高等數(shù)學知識在高中導數(shù)教學中的應(yīng)用

李海濤

(福建省三明市第二中學 365000)

高等數(shù)學這一項課程和絕大部分學科之間都存在著極為緊密的關(guān)聯(lián)，而且還是理科、經(jīng)濟管理以及工科等許多專業(yè)最為基礎(chǔ)的一門學科，同時這也是大學課程開始的一個基本標志.高等數(shù)學在本質(zhì)上是高中數(shù)學知識進一步的發(fā)展以及延伸，在高中數(shù)學教學中應(yīng)用高等數(shù)學知識能夠培養(yǎng)學生獨立思考的能力，而且還可以提高學生自身的數(shù)學思維水平.

一、導數(shù)知識與現(xiàn)階段高中數(shù)學之間存在的實際聯(lián)系

由于高等數(shù)學屬于非數(shù)學系學生在數(shù)學方面的三大基礎(chǔ)公共課，所以絕大部分非數(shù)學系學生在走進大學校園之后，一定會接觸到高等數(shù)學這一項基礎(chǔ)科目，同時這也展現(xiàn)出了高等數(shù)學在普通基礎(chǔ)科目中所處的一個核心地位.當我們真正地與高等數(shù)學知識接觸后，便可以發(fā)現(xiàn)其與高中所學數(shù)學知識間存在著極為密切的聯(lián)系，簡單來說高等數(shù)學這一科目實際上就是初等以及大學數(shù)學兩者之間關(guān)聯(lián)的紐帶.在高中階段有些時候由于受到知識層面的限制，很難對數(shù)學進行更深入的了解，然而在學習到高等數(shù)學知識之后這些難題便會迎刃而解.

1.能夠讓學生對函數(shù)有一個更加深入的了解

處于高中階段的學生在對函數(shù)知識進行學習時，主要是理解函數(shù)定義域、函數(shù)的單調(diào)性以及周期性等等.眾所周知，大多數(shù)的函數(shù)知識都可以通過圖象的方式來進行展現(xiàn)，所以，倘若能夠?qū)⒑瘮?shù)圖象順利畫出，那么學生便能夠?qū)⑺鶎?yīng)的性質(zhì)進行快速的理解與掌握，從而在對導數(shù)進行運算時進行一個熟練的運用.

2.有助學生學習導數(shù)中曲線切線這一知識點

大部分學生很容易對導數(shù)中的切線知識產(chǎn)生錯誤理解，倘若學生能夠?qū)?shù)定義和它的幾何含義進行了解與學習，那么他便可以清楚意識到f(x)這一函數(shù)在x=x0處切線的斜率是k，同時這也是x→x0的斜率極限值，即

通過導數(shù)定義，即k=f′(x)，因此曲線y=f(x)在點(x0，y0)處的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0).

二、高等數(shù)學知識在高中導數(shù)教學中的實際應(yīng)用

在高中的數(shù)學教學中，導數(shù)部分是極為重要的一個知識，但是在現(xiàn)階段高中的導數(shù)教學中大多只是注重對于基本運算的訓練，并未對導數(shù)本質(zhì)含義、實際應(yīng)用以及理論層面的證明進行深入研究與講解.除此之外，高等數(shù)學同樣也將導數(shù)這一部分作為了自身課題探究的一個主要方向，通過導數(shù)能夠使不同章節(jié)之間的內(nèi)容聯(lián)系更加密切，從而給高等數(shù)學在理論層面提供一定的保障以及基礎(chǔ).在高中實際的導數(shù)教學過程中，高等數(shù)學知識有著極為重要且無法替代的作用，與高中傳統(tǒng)的導數(shù)教學模式相對比，高等數(shù)學在導數(shù)教學方面所具有的深度、規(guī)范程度以及廣度都有了一個相對顯著的提升.在現(xiàn)階段高中數(shù)學教學工作中，導數(shù)教學處于了一個較為關(guān)鍵且特殊的位置.將高等數(shù)學知識應(yīng)用在高中導數(shù)教學工作中，能夠讓學生掌握一個更為便捷與有效的解題思路，同時還可以緩解高中學生在導數(shù)學習過程中的壓力，從而使學生自身數(shù)學以及應(yīng)試水平得到顯著提升，最終促進學生數(shù)學思維穩(wěn)定、健康發(fā)展.

1.將高等數(shù)學知識應(yīng)用于函數(shù)的解析式之中

高考歷年都會將函數(shù)解析公式作為最基本的一個考查內(nèi)容.然而，高中數(shù)學中對于函數(shù)解析公式求解的方法過于繁瑣、復雜，許多學生無法掌握.倘若學生在做題過程中出現(xiàn)計算失誤等問題，便極有可能會丟掉這一部分的分數(shù)，但是借助高等數(shù)學中的導數(shù)拐點以及拉格朗日公式便可以最大程度降低高中生計算錯誤，從而使計算難度進一步下降，例如方程式y(tǒng)=ax3+bx2+cx+d圖象和y坐標軸的交點是P，同時該曲線在點P處的切線方程是12x-y-4=0，倘若能夠在x=2時取得極值，便可以嘗試將函數(shù)解析式進行確定，有助于減少學生做題時間，提高學習效率.

2.通過高等數(shù)學中函數(shù)單調(diào)性來對不等式進行證明

在高中階段，不等式的證明同樣也是數(shù)學教學以及學生學習的重難點，學生很難憑借自己抽象思維去理解此類問題的解題思路，但是通過高等數(shù)學中的求極限便可以將這一過程進行簡化，通過函數(shù)的變化趨勢來對函數(shù)增減性進行一個大概判斷，從而在一個合理區(qū)域內(nèi)計算出此函數(shù)的極大與極小值.除此之外，教師也應(yīng)當根據(jù)實際狀況調(diào)整高等數(shù)學知識滲透的內(nèi)容，從而輔助學生進行導數(shù)方面的學習.

3.對函數(shù)的極值或是最值進行求解

通過導數(shù)來對函數(shù)的極值進行解答，最有效的方法是(1)通過求導法則來對相關(guān)函數(shù)進行求導；(2)令所求導數(shù)為0，并解出此時駐點值；(3)對函數(shù)進行區(qū)間討論，得到相關(guān)的單調(diào)性區(qū)間；(4)對極值點進行判斷，最終得到極值；(5)對區(qū)間的端點值進行求解，并將其與極值進行對比，最終得到函數(shù)最值.

例如該題，已知x=1是函數(shù)f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一個極值點，而且其中m<0.求出m與n的關(guān)系表達式.

首先，f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n，且x=1為該函數(shù)的極值點，所以f′(1)=0，即3m-6(m+1)+n=0，因此n=3m+6.

綜上所述，盡管高中數(shù)學和高等數(shù)學之間存在一定差異，但是初等數(shù)學是高等數(shù)學發(fā)展的基礎(chǔ)這一個事實是無法更改的，所以在高中進行導數(shù)教學時，一定要做好高等數(shù)學與導數(shù)之間的銜接，培養(yǎng)高中生用高等數(shù)學思維來對問題進行思考以及拓展的能力.除了上述兩項應(yīng)用之外，高中數(shù)學在向量、幾何以及數(shù)列等問題上都能夠借助高等數(shù)學的思維方式進行教學，因此，高中數(shù)學教師一定要找到高等數(shù)學與高中數(shù)學之間最完美的契合點，激發(fā)學生優(yōu)秀的數(shù)學解題思維，最終提升自身教學質(zhì)量.