一個(gè)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的兩種方法

孫孟

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)，此處命題題目難度大，難度體現(xiàn)在知識(shí)容量大，思維邏輯性強(qiáng)，題目變化多樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)和考試中往往遇到很大困難，但是在變化萬(wàn)千的題目中也是有規(guī)律與方法可遵循的，掌握一些處理題目的方法，可以有效的解決很多導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。

方法一：分析：此題目為恒成立問(wèn)題，我們研究的最小值，而對(duì)于最小值的研究可以利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行。

證明：（我們需要判斷與0的大小關(guān)系，從而得到的單調(diào)性，進(jìn)而解決的最小值，但此題中不可解，但我們可以用的二階導(dǎo)函數(shù)來(lái)研究的與0的大小關(guān)系。）

總結(jié)：此題用上述方法進(jìn)行處理的困難在于函數(shù)存在極值點(diǎn)，但我們無(wú)法通過(guò)方程進(jìn)行求解，無(wú)法求出極值點(diǎn)就很難判斷導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，就無(wú)法研究函數(shù)的單調(diào)性，從而難以解決函數(shù)的最值問(wèn)題，所以我們要通過(guò)對(duì)的性質(zhì)的研究（借助）及函數(shù)零點(diǎn)存在定理，得到存在極值點(diǎn)，得到的單調(diào)性，從而解決其最值問(wèn)題。這種一階導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系不能直接得到，需要二次求導(dǎo)及利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理得到極值點(diǎn)存在，并利用極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的解對(duì)原函數(shù)的最值進(jìn)行化簡(jiǎn)整理已達(dá)到題目的要求的方法，我們稱之為“零點(diǎn)反代”。這種處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的思路在現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的研究中經(jīng)常會(huì)遇到。

總結(jié)：此題的處理方法就是利用的方法一，完全按照方法一進(jìn)行的求解，處理這一類問(wèn)題一定注意要有目標(biāo)，要清楚自己要完成什么目標(biāo)，條件提供給我們什么信息，這是我們完成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方法，也是我們分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法----分析法。

總結(jié)：此題主要應(yīng)用了二次求導(dǎo)與零點(diǎn)存在定理對(duì)問(wèn)題進(jìn)行處理。此題在高考中學(xué)生做得相對(duì)來(lái)講比較差，一個(gè)重要的原因是將三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)組合在一起進(jìn)行了考查，學(xué)生感覺(jué)比較陌生，另一個(gè)重要原因?qū)W生缺乏解決問(wèn)題的思路，不會(huì)思考問(wèn)題，沒(méi)有目標(biāo)意識(shí)，沒(méi)有解決問(wèn)題的思路，從此題來(lái)看不管題目是以什么樣的背景呈現(xiàn)，一類題目解決問(wèn)題的思路方法是一致的，我們既要教會(huì)學(xué)生如何思考問(wèn)題，也要交給他們具體問(wèn)題解決方法。

總結(jié)：此題難度相對(duì)前幾個(gè)題目較大，但是整體的思路做法都符合處理此問(wèn)題的一般方法，此題的難點(diǎn)還在于更精確的確定一下的范圍，若有必要我們要用二分法精確一下的范圍，在最后求的取值范圍時(shí)，要有目標(biāo)意識(shí)，也可注意的取值范圍問(wèn)題。

這些不等式的證明方法都是一樣的，這里就不再一一證明。這些不等式揭示了不同函數(shù)之間的大小關(guān)系，所以我們可以利用這些大小關(guān)系來(lái)比較不同類型函數(shù)的大小。

2020年山東高考導(dǎo)數(shù)大題的21題第二問(wèn)對(duì)很多考生來(lái)講比較困難，現(xiàn)在很多人也研究了此題目提出了各種各樣的解法，有很多方法設(shè)計(jì)思路十分巧妙，這里就不再一一陳述。下面提出兩種方法僅供參考，這兩種方法是根據(jù)上面的方法一與方法二進(jìn)行的求解。

綜上：

總結(jié)：此題用法1就是利用了“零點(diǎn)反代”的思路進(jìn)行了處理，除了此處為難點(diǎn)，另一處難點(diǎn)在于直接求很難處理，把表示為的函數(shù)，利用題目中的關(guān)系利用解函數(shù)不等式的方法先解出的取值范圍，再利用函數(shù)求值域的方法解出的取值范圍。過(guò)程較為繁瑣，思維含量高，不過(guò)流程性很強(qiáng)，并不難掌握。法2就是利用了指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)之間的不等關(guān)系，尋求了一個(gè)中間量，讓中間量先滿足條件，保證原式滿足條件，但是注意此處并不等價(jià)，還需要一個(gè)檢驗(yàn)的過(guò)程。

總體而言，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用作為高考必考內(nèi)容，思維含量大，而數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是思維，因此導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及高考的重點(diǎn)知識(shí)，而一個(gè)數(shù)學(xué)老師應(yīng)該提高學(xué)生的思維能力，老師在講解導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)該“講道理”，應(yīng)當(dāng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維，給學(xué)生一種思路，一種通法，能夠解決一系列問(wèn)題。以上兩種解決導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的方法在高考中的應(yīng)用比較多，規(guī)律性也比較強(qiáng)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)可以掌握的方法。

（作者單位：山東省博興縣第三中學(xué)）