水工圓形隧洞圍巖襯砌摩擦滑動接觸的新解法1)

尹崇林 呂愛鐘

(華北電力大學(xué)水電與巖土工程研究所，北京 102206)

引言

隧洞是廣泛應(yīng)用于水電、交通、礦山及軍事工程領(lǐng)域的常用地下結(jié)構(gòu).近來，隨著我國經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展及高新技術(shù)的不斷應(yīng)用，我國的隧洞工程得到了前所未有的迅速發(fā)展，支護(hù)-圍巖相互作用，以及如何保證隧洞圍巖的穩(wěn)定性是我們要研究的基本問題[1-2].

利用解析法求解隧洞工程問題是一種基本的分析方法.而由Muskhelishvili[3]提出的平面彈性復(fù)變函數(shù)方法是求解隧洞圍巖和襯砌中應(yīng)力以及位移的常用解析法，通過這種方法容易獲得無支護(hù)隧洞的應(yīng)力和位移解[4-5].而在實(shí)際工程中，常在隧洞內(nèi)設(shè)置襯砌支護(hù)以保證隧洞的安全，因此研究支護(hù)-圍巖的相互作用更是十分重要，何川等[6]以及吳順川等[7]分別利用D-P準(zhǔn)則和莫爾庫倫屈服準(zhǔn)則，獲得了圍巖和襯砌相互作用的彈塑性解析解.

Hasanpour 等[8]、Ramoni 等[9]以及Son[10]都對支護(hù)和巖土材料之間的相互作用問題進(jìn)行了研究.在求解有支護(hù)的深埋隧洞問題的解時，可以將其簡化為平面應(yīng)變無限域問題，于學(xué)馥等[11]、Wang 等[12]以及Lu 等[13-14]已經(jīng)獲得了各向同性彈性巖體中圓形隧洞襯砌和圍巖相互作用的解析解.Lu等[15-16]考慮了更復(fù)雜的孔形，以直墻半圓拱形隧洞為例獲得了非圓形隧洞的解析解.Bobet[17]和王少杰等[18]考慮了更復(fù)雜的巖體材料，分別視巖體為橫觀各向同性和正交各向異性的彈性體，獲得了非圓形隧洞的應(yīng)力和位移的解析解.

隧洞在施加襯砌支護(hù)之后，圍巖和襯砌接觸并相互作用，在以往的解析研究中，大都考慮了完全接觸和光滑接觸兩種理想的接觸方式.文獻(xiàn)[12-13,15,17-18]都假定圍巖與襯砌之間的接觸為完全接觸，即認(rèn)為接觸界面上法向的徑向應(yīng)力和徑向位移及環(huán)向的剪切應(yīng)力和切向位移都是連續(xù)的.這種接觸假定圍巖與襯砌之間非常粗糙，接觸面可以承受很大的摩擦力，不允許圍巖與襯砌之間產(chǎn)生相對滑動；而文獻(xiàn)[11,14,16]在求解過程中將圍巖與襯砌之間的接觸視為光滑接觸，即認(rèn)為接觸界面上法向的徑向應(yīng)力和徑向位移仍然是連續(xù)的，即圍巖和襯砌在法線方向不能相互脫開，但假定接觸面充分光滑，在接觸面的切線方向不能承受摩擦力，即認(rèn)為環(huán)向方向的剪切應(yīng)力為零，這種接觸允許圍巖與襯砌之間產(chǎn)生相對滑動.Atkinson 和Eftaxiopoulos[19]在求解套管井和膠結(jié)井水力壓裂問題的解析解時，在水泥和巖石的接觸面上考慮了這種光滑接觸條件.高永濤等[20]考慮雙層厚壁圓筒之間的光滑接觸并獲得了非均布荷載作用下內(nèi)外壁的應(yīng)力解析解.儲昭飛等[21]在求解非靜水應(yīng)力場中圓形隧道黏彈性解析解時，其中也考慮了襯砌和圍巖之間的光滑接觸.

完全接觸和光滑接觸是人為假定的兩種理想情形，實(shí)際上兩種材料的接觸很可能并非為這兩種理想情形，例如，在建立連接結(jié)構(gòu)接觸界面的非線性力學(xué)模型時，王東等[22]就將名義的光滑平面視作凹凸不平的粗糙面，考慮了微凸體的黏滑摩擦行為.圍巖和襯砌接觸時，它們之間并非完全光滑，也并非可以承受任意大的摩擦力，當(dāng)圍巖與襯砌之間的剪應(yīng)力大于所能承受的最大靜摩擦力后，將發(fā)生切向滑動.庫侖摩擦模型作為剛體的摩擦模型，因其簡單和實(shí)用而被廣泛應(yīng)用于工程分析中.該模型認(rèn)為切向摩擦力的數(shù)值不能超過法向壓力和摩擦系數(shù)的乘積.Meschke 等[23]建立計算模型以模擬樁土相互作用時隧道的機(jī)械化開挖，其中就利用了庫侖摩擦模型來模擬樁-土的相互作用.Cavalieri 等[24-25]利用增廣拉格朗日法求解涉及摩擦的接觸問題時，也利用庫侖摩擦定律建立了計算模型.蘇宗賢等[26]和楊釗等[27]利用庫侖摩擦模型分別模擬了管片和圍巖以及復(fù)合襯砌中內(nèi)外層襯砌之間的接觸.呂愛鐘等[28]在庫侖摩擦模型的基礎(chǔ)上利用復(fù)變函數(shù)方法和最優(yōu)化方法獲得了圓形隧洞圍巖和襯砌摩擦滑動接觸的解析解，并與有限元軟件ANSYS 所得結(jié)果進(jìn)行了對比，驗(yàn)證了其方法合理性.

本文同樣將通過庫侖摩擦模型模擬接觸面上的切向力學(xué)行為，但不同于文獻(xiàn)[28]，本文在優(yōu)化過程中減少了設(shè)計變量的個數(shù)，極大地簡化了優(yōu)化模型.在彈性接觸分析中，庫侖摩擦模型可表述如下

式中，τrθ接觸面上的剪應(yīng)力，σr為接觸面法向壓力，fr為接觸界面綜合摩擦系數(shù).該表達(dá)實(shí)質(zhì)上是靜摩擦力的屈服條件或接觸面的滑移條件，將切向力與徑向壓力聯(lián)系起來.這種接觸條件最符合實(shí)際情況，即為摩擦滑動接觸.本文基于平面應(yīng)變假定，將圍巖和襯砌視為各向同性線彈性體，考慮支護(hù)滯后效應(yīng)，利用復(fù)變函數(shù)方法推導(dǎo)出深埋圓形隧洞在原始地應(yīng)力和襯砌內(nèi)部靜水壓力共同作用下圍巖與襯砌在摩擦滑動接觸情況下的解析解，為隧洞圍巖和襯砌接觸的支護(hù)設(shè)計計算提供理論基礎(chǔ).

1 基本原理及方法

如圖1所示，為在原始地應(yīng)力和靜水壓力共同作用下圓形襯砌支護(hù)隧洞.在開挖之前，圍巖無窮遠(yuǎn)處水平和豎直方向的原始地應(yīng)力分別為：，λ 為側(cè)壓力系數(shù)，定義拉應(yīng)力為負(fù)，壓應(yīng)力為正.隧洞襯砌的內(nèi)外半徑分別為R0和R1，定義徑向和x方向的夾角為θ，以逆時針為正.

圖1 原始地應(yīng)力和靜水壓力共同作用下深埋圓形襯砌隧洞Fig.1 Lined circular tunnel under in situ stresses and uniform hydrostatic pressure

1.1 摩擦滑動接觸的準(zhǔn)則及數(shù)學(xué)模型

當(dāng)圍巖和襯砌間的接觸為摩擦滑動接觸時，由于圍巖和襯砌之間的摩擦作用，接觸面可以傳遞剪力，但允許圍巖與襯砌之間的切向相對滑動，本文將通過最優(yōu)化方法來處理這樣的問題.當(dāng)圍巖與襯砌之間的剪應(yīng)力大于所能承受的最大靜摩擦力后，圍巖和襯砌間接觸面間將產(chǎn)生相對滑動，接觸面兩側(cè)，即圍巖一側(cè)和襯砌一側(cè)的切向位移將產(chǎn)生間斷，即在r=R1的接觸面上，會存在uθ1uθ2的區(qū)域.本文作者提出在保證圍巖與襯砌之間剪應(yīng)力小于或者等于接觸面所能提供的摩擦力前提下，將接觸面間產(chǎn)生最小滑移量的狀態(tài)作為襯砌的真實(shí)工作狀態(tài).這樣的準(zhǔn)則可以用最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型表示為

其中，F(xiàn)(X)=|uθ1?uθ2|，bj(X)0 為庫侖摩擦模型表示的不等式組.

1.2 僅開挖作用時引起的圍巖位移

如圖2所示在隧洞開挖之后，假設(shè)沒有支護(hù)，圍巖會完成相應(yīng)的位移.此時圍巖內(nèi)任一點(diǎn)的徑向位移ur和切向位移uθ可以表示為[13]

圖2 開挖引起的圍巖位移Fig.2 Surrounding rock displacement caused by excavation

式中，R1為無支護(hù)隧洞的半徑，z是一個復(fù)數(shù)且z=R1eiθ，κ1=3-4μ1，G1=E1/[2(1+μ1)]，μ1，E1和G1分別是巖石的泊松比、彈性模量和剪切模量.式(3)即隧洞開挖后無支護(hù)時圍巖的全部位移.

1.3 求解圍巖和襯砌解析函數(shù)的基本方程

對于圓形隧洞，其應(yīng)力分量和位移分量極易求得[3]

其中，?0(z)和ψ0(z)是關(guān)于圍巖或者襯砌的兩個解析函數(shù).若能求出滿足邊界條件的圍巖和襯砌的兩個解析函數(shù)，則應(yīng)力分量和位移分量均可以利用上述結(jié)果得出.

隧洞開挖后進(jìn)行支護(hù)，圍巖和襯砌相互作用.圍巖對應(yīng)的兩個解析函數(shù)為[13]

同時，襯砌對應(yīng)的兩個解析函數(shù)可以用洛朗級數(shù)表示為

式(9)和式(10)中的系數(shù)ck，dk，ek，fk，gk和hk都是待求的實(shí)常數(shù).

通過襯砌內(nèi)邊界L1的應(yīng)力邊界條件和圍巖襯砌接觸面L2的接觸條件可以建立求解解析函數(shù)系數(shù)的基本方程.

用σr2，σθ2，τrθ2分別表示襯砌的徑向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力和剪應(yīng)力.在襯砌內(nèi)邊界L1上，作用有大小為p0的靜水壓力，則其應(yīng)力邊界條件可以表示為(式中z=R0eiθ)

用σr1，σθ1，τrθ1分別表示圍巖的徑向應(yīng)力，環(huán)向應(yīng)力和剪應(yīng)力.在圍巖襯砌接觸面L2上，圍巖和襯砌的徑向應(yīng)力和剪應(yīng)力連續(xù)，其應(yīng)力連續(xù)條件可以表示為

本文考慮支護(hù)滯后的隧洞開挖過程，η 為位移釋放系數(shù)，如果η=0，即隧洞在開挖后立即進(jìn)行支護(hù)，圍巖在支護(hù)之前沒有發(fā)生位移.明顯這不符合工程實(shí)際，即使在開挖后立即安裝支護(hù)，也不可避免地在圍巖中發(fā)生了一部分變形.假設(shè)隧洞位移在完成了最大位移ur+iuθ的η(0η1)倍后，再進(jìn)行支護(hù)，此時圍巖完成的位移為η(ur+iuθ).設(shè)置襯砌以后，圍巖和襯砌相互作用，支護(hù)限制了部分圍巖位移的產(chǎn)生，此時圍巖的位移表示為ur1+iuθ1.而在圍巖作用下，襯砌的位移可以表示為ur2+iuθ2.

在圍巖襯砌接觸面L2上，根據(jù)法向位移連續(xù)條件可得，其中z=R1eiθ

式中κ2=3-4μ2，G2=E2/[2(1+μ2)].μ2，E2和G2分別是襯砌的泊松比、彈性模量和剪切模量.

將相應(yīng)的z值代入式(9)～式(12)，式(15)～式(17)，利用冪級數(shù)解法，比較θ的同冪次項(xiàng)系數(shù)，可得到關(guān)于系數(shù)ck，dk+2，ek，fk+2，gk+2和hk的方程，其中k1.聯(lián)立所有方程，整理后發(fā)現(xiàn)當(dāng)k2時，ck，dk+2，ek，fk+2，gk+2和hk都為0，只有c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3和h1為非零實(shí)數(shù)，可得方程(18)～式(25)

這樣利用邊界條件就得到了式(18)～式(25)共8 個線性方程.8 個方程，9 個未知量c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3，h1，只通過這8 個方程，是不可能求解9 個未知量的，如何求解這樣的問題是本文的關(guān)鍵所在.

本文將用圍巖一側(cè)和襯砌一側(cè)的切向位移間斷值uθ1?uθ2的大小來衡量接觸面間的滑移量，在式(2)中用目標(biāo)函數(shù)F(X)=|uθ1?uθ2| 表示.由式(8)可得(式中z=R1eiθ)

由式(28)和式(29)可得

由式(30)可以看出，對任意θ，當(dāng)|{}|內(nèi)的值達(dá)到最小值時，所產(chǎn)生的位移間斷值都最小，只是對于不同θ，位移間斷值的最小值不同而已.所以取目標(biāo)函數(shù)F為

使式(31)達(dá)到最小的一組c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3和h1，可以保證接觸面間產(chǎn)生最小的滑移量.在接觸面，必須滿足庫侖摩擦模型，式中τrθ和σr分別為接觸面上的剪應(yīng)力和徑向正應(yīng)力，由于在接觸面上應(yīng)力的連續(xù)性，因此τrθ，σr既可取τrθ1，σr1，也可取τrθ2，σr2.本文取前者，則有

對任意的θ，式(32)都應(yīng)該成立.由于問題的對稱性，只考慮θ∈[0,π]的情形即可.將[0,π]分為m等分(本文取180)，則式(32)可化歸為m+1 個約束條件

2 摩擦滑動接觸的解法

2.1 最優(yōu)化問題的求解

文獻(xiàn)[28]使用混合罰函數(shù)方法來進(jìn)行優(yōu)化計算[29-30]，其數(shù)學(xué)模型為

按照文獻(xiàn)[28]的求解過程，其將式(18)～式(25)組成的8 個方程作為優(yōu)化模型中的等式約束函數(shù)aj(X)，而將式(33)組成的不等式組作為不等式約束條件，然后將等式約束函數(shù)aj(X)和不等式約束函數(shù)bj(X)分別構(gòu)成懲罰項(xiàng)加到目標(biāo)函數(shù)F(X)構(gòu)成一個新的無約束的稱為罰函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)p(x,r)，其中r稱為罰因子.這樣，就把原目標(biāo)函數(shù)F(X)的約束極小值問題轉(zhuǎn)為求罰函數(shù)p(x,r)的無約束極小值問題.其罰函數(shù)的具體形式為

式中下標(biāo)集合I1，I2定義為

其中X(0)是給出的原問題的計算初始點(diǎn).在該模型中，X=[c1,d1,d3,e1,f1,f3,g1,g3,h1]，即所有的變量都需要參與到優(yōu)化的過程中，計算初始點(diǎn)X(0)=我們知道，設(shè)計變量的增加會優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型更加復(fù)雜，從而增加優(yōu)化的難度，有時甚至得不到滿足約束的最優(yōu)解.如果可以減少設(shè)計變量的個數(shù)，這將大大地簡化優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，從而使求解變得容易.

本文同樣使用混合罰函數(shù)法來進(jìn)行優(yōu)化計算，不同的是本文將設(shè)計變量的個數(shù)從9 個變?yōu)? 個，極大地簡化了優(yōu)化模型.具體來說，本文可以將c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3和h1其中的任意一個作為設(shè)計變量，以h1為例，賦予h1初值，根據(jù)式(18)～式(25)組成方程組即可以求解出c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3這8 個變量，再將c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3和h1代入如下的優(yōu)化模型中，即可獲得優(yōu)化結(jié)果

式中，bj(X)0 表示的是不等式約束條件，它由式(33)構(gòu)成，而F(X)即為式(31).在該優(yōu)化模型中，其罰函數(shù)的具體形式簡化為

可以看出，較之文獻(xiàn)[28]中的罰函數(shù)的具體形式，本文的罰函數(shù)形式?jīng)]有二次損失項(xiàng)中的并且計算初始點(diǎn)X(0)僅有，這極大地簡化了優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型.模型中只有h1為設(shè)計變量，改變h1的值，使式(36)達(dá)到最小值的即為該優(yōu)化問題的解，此時其他8個變量可以由解方程組得出且分別表示為為了比較兩種模型的精確程度，我們以摩擦滑動接觸為例，利用新舊兩種模型分別計算出不同摩擦系數(shù)fr對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)的值，其對比如表1所示.

表1 改變摩擦系數(shù)時兩種優(yōu)化模型所得目標(biāo)函數(shù)值比較Table 1 Objective function values obtained by two optimization models when changing friction coefficient fr

從表1 可以看出，比較不同摩擦系數(shù)fr計算出的目標(biāo)函數(shù)值，本文提出的新優(yōu)化模型所得結(jié)果更小，這是因?yàn)楸疚耐ㄟ^解方程的方法可以使式(34)中的aj(X)=0 精確滿足，較之文獻(xiàn)[28]中的優(yōu)化模型，該方法更加精確.

同時可以通過訪問目標(biāo)函數(shù)的次數(shù)來對比兩種方法的迭代速度(見表2)，可以看出新優(yōu)化模型較之舊模型有很大地提升.

表2 兩種優(yōu)化模型訪問目標(biāo)函數(shù)的次數(shù)Table 2 Times to access F(X)for two optimization models

利用新優(yōu)化模型求解出的這樣一組X=[c1,d1,d3,e1,f1,f3,g1,g3,h1]即為本文問題的解，從而完成了圍巖支護(hù)后，圍巖和襯砌中復(fù)勢函數(shù)的求解.從以上的分析和求解過程可以看出，這種摩擦滑動接觸的解法具有一般性，它包含了完全接觸和光滑接觸兩種極限情形.

當(dāng)fr=0 時，由式(32)表示的不等式約束條件將變?yōu)?/p>

若令τrθ1=0，則可以獲得與式(38)完全相同的方程，即式(38)表示的就是光滑接觸的情形.

當(dāng)fr的值大于某個值時，式(32)表示的不等式約束條件總會滿足，式(36)達(dá)到最小值(其值為零)時的解為

則式(39)所表示的實(shí)際就是uθ1=uθ2，這由式(26)、式(27)可以清晰地看出.由后面的算例可知，滿足完全接觸條件所需要的fr值大小與側(cè)壓力系數(shù)λ 密切相關(guān)，λ 越接近于1，所需要的fr值越小，理論上當(dāng)λ=1 時，fr=0 就可以滿足完全接觸條件.

2.2 襯砌和圍巖中的應(yīng)力

給定R0，R1，p，λ，p0，G1，μ1，G2，μ2，η，可以求出待定的c1，d1，d3，e1，f1，f3，g1，g3，h1.

襯砌中的應(yīng)力可表示為[13]

圍巖中的應(yīng)力應(yīng)由開挖前，開挖后，支護(hù)后三部分的應(yīng)力進(jìn)行迭加.迭加后的應(yīng)力仍用σr1，σθ1，τrθ1符號表示，可求得[13]

3 分析和討論

3.1 圍巖和襯砌接觸面上的接觸方式

取計算參數(shù)為：p=10.0 MPa，p0=2.0 MPa，R1=3.0 m，R0=2.7 m，μ1=0.25，μ2=0.20，E2/E1=10.0，η=0.20.對于不同的側(cè)壓力系數(shù)λ以及摩擦系數(shù)fr，獲得的解析函數(shù)的系數(shù)也不同.由于問題的對稱性，只需要分析θ∈[0?,90?]內(nèi)的結(jié)果.

由前面的推導(dǎo)我們知道，本文作者提出的摩擦滑動接觸可以計算光滑接觸和完全接觸兩種極限的接觸工況，并且這與摩擦系數(shù)fr的取值相關(guān).取側(cè)壓力系數(shù)λ=0.5，分析摩擦系數(shù)fr取不同值時接觸面上接觸應(yīng)力σr，τrθ和切向位移間斷值|uθ1?uθ2|的變化規(guī)律，并將其與完全接觸[13]和光滑接觸[14]的結(jié)果進(jìn)行對比.

從圖3 可以看出，接觸面上一旦發(fā)生滑動，除了對稱點(diǎn)0?和90?，其余各點(diǎn)都會發(fā)生相對滑動，且在45?處有最大值.當(dāng)摩擦系數(shù)fr為零時，接觸上發(fā)生最大的相對滑動，當(dāng)fr0.64 時，接觸面上的切向位移間斷值|uθ1?uθ2|基本為零，即uθ1≈uθ2，并且隨著fr的增大，|uθ1?uθ2|逐漸減小.

圖3 接觸面上切向位移間斷值|uθ1?uθ2|的分布Fig.3 Distributions of|uθ1?uθ2|on the interface

如圖4(a)所示，接觸面上徑向應(yīng)力σr在45?處為一定值，而當(dāng)fr=0 即光滑接觸時，σr的絕對值分別在0?和90?處取得極小值和極大值.當(dāng)fr較大時，σr的絕對值在[0?,90?]范圍內(nèi)單調(diào)遞減.圖4(b)表明隨著fr的增大，接觸面上的剪應(yīng)力τrθ的絕對值也隨之增大，且都在45?處取得最大值.當(dāng)fr0.64時，圖4 中的σr，τrθ不再變化，且與完全接觸的結(jié)果一致，結(jié)合圖3，fr0.64 時，uθ1≈uθ2，此時得到的解即為完全接觸的解.

圖4 接觸面上接觸應(yīng)力隨摩擦系數(shù)fr 變化的分布規(guī)律Fig.4 Distributions of the contact stresses on the interface for different fr

我們已經(jīng)確定利用摩擦滑動接觸解法可以求解完全接觸和光滑接觸兩種極限接觸問題，而且通過推導(dǎo)已知當(dāng)fr的值大于某個值時，總能滿足完全接觸的條件，稱這個值為閾值確定閾值對判斷接觸面上的接觸方式很有幫助.文獻(xiàn)[28]通過反復(fù)試算的方式討論了不同彈性模量和側(cè)壓力系數(shù)所確定的閾值，但是這種方法不夠精確，本文嘗試?yán)靡环N精確的方法來確定閾值

表3 改變位移釋放系數(shù)η 時不同側(cè)壓力系數(shù)λ所確定的閾值Table 3 Values of for various η and λ

表3 改變位移釋放系數(shù)η 時不同側(cè)壓力系數(shù)λ所確定的閾值Table 3 Values of for various η and λ

表4 改變襯砌厚度R1?R0時不同側(cè)壓力系數(shù)λ所確定的閾值Table 4 Values of for various R1?R0and λ

表4 改變襯砌厚度R1?R0時不同側(cè)壓力系數(shù)λ所確定的閾值Table 4 Values of for various R1?R0and λ

表5 改變水壓力p0時不同側(cè)壓力系數(shù)λ 所確定的閾值Table 5 Values of for various p0and λ

表5 改變水壓力p0時不同側(cè)壓力系數(shù)λ 所確定的閾值Table 5 Values of for various p0and λ

同時，為了同文獻(xiàn)[28]中所得結(jié)果進(jìn)行比較，取R0=2.5 m，側(cè)壓力系數(shù)分別為0.2，0.5，0.8，1.0，在不同彈模比值下所得閾值如表6 所示.

表6 改變彈模比值E2/E1時不同側(cè)壓力系數(shù)λ所確定的閾值Table 6 Values of for various E2/E1and λ

表6 改變彈模比值E2/E1時不同側(cè)壓力系數(shù)λ所確定的閾值Table 6 Values of for various E2/E1and λ

3.2 襯砌和圍巖各邊界上切向應(yīng)力的變化規(guī)律

在隧洞的支護(hù)設(shè)計中，各邊界上的切向應(yīng)力變化規(guī)律十分重要，所以在這一節(jié)，我們?nèi)〔煌哪Σ料禂?shù)fr，分別分析它們的變化對襯砌內(nèi)外邊界的切向應(yīng)力以及圍巖開挖邊界上切向應(yīng)力(σθ1)的影響.3.1 節(jié)已經(jīng)分析過當(dāng)λ=0.5，滿足完全接觸條件的閾值=0.64，因此，在本節(jié)的討論中，摩擦系數(shù)fr的最大取值為0.64，其余參數(shù)不變化.

由圖5 可以看出，當(dāng)λ=0.5，不管摩擦系數(shù)如何改變，所有的切向應(yīng)力都為壓應(yīng)力.由圖5(a)和圖5(b)可以看出，隨著fr的增大，襯砌內(nèi)邊界的切向應(yīng)力最大壓應(yīng)力增大，最小壓應(yīng)力減小，在[0?,90?]內(nèi)，壓應(yīng)力隨著角度的增大而減小，其變化范圍增大.在襯砌外邊界上，隨著fr的增大，切向應(yīng)力變化范圍減小.只是當(dāng)fr較小且趨于0時，從0?到90?，壓應(yīng)力隨著角度的增大而增大，分別在0?和90?取得最小和最大壓應(yīng)力；當(dāng)fr較大時，結(jié)論恰好相反.由圖5(c)可得，保持λ=0.5 不變，在[0?,90?]內(nèi)，隨著角度的增大，σθ1為壓應(yīng)力單調(diào)減小.隨著fr的增大，σθ1在90?出現(xiàn)的最小壓應(yīng)力增大，在0?出現(xiàn)的最大壓應(yīng)力減小.圖5 表明摩擦滑動接觸條件下所得襯砌內(nèi)外邊界上的切向應(yīng)力以及圍巖開挖邊界上的切向應(yīng)力σθ1都介于光滑接觸和完全接觸的結(jié)果之間.

圖5 各邊界上切向應(yīng)力隨摩擦系數(shù)fr 變化的分布規(guī)律Fig.5 Distributions of the tangential stresses on the 3 boders for different fr

4 結(jié)論

本文提出了更加符合實(shí)際情況的摩擦滑動接觸條件來描述實(shí)際工程中圍巖和襯砌之間的接觸問題.以庫侖摩擦模型模擬圍巖襯砌之間的接觸，當(dāng)接觸面上發(fā)生相對滑動之后，將接觸面上產(chǎn)生最小滑移量的狀態(tài)視為襯砌的真實(shí)工作狀態(tài)，并以此為基礎(chǔ)，利用最優(yōu)化方法建立了摩擦滑動接觸情形下新的解法.在利用混合罰函數(shù)法求解解析函數(shù)的系數(shù)時，減少了設(shè)計變量的個數(shù)，去掉了罰函數(shù)二次損失項(xiàng)中的極大地簡化了最優(yōu)化解法的數(shù)學(xué)模型.

同時提出了能夠精確獲得滿足完全接觸條件的摩擦系數(shù)閾值的公式，并且得到了不同位移釋放系數(shù)，不同襯砌厚度，不同水壓力大小以及不同彈模比值情況下改變側(cè)壓力系數(shù)時所獲得的閾值為判斷圍巖和襯砌接觸方式提供了理論基礎(chǔ).摩擦滑動接觸條件下所得的解都介于完全接觸和光滑接觸之間，并且能同時可以求解光滑接觸和完全接觸兩種極限情況，具有一般性.特別地，在襯砌內(nèi)邊界上，摩擦滑動接觸所得最大切向應(yīng)力介于兩種極限接觸之間，且光滑接觸所得最大切向應(yīng)力最小，這說明在實(shí)際工程中，盡量減小襯砌和圍巖之間的摩擦，可以增加襯砌的承載能力.