀地看出系統(tǒng)的混沌行為.

1.4 最大Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

系統(tǒng)階數(shù)的變化會(huì)改變平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性,引起系統(tǒng)狀態(tài)的變化.參數(shù)不變，選擇階數(shù)q為控制變量.采用Adams-Bashforth-Moulton數(shù)值算法的改進(jìn)版本[19]，初始值為[5,2,1]時(shí)，得到系統(tǒng)變量z隨系統(tǒng)階數(shù)q變化的最大Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，如圖3(b)和圖3(c)所示.最大Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖可以比較直觀地反映非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)隨階數(shù)變化的動(dòng)態(tài)特性.當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)>0的時(shí)候，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).由圖3(c)可知，當(dāng)q∈[0.5，0.819]時(shí)，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當(dāng)q∈(0.819，1]時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).q從0.5向1增加的過(guò)程中，結(jié)合圖3(c)可知，系統(tǒng)通向混沌的道路為倍周期分岔道路，進(jìn)一步驗(yàn)證了q對(duì)系統(tǒng)具有較大影響.

2 系統(tǒng)的電路仿真

參數(shù)不變，取初始值為[5,2,1]，根據(jù)文獻(xiàn)[20]，當(dāng)q=0.83時(shí)，分?jǐn)?shù)階算子逼近

(7)

文獻(xiàn)[19]中的分?jǐn)?shù)階等效串并聯(lián)RC模塊電路單元如圖4所示.

其中Ra=44.310 6 MΩ，Rb=1.307 8 MΩ，Rc=0.085 4 MΩ，Rd=0.005 9 MΩ，Ca=1.709 7 μF，Cb=2.215 7 μF，Cc=1.298 μF，Cd=0.724 5 μF.

圖3 系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)分析

圖4 分?jǐn)?shù)階算子的等效電路模塊

Fig.4 Equivalent circuit module of the fractional order operator

采用線性電阻、電容、LM2924N型運(yùn)算放大器、MULTIPLIER模擬乘法器，其中乘法器的輸出增益為1，從而設(shè)計(jì)出了系統(tǒng)的模擬電子電路，如圖5所示.運(yùn)算放大器U1A相當(dāng)于加法器，其輸出端電壓為vU1A=-(R3/R2)x-(R3/R1)yz，U2A相當(dāng)于積分器，利用分?jǐn)?shù)階算子單元模塊，得到

D0.83x=vU1A=-(R3/R2)x-(R3/R1)yz,

(8)

同理

D0.83x=vU4A=(R9/R7)xz+(R9/R8)y,

(9)

D0.83x=vU6A=-(R14/R13)z-(R14/R12)xy+
(R14/R11)y2.

(10)

根據(jù)式(2)中的系數(shù)，a=2，b=1，c=-0.78，令R1=100 Ω，R2=500 Ω，R3=R7=R8=R9=1 kΩ，R5=R6=R16=R17=10 kΩ，R4=R10=R15=100 kΩ，R11=R14=1.56 kΩ，R12=195 Ω，R13=2 kΩ，Ra1=Ra2=Ra3=44.310 6 MΩ，Rb1=Rb2=Rb3=1.307 8 MΩ，Rc1=Rc2=Rc3=0.085 4 MΩ，Rd1=Rd2=Rd3=0.005 9 MΩ，Ca1=Ca2=Ca3=1.709 7 μF，Cb1=Cb2=Cb3=2.215 7 μF，Cc1=Cc2=Cc3=1.298 μF，Cd1=Cd2=Cd3=0.724 5 μF.

圖5 系統(tǒng)的電路原理

圖6為示波器上觀察到的結(jié)果，可以看出實(shí)驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果完全相符，進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌行為.

圖6 電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3 系統(tǒng)的自適應(yīng)同步

采用自適應(yīng)控制方法[21-23]實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步.令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

(11)

其中x1，x2，x3為系統(tǒng)變量.響應(yīng)系統(tǒng)為

(12)

其中y1，y2，y3是狀態(tài)變量，u1，u2，u3是自適應(yīng)控制器.

令驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)(11)和響應(yīng)系統(tǒng)(12)的同步誤差為ei=yi-xi(i=1,2,3)，則同步誤差系統(tǒng)為

(13)

參數(shù)估計(jì)誤差定義為

(14)

對(duì)參數(shù)估計(jì)誤差(14)求q階導(dǎo)，得

(15)

設(shè)計(jì)系統(tǒng)的自適應(yīng)控制器為

(16)

式中k1,k2,k3為正的增益常數(shù).

定義參數(shù)更新定律為

(17)

式中λ1,λ2,λ3為正的增益常數(shù).

對(duì)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，由參考文獻(xiàn)[24]給出的分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定性理論，得出引理1.

引理1對(duì)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)DqX(t)=f(X)，其中X=(x1,x2,…,xn)T為系統(tǒng)狀態(tài)變量.當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)q∈(0,1)時(shí)，如果存在實(shí)對(duì)稱正定矩陣P，使對(duì)任意狀態(tài)變量矩陣X，恒有J=XPDqX≤0成立，則分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

定理1在自適應(yīng)控制器(16)和參數(shù)更新定律(17)的作用下，同步誤差系統(tǒng)(13)漸近穩(wěn)定.

證明構(gòu)造J函數(shù)如下:

J=ePDqe=[e,ea,eb,ec]P[Dqe,Dqea,Dqeb,Dqec]T

其中，e為同步誤差，ea,eb,ec為參數(shù)估計(jì)誤差，P為實(shí)對(duì)稱正定矩陣，選擇正定矩陣P=diag(1,1,1,1/λ1,1/λ2,1/λ3)，λ1,λ2,λ3為特征值.

將同步誤差系統(tǒng)(13)、參數(shù)估計(jì)誤差(14)、自適應(yīng)控制器(16)和參數(shù)更新定律(17)代入上式，簡(jiǎn)化可得

J=[e,ea,eb,ec]P[Dqe,Dqea,Dqeb,Dqec]T=

e1Dqe1+e2Dqe2+e3Dqe3+(1/λ1)eaDqea+

(1/λ2)ebDqeb+(1/λ3)ecDqec=

(1/λ1)eaDqea+(1/λ2)ebDqeb+(1/λ3)ecDqec=

(1/λ1)eaDqea+(1/λ2)ebDqeb+(1/λ3)ecDqec=

顯然，J≤0，據(jù)引理1誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

證畢.

圖7 同步誤差和未知參數(shù)收斂曲線

Fig.7 Convergence curves of synchronization errors and unknown parameters

4 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一個(gè)新型三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，分析了此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，系統(tǒng)具有復(fù)雜的動(dòng)態(tài)行為，能夠出現(xiàn)雙翼、三翼、四翼等不同類型多翼混沌吸引子共存.對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了Multisim模擬電路設(shè)計(jì)與仿真，仿真結(jié)果與數(shù)值分析相符，進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)的混沌行為.基于分?jǐn)?shù)階Lyapunov穩(wěn)定理論及定理1，設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)同步控制器，仿真結(jié)果表明了所設(shè)計(jì)控制器的有效性.