寒區(qū)非圓形隧道凍脹力的解析解1)

李巖松 陳壽根

?(中國五冶集團(tuán)有限公司,成都 610063)

?(西南交通大學(xué)交通隧道工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

引言

在高寒高海拔地區(qū)修建隧道,隧址區(qū)原有的熱力平衡被打破,隧道的通風(fēng)對流使冷空氣在隧道內(nèi)部的流動,造成了隧道內(nèi)部溫度的下降,從而創(chuàng)造了隧道圍巖形成季節(jié)凍土或多年凍土的條件.當(dāng)圍巖溫度過低圍巖中的裂隙、孔隙水凍結(jié)時會發(fā)生體積膨脹,在這種體積膨脹受到隧道襯砌和未凍巖體的約束時,凍結(jié)圍巖便會對隧道襯砌產(chǎn)生凍脹力.20 世紀(jì)70～80 年代,日本對東北寒冷地區(qū)隧道的調(diào)查分析結(jié)果表明,凍脹力是造成寒區(qū)隧道變形破壞主要因素.由于我國經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展,高速鐵路、公路建設(shè)迎來了高速發(fā)展時期,不可避免地需要在高寒高海拔地區(qū)修建隧道.隧道常常發(fā)生凍害,對隧道的維修養(yǎng)護(hù)造成了極大困難,更是對隧道結(jié)構(gòu)和運(yùn)營安全構(gòu)成了嚴(yán)重威脅.為保證隧道結(jié)構(gòu)和運(yùn)營安全,降低維修養(yǎng)護(hù)成本,各國學(xué)者從不同方向、不同領(lǐng)域?qū)畢^(qū)隧道凍脹力進(jìn)行了研究.

Lai 等[1-4]應(yīng)用無量綱微擾法、Galerkin 法、黏彈性理論以及CT 技術(shù)分別對寒區(qū)隧道進(jìn)行多項(xiàng)研究并取得了顯著成果.為寒區(qū)隧道施工、運(yùn)營、維護(hù)提供了有力的參考依據(jù);Gao 等[5]應(yīng)用經(jīng)典彈塑性理論得到了圓形寒區(qū)隧道圍巖應(yīng)力和塑性區(qū),發(fā)現(xiàn)凍脹力會導(dǎo)致圍巖塑性區(qū)顯著膨脹并在屈服后出現(xiàn)塑性硬化現(xiàn)象;Feng 等[6]應(yīng)用彈塑性理論得到了圓形寒區(qū)隧道圍巖應(yīng)力及位移的彈塑性解析解,并且通過參數(shù)分析,得出相關(guān)參數(shù)對凍結(jié)圓周內(nèi)、外邊緣塑性半徑和圍巖應(yīng)力的影響結(jié)果;夏才初等[7]考慮施工過程中機(jī)械產(chǎn)生的熱量對多年凍土的融化影響,分析了多年凍土融化范圍,建立并求解融化作用下多年凍土隧道圍巖彈塑性模型,確定了相應(yīng)控制融化作用的關(guān)鍵因素;張常光等[8]在彈性模量變化、中間主應(yīng)力效應(yīng)、圍巖應(yīng)變軟化和剪脹條件下,基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論推導(dǎo)了深埋圓形隧道塑性位移新解;譚賢君[9]、楊罡[10]、黃繼輝等[11-12]、蘇林軍[13]應(yīng)用有限元軟件對凍土隧道凍脹力進(jìn)行模擬,得到了一系列令人滿意的結(jié)果;吳劍[14]通過模型試驗(yàn)結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果對比,詳細(xì)研究凍土隧道凍脹力,得出了不同凍脹條件下隧道襯砌變形特征曲線以及凍脹力分布規(guī)律;根據(jù)Takashi 方程Hao 等[15]得到了圓柱形凍土試塊的凍脹力以及溫度分布規(guī)律,論證了該方法在三維空間中的適用性;Tan 等[16]應(yīng)用數(shù)值模擬建立模型,計(jì)算了寒區(qū)隧道在多孔介質(zhì)中凍融循環(huán)的溫度擴(kuò)散問題,通過數(shù)值模擬得到隧道襯砌表面的建筑保溫材料會極大地改變襯砌和圍巖溫度的結(jié)論.

在以上寒區(qū)隧道研究中所涉及應(yīng)用彈性、彈塑性理論計(jì)算寒區(qū)隧道凍脹力解析解時均采用圓形隧道模型,并未采用與實(shí)際隧道斷面相似的隧道模型進(jìn)行計(jì)算.由于計(jì)算模型的差異,這些研究成果與實(shí)際結(jié)果存在一定的差異,不能直接應(yīng)用于非圓形寒區(qū)隧道問題中.

當(dāng)考慮支護(hù)為圓形的條件時,寒區(qū)隧道凍脹力和位移的彈性解析解通過連續(xù)性條件易于給出.而當(dāng)隧道斷面形狀為馬蹄形、直墻拱形等非圓形狀并且考慮隧道支護(hù)時,由于考慮了隧道支護(hù),使問題由單連通域問題變?yōu)槎噙B通域問題,不能直接應(yīng)用經(jīng)典的復(fù)變函數(shù)理論求解非圓形隧道應(yīng)力和位移.所以,還鮮有學(xué)者給出考慮襯砌因素的非圓形寒區(qū)隧道凍脹力和凍脹位移的彈性解析解.綜上所述,為得到考慮襯砌的非圓形寒區(qū)隧道凍脹力彈性解析解,應(yīng)用經(jīng)典復(fù)變函數(shù)理論冪級數(shù)解法,結(jié)合連續(xù)性條件,在文獻(xiàn)[17-18]的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)了考慮襯砌的非圓形寒區(qū)隧道凍脹力的彈性解析解.為下一步非圓形寒區(qū)隧道凍脹力的彈塑性分析奠定了基礎(chǔ).

1 問題描述

根據(jù)彈性理論,寒區(qū)隧道在深埋條件下,由于隧道開挖尺寸與埋深相比很小,隧道開挖問題可視為在無限平面內(nèi)的孔洞問題,不受邊界效應(yīng)影響,地應(yīng)力變化梯度可忽略不計(jì).當(dāng)考慮凍脹圈和支護(hù)結(jié)構(gòu)時,無限平面內(nèi)的孔洞問題由單連通域孔洞問題變?yōu)槎噙B通域問題,無限平面被分割為3 個區(qū)域.圖1 給出了無限平面內(nèi)考慮凍脹圈的隧道孔洞模型.其中在Z平面中襯砌、凍脹圈和未凍圍巖分別表示為S1,S2和S3區(qū)域,所對應(yīng)的邊界L1為襯砌與大氣接觸面,它為自由邊界,受到的面力為零;L2為襯砌與凍脹圈接觸面,它滿足連續(xù)邊界條件;L3為凍脹圈與未凍圍巖接觸面,它滿足連續(xù)邊界條件;圍巖的遠(yuǎn)場應(yīng)力由隧道埋深邊界條件確定.為了進(jìn)行計(jì)算,必須將Z平面上的非圓形襯砌、凍脹圈結(jié)構(gòu)通過保角變換映射到ζ 平面上,使得在Z平面上的非圓形結(jié)構(gòu)變換為ζ平面上的圓環(huán)結(jié)構(gòu).這時Z平面上的區(qū)域S3映射為ζ 平面行的區(qū)域O3;區(qū)域S2映射為ζ 平面行的區(qū)域O2;襯砌區(qū)域S1映射為圓環(huán)區(qū)域O1;邊界L1,L2及L3分別映射為圓環(huán)R1,R2與R3.其中最一般的映射函數(shù)可寫成洛朗級數(shù)的形式,即

圖1 Z 平面保角變換為ζ 平面示意圖Fig.1 Conformal mapping of tunnel in z-plane in to two concentric circles in ζ-plane

其中,R是一個實(shí)常數(shù),它的大小反映了隧道孔洞的大小;Ck一般為復(fù)常數(shù),其中k=1,2,3,···,Ck反映了隧道斷面形狀,在一般情況下Ck取前幾項(xiàng)時,映射函數(shù)的精度已經(jīng)可以滿足工程要求[19].ζ 為Z平面上的點(diǎn)映射到ζ 平面上的正交曲線坐標(biāo),通?？捎山嵌圈?與半徑ρ 表示.

2 復(fù)變函數(shù)解法公式推導(dǎo)及求解

根據(jù)Kargar 等[20-22]和陳子蔭[23]提出的方法,ζ面上未凍圍巖O3區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力函數(shù)可表示為

式中,hk和mk為所求復(fù)常數(shù),它們均由邊界條件確定;φ0(ζ)和ψ0(ζ)滿足φ0(∞)=0 和ψ0(∞)=0;Lu等[21-22]提出Γ 和?！淇捎蔁o窮遠(yuǎn)處應(yīng)力邊界條件定出,即

在方程(6)和(7)中K為側(cè)壓力系數(shù),γ 和H分別表征圍巖重度與隧道埋深.

ζ 平面上凍脹圈O2區(qū)域的應(yīng)力函數(shù)φ2(ζ)和ψ2(ζ)可表示為

其中,ak,bk,ck和dk為所求復(fù)常數(shù),它們均由邊界條件確定.

ζ 平面上襯砌O1區(qū)域應(yīng)力函數(shù)φ3(ζ)和ψ3(ζ)可表示為

其中,Ak,Bk,Ck和Dk為所求復(fù)常數(shù),它們均由邊界條件確定.

在復(fù)變函數(shù)解中[24-26]應(yīng)力均可以用兩個應(yīng)力函數(shù)φ 和ψ 表達(dá),襯砌、凍脹圈和未凍圍巖上應(yīng)力均可表示為

其中,σρ,σθ和τρθ分別為正交曲線坐標(biāo)下的法向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力和剪應(yīng)力.

假設(shè)寒區(qū)隧道襯砌S1和未凍圍巖S3區(qū)域體積不受圍巖溫度變化影響,相應(yīng)ζ 平面上映射區(qū)域O1和O3位移滿足復(fù)變函數(shù)[24-26]應(yīng)力函數(shù)表達(dá),襯砌和未凍圍巖上位移可表示為

其中,uρ和uθ分別表示法向位移與環(huán)向位移,G是切變模量,κ 由泊松比確定,κ=3-4υ 和κ=(3-υ)/(1+υ)分別為平面應(yīng)變與平面應(yīng)力狀態(tài)下κ的取值,υ 為泊松比,因隧道縱向長度與斷面最大直徑相比很大,故問題可視為平面應(yīng)變問題,κ 取3?4υ.

由于凍脹圈S2區(qū)域內(nèi)體積受溫度變化影響,故相應(yīng)在ζ 平面上O2區(qū)域內(nèi)位移無法滿足復(fù)變函數(shù)[24-26]應(yīng)力函數(shù)表達(dá),需要重新推導(dǎo)(推導(dǎo)過程詳見附錄1),經(jīng)推導(dǎo)凍脹圈上位移可表示為

其中ε 為凍脹圈線膨脹系數(shù),可由凍脹區(qū)單位凍脹體積變化定出,即

其中?V是凍脹區(qū)單位凍脹體積變化.

應(yīng)力函數(shù)φ1(ζ),ψ1(ζ),φ2(ζ)和ψ2(ζ),φ3(ζ)和ψ3(ζ)必須分別在R2和R3上滿足連續(xù)邊界條件,在R1上滿足應(yīng)力邊界條件.在襯砌與大氣接觸面上力的邊界條件可表示為

在計(jì)算非圓形隧道圍巖應(yīng)力時,為能更好地反應(yīng)實(shí)際隧洞變形位移,Lu 等[20-22]在連續(xù)性位移條件中引入了開挖卸荷因子.為了能更直觀反映凍脹力對非圓形隧道襯砌的影響,在位移連續(xù)邊界條件中并未考慮開挖卸荷因子,如需考慮開挖卸荷效應(yīng),只需在位移邊界條件中添加符合實(shí)際工況的開挖卸荷因子即可.根據(jù)推導(dǎo)的位移公式,在凍脹圈與襯砌接觸面上位移連續(xù)邊界條件可表示為

在凍脹圈與襯砌接觸面上力的連續(xù)邊界條件可表示為

在未凍圍巖與凍脹圈接觸面上,根據(jù)推導(dǎo)的考慮凍脹作用的位移公式(附錄1),位移連續(xù)邊界條件可表示為

在未凍圍巖與凍脹圈接觸面上力的連續(xù)邊界條件可表示為

其中,t1,t2和t3分別表示ζ 平面上R1,R2和R3邊界上的點(diǎn).

方程(2)和(3)中的表達(dá)式Γw(ζ)和?！鋡(ζ)表示圍巖的初始地應(yīng)力和初始位移的分量,所以在方程(19)中計(jì)算由于開挖引起的位移時應(yīng)將其去除[27];方程(17)～(20)在計(jì)算過程中假設(shè)接觸面之間無滑動.

應(yīng)用于李巖松等[17-18]冪級數(shù)解法,方程(16)可分別展開為正冪次方程組(21)和負(fù)冪次方程組(22)

其中,Lv可由方程(1)中R和Ck計(jì)算得出,ζ 為Z平面上的點(diǎn)映射到ζ 平面上的正交曲線坐標(biāo),可表示為ζ=ρσ,這里σ=exp(iθ);ζ 的共軛可表示為為便于計(jì)算,方程(1)可寫為

方程(17)可分別展開為正冪次方程組(24)和負(fù)冪次方程組(25);方程(18)可分別展開為正冪次方程組(26)和負(fù)冪次方程組(27);方程(19)可分別展開為正冪次方程組(28)和負(fù)冪次方程組(29),方程(24)～(29)表達(dá)式如下

最后將方程(20)分別展開為正冪次方程組(30)和負(fù)冪次方程組(31).應(yīng)當(dāng)注意的是:由于邊界條件不同,方程(21)和(22)中的極半徑ρ 與方程(24)～(27)以及方程(28)～(31)中的極半徑ρ 在數(shù)值上分別等于r1,1 和r2.

結(jié)合行列式(21)、式(22)以及行列式(24)～式(31),可以得到無窮線性方程組[17-18],求解無窮線性方程組得到應(yīng)力函數(shù)(方程(2)和(3),方程(8)和(9),方程(10)和(11))中各項(xiàng)系數(shù).由得到的應(yīng)力函數(shù)計(jì)算方程(12)和(13)得到非圓形寒區(qū)隧道應(yīng)力解析解;由方程(14)計(jì)算襯砌和未凍圍巖位移解析解;最后由方程(15)計(jì)算凍脹圈位移解析解.

3 工程案例應(yīng)用分析

以新建汶川至馬爾康公路鷓鴣山特長隧道洞口段為研究對象,利用上節(jié)解析方法,對非圓形寒區(qū)隧道應(yīng)力和變形進(jìn)行求解,并用Flac 有限差分軟件進(jìn)行進(jìn)行校核,驗(yàn)證解析解的準(zhǔn)確性.

根據(jù)現(xiàn)場大氣、圍巖實(shí)測溫度、圍巖及結(jié)構(gòu)熱力學(xué)試驗(yàn),估算圍巖凍結(jié)深度.可知當(dāng)原巖溫度為10?C時,凍結(jié)深度約為2 m[28].據(jù)此確定圍巖凍脹圈和未凍圍巖.

結(jié)合鷓鴣山隧道地質(zhì)報告、室內(nèi)巖石試驗(yàn)和點(diǎn)荷載試驗(yàn)數(shù)據(jù)[28].圍巖、結(jié)構(gòu)材料物理力學(xué)參數(shù)見表1.

表1 地層及材料參數(shù)Table 1 Main physical parameter for tunnel calculation

圖2(a)為鷓鴣山隧道K188+480 m 處斷面計(jì)算簡圖.圖2(b)為Flac 有限差分軟件計(jì)算模型圖,共劃分網(wǎng)格3916 個,用于模擬深埋非圓形寒區(qū)隧道開挖后襯砌、凍脹圈和圍巖的應(yīng)力及變形狀態(tài).隧道采用全斷面開挖,開挖后立即支護(hù);假定模型為彈性模型;襯砌與凍脹圈,凍脹圈與圍巖之間只受法向力;隧道凍脹系數(shù)采用等效熱脹系數(shù)進(jìn)行模擬;假設(shè)凍脹圈溫度恒定,無溫差;隧道凍脹力和凍脹變形通過控制熱力模型和結(jié)構(gòu)模型交替開關(guān)進(jìn)行計(jì)算;襯砌與凍脹圈,凍脹圈與圍巖之間無滑動.根據(jù)式(15)中對線脹系數(shù)的說明、水凍結(jié)為冰體積增大約9%及凍脹圈含水量計(jì)算得凍脹圈線膨脹系數(shù)ε≈0.002 5.

根據(jù)呂愛鐘等[19]提出的最優(yōu)化法求解映射函數(shù)的思路,編寫相應(yīng)MATLAB 計(jì)算程序,通過計(jì)算,得到映射函數(shù)

在工程計(jì)算中方程(1)取前幾項(xiàng)就可滿足工程精度要求[19],所以為提高計(jì)算效率,式(37)取映射函數(shù)(方程(1))的前四項(xiàng);式(37)中ζ=ρσ,其中當(dāng)ρ=1.225 時,表示映射函數(shù)所對應(yīng)未凍圍巖與凍脹圈接觸面的邊界條件;當(dāng)ρ=1 時,表示映射函數(shù)所對應(yīng)凍脹圈與襯砌接觸面的邊界條件;當(dāng)ρ=0.863 3時,表示映射函數(shù)所對應(yīng)襯砌與大氣接觸面的邊界條件.

圖2 (a)隧道計(jì)算簡圖(單位:m);(b)隧道計(jì)算模型Fig.2 (a)Tunnel calculation diagram(Unit:m)and(b)Finite mesh calculation mode

根據(jù)邊界條件(方程(16)～(20))編寫MATLAB計(jì)算程序,求得寒區(qū)非圓形隧道凍脹應(yīng)力及凍脹位移解析解,并將其與Flac 有限差分軟件所求的數(shù)值解進(jìn)行比較,比較結(jié)果如下所示.

由于Flac 有限差分軟件計(jì)算應(yīng)力為隧道襯砌及凍脹圈的豎向和水平向應(yīng)力,這與解析解所求法向、環(huán)向應(yīng)力坐標(biāo)系統(tǒng)不統(tǒng)一,無法進(jìn)行比較,故將Flac有限差分軟件所求應(yīng)力結(jié)果進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后再進(jìn)行對比.

圖3 是襯砌內(nèi)邊界環(huán)向應(yīng)力,由圖中可看到,數(shù)值解與解析解吻合得較好;由于凍脹作用的影響襯砌內(nèi)邊界環(huán)向應(yīng)力顯著增大,在拱頂(α=0?)到拱肩(α=40?)這一扇形區(qū)域襯砌所受的環(huán)向應(yīng)力明顯增大;在拱腳(α=120?)處,環(huán)向應(yīng)力集中明顯,拱腳處環(huán)向應(yīng)力較未凍結(jié)時增大約25.9%;在拱底(α=180?)附近30?的扇形區(qū)域范圍內(nèi)襯砌所受環(huán)向應(yīng)力增長顯著.

圖3 襯砌內(nèi)邊界環(huán)向應(yīng)力Fig.3 Circumferential stress along the inner lining periphery

圖4 為襯砌與凍脹圈接觸面上法向應(yīng)力,由圖4可以看出:襯砌法向應(yīng)力較未受凍脹力時有明顯波動.由于凍脹作用,襯砌在α=60?附近法向應(yīng)力較未受凍脹力時增大約107.5%;在α=110?附近凍脹后襯砌與未凍脹襯砌相比法向應(yīng)力減小約82.4%;在α=140?附近受凍脹力影響法向應(yīng)力較未凍脹法向應(yīng)力增大約21.4%;在襯砌與凍脹圈接觸面上,數(shù)值模擬所求法向應(yīng)力與解析法所求法向應(yīng)力吻合得較好,只是在部分路徑上有一定的偏差.

圖4 襯砌與凍脹圈接觸面上法向應(yīng)力Fig.4 Normal stress along frost heaving ring-lining interface

由圖5 可見,凍脹作用對襯砌影響明顯,尤其在襯砌拱頂、拱腳、拱底處.由于凍脹力影響,拱頂環(huán)向應(yīng)力由2.01 MPa 增大至4.55 MPa;拱腳處環(huán)向應(yīng)力較未凍脹環(huán)向應(yīng)力增大約38.8%;拱底環(huán)向應(yīng)力由0.5 MPa 增大至2.5 MPa;在襯砌外邊界上,數(shù)值模擬所求環(huán)向應(yīng)力與解析法所求環(huán)向應(yīng)力吻合得較好,只是在α=100?應(yīng)力峰值附近有一定的偏差.

圖5 襯砌外邊界環(huán)向應(yīng)力Fig.5 Circumferential stress along outer lining periphery

圖6 為襯砌與凍脹圈接觸面上的法向位移,從圖中可以看到:數(shù)值法向位移解與解析法向位移解吻合得較好;襯砌受到凍脹力,產(chǎn)生了明顯的凍脹變形.襯砌拱頂下沉較未受凍脹力時增大約37.4%.拱底隆起明顯,與未受凍脹力時相比增大約3 mm.但是,總的來說計(jì)算所得未凍脹和凍脹法向位移均較實(shí)測值偏小[28],這可能與未考慮開挖卸荷因子和塑性變形有關(guān).

圖6 襯砌內(nèi)邊界上法向位移Fig.6 Radial displacement along the inner lining periphery

4 結(jié)論

根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論,首次提出了考慮襯砌的非圓形寒區(qū)隧道凍脹力和變形方法,并將其應(yīng)用于鷓鴣山隧道洞口段研究中,得出了以下幾點(diǎn)結(jié)論:

(1)推導(dǎo)了襯砌?凍脹圈?圍巖體系的非圓形隧道凍脹力彈性解析公式,然后將復(fù)變函數(shù)解法得到的解析解與數(shù)值分析結(jié)果進(jìn)行對比分析,評價考慮圍巖凍脹作用的非圓形隧道應(yīng)力及位移解析解的合理性和準(zhǔn)確性.

(2)解析解與數(shù)值解吻合得較好,圍巖凍脹力對襯砌影響明顯,在拱頂、拱腳、拱底處因凍脹造成的環(huán)向附加應(yīng)力顯著增大;在拱腳及兩側(cè)拱肩處受到較大的法向附加應(yīng)力;圍巖凍脹力造成襯砌受力不均,對隧道的結(jié)構(gòu)安全構(gòu)成了威脅.

(3)以新建汶川至馬爾康高速公路鷓鴣山特長隧道洞口段為研究對象,結(jié)合工程實(shí)際,利用MATLAB計(jì)算軟件編寫計(jì)算程序求解,得到鷓鴣山隧道洞口段凍脹應(yīng)力和凍脹位移解析解,并將所得結(jié)果作為其數(shù)值計(jì)算和安全運(yùn)行的參考依據(jù).

(4)由于襯砌幾何結(jié)構(gòu)的原因造成了隧道凍脹變形的不均勻,進(jìn)而造成凍脹力分布不均,這較以往將圍巖凍脹圈考慮為單一圓環(huán)的圍巖凍脹力研究更符合實(shí)際.較以往所得解析解更能反映實(shí)際工況.

(5)復(fù)變函數(shù)理論為寒區(qū)非圓形隧道凍脹力研究提出了一種除數(shù)值模擬、現(xiàn)場試驗(yàn)外新的計(jì)算方法.新方法為下一步寒區(qū)非圓形隧道凍脹力的彈塑性分析奠定了基礎(chǔ).

附錄1

凍脹圈S2區(qū)域內(nèi)位移公式(15)推導(dǎo)過程如下.

將溫度應(yīng)變引入廣義胡可定律得到考慮溫度的廣義胡可定律,方程(A1)

其中ε1,ε2,ε3分別是凍脹圍巖在x,y,z方向上的線脹系數(shù),假定凍脹圍巖均勻凍脹,則

推導(dǎo)過程以平面應(yīng)力進(jìn)行為例,即

將式(A3)代入式(A1),則式(A1)可改寫為

在不考慮體力時,應(yīng)力可表示為

其中,U為應(yīng)力函數(shù).

將式(A5)代入式(A4)

將2G=E/(1+υ)代入式(A7)得

將式(A8)代入式(A9),然后,分別對x,y求導(dǎo)

對式(A10)第一式求x的積分,對第二式求y的積分得

其中,g1(y)和g2(x)為任意函數(shù),為確定其具體形式,將式(A11)求偏導(dǎo)后代入式(A4)中第三式得

將式(A12)展開有

由式(A13)可知

因?p/(?y)=??q/(?x)為柯西?黎曼條件,即

由式(A15)可知

其中,A為任意常數(shù).

分別對式(A16)積分得

其中A1和A2為任意常數(shù).

由式(A17)可知g1(y)和g2(x)為剛體位移[23],不影響應(yīng)力與應(yīng)變,故將其略去.式(A11)可改寫為

以上是考慮凍脹位移的平面應(yīng)力問題位移表示式,對于平面應(yīng)變問題,把υ 改為υ/(1-υ),所以平面問題位移表示式可以統(tǒng)一表示為

最后,將直角坐標(biāo)系下的位移解通過保角變換為正交曲線坐標(biāo)系下的位移解,得到方程(15),即