線性代數(shù)在幾何研究中的應(yīng)用探究

劉明昊 朱莉媛 王曉曼 李之健

摘? 要：本文對(duì)目前高校幾何課程的教學(xué)和研究與線性代數(shù)理論之間的聯(lián)系進(jìn)行了分析。在多年對(duì)代數(shù)與幾何學(xué)習(xí)研究的基礎(chǔ)上，探究了線性代數(shù)的理論如何給幾何問(wèn)題的研究帶來(lái)便利，對(duì)如何改變線性代數(shù)與幾何學(xué)課堂教學(xué)的現(xiàn)狀和提高教學(xué)效果有一定的啟發(fā)，對(duì)提高學(xué)生對(duì)代數(shù)與幾何的理解與關(guān)聯(lián)以及培養(yǎng)高校學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和發(fā)散性思維有著非常重要的意義。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)? 矩陣? 解析幾何? 高等幾何? 微分流形

中圖分類號(hào)：0151? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2020）09（c）-0215-03

Abstract： The authors analyze the relationship between the current teaching and research of geometry courses in colleges and the theory of linear algebra. Based on years of research and learning of algebra and geometry， we have explored how the theory of linear algebra can bring convenience to the study of geometric problems. It has some inspirations on how to change the current status of classroom teaching on linear algebra and geometry and improve teaching effect. It is of great significance for undergraduates to cultivate the innovative consciousness and divergent thinking.

Key Words： Linear algebra; Matrix; Analytic Geometry; Higher geometry; Differential manifold

目前，線性代數(shù)是各大高校理工科、經(jīng)濟(jì)學(xué)等專業(yè)的大學(xué)生需要學(xué)習(xí)的重要公共基礎(chǔ)課程之一。它的基本知識(shí)和理論在解決我們生活中的問(wèn)題，特別是線性問(wèn)題時(shí)，有很多重要的應(yīng)用。作為大學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程之一，線性代數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)模式是從抽象的定義出發(fā)，給出定理和推論的證明，然后使用定理的結(jié)論去做形式計(jì)算與推導(dǎo)。由于它的概念和定理具有高度抽象性，使得很多同學(xué)只停留在邏輯推理和形式計(jì)算能力層面的提升中，對(duì)概念和知識(shí)點(diǎn)的整體性把握不強(qiáng)，在學(xué)習(xí)中猶如盲人摸象，容易產(chǎn)生困惑迷茫，從而逐漸喪失學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力;無(wú)法去深入了解線性代數(shù)中概念和定理的淵源，也更不能體驗(yàn)和感受它抽象的美。

為了改變這種教學(xué)弊端，很多高校教師在線性代數(shù)教學(xué)中嘗試采用幾何直觀化教學(xué)方法。因此，線性代數(shù)的基本概念及定理與幾何直觀之間的聯(lián)系也逐漸成為諸多高校教師教學(xué)研究的焦點(diǎn)。這種方法在一定程度上確實(shí)有意義，直觀模型便于學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，從而既提高了教學(xué)效果，也使學(xué)生更好地把握住知識(shí)點(diǎn)。但是，對(duì)一門課程的學(xué)習(xí)不能僅僅滿足于學(xué)懂，學(xué)習(xí)知識(shí)的最高層次應(yīng)該是使用知識(shí)。因此，在課堂教學(xué)中注重線性代數(shù)的應(yīng)用是非常必要的。這和高校培養(yǎng)人才的目標(biāo)也是一致的，高校培養(yǎng)大學(xué)生的目的是為社會(huì)提供服務(wù)。盡管目前社會(huì)對(duì)人才的需求具有多樣性，但無(wú)論是通才教育還是專業(yè)型人才培養(yǎng)，人才最終都要面向社會(huì)，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)為社會(huì)服務(wù)。要把知識(shí)變成源泉和力量，就要不斷地去實(shí)踐，去應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)，在應(yīng)用中嘗試、突破和創(chuàng)新。

通過(guò)幾何專業(yè)課程的學(xué)習(xí)研究，我們注意到線性代數(shù)的理論已經(jīng)滲入幾何學(xué)中的每個(gè)角落。事實(shí)上，代數(shù)和幾何兩個(gè)學(xué)科間的淵源很深，就如拉格朗日所說(shuō)：“只要代數(shù)和幾何沿著各自的途徑去發(fā)展，它們的進(jìn)展將是緩慢的，它們的應(yīng)用也是很有限的。但是，當(dāng)這兩門學(xué)科結(jié)成伴侶，它們都將從對(duì)方身上獲得新鮮的活力，因此，以快速的步伐猛進(jìn)，趨于完美?！彪S著知識(shí)應(yīng)用意識(shí)的增強(qiáng)，學(xué)科與學(xué)科之間進(jìn)行聯(lián)系教學(xué)勢(shì)必成為當(dāng)前教學(xué)研究的熱點(diǎn)。下面我們就對(duì)幾何學(xué)中如何運(yùn)用線性代數(shù)的理論，作幾點(diǎn)簡(jiǎn)單的探索與思考。

1? 線性代數(shù)在幾何中的應(yīng)用

1.1 線性代數(shù)是幾何教材中常用的語(yǔ)言工具

我們?cè)趯W(xué)習(xí)線性代數(shù)抽象概念時(shí)喜歡引入幾何直觀化解釋，這樣可以有助于深刻理解線性代數(shù)中的抽象概念。反過(guò)來(lái)，掌握了線性代數(shù)的知識(shí)，對(duì)我們后面大學(xué)高年級(jí)和研究生幾何課程的學(xué)習(xí)也是很有幫助。事實(shí)上，二者相輔相成，幾何學(xué)也離不開(kāi)代數(shù)學(xué)。線性代數(shù)也是幾何教材里常用的語(yǔ)言工具，幾何學(xué)里的很多概念的描述離不開(kāi)線性代數(shù)。通過(guò)線性代數(shù)的基本概念和理論可以很好地去理解掌握幾何中很抽象生澀的概念。

例如，微分流形上的一點(diǎn)的切空間和余切空間都是向量空間，流形之間光滑映射的微分就是從一個(gè)向量空間到另一個(gè)向量空間的線性映射;還有，像黎曼流形（M，g）上的黎曼度量張量g，其實(shí)是以光滑依賴于流形每點(diǎn)的方式讓每點(diǎn)的切空間成為歐式向量空間，就可以把它理解成光滑依賴于流形每點(diǎn)的切空間上的一個(gè)內(nèi)積，選定好局部坐標(biāo)系后就看成光滑且正定的一個(gè)矩陣值函數(shù)。如果將光滑依賴改為解析依賴，對(duì)應(yīng)的正定矩陣還滿足Hermit矩陣條件時(shí)，對(duì)應(yīng)的流形我們就稱為Hermit流形。再如，解析幾何中的仿射變換、不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換關(guān)系式和正交變換都是一些可逆的線性變換;射影平面上的射影變換在齊次坐標(biāo)下也是一個(gè)非退化的線性變換;射影平面上二階曲線的代數(shù)定義就是線性代數(shù)中我們常見(jiàn)的一個(gè)三元的二次型。在解析幾何、高等幾何、微分流形和黎曼幾何等幾何課程里還有許多像這些離不開(kāi)線性代數(shù)語(yǔ)言的概念。可見(jiàn)，熟練掌握線性代數(shù)的概念和理論對(duì)幾何課程中的幾何概念的深刻理解很有益處。

1.2 線性代數(shù)可以用來(lái)簡(jiǎn)化幾何問(wèn)題

眾所周知，線性代數(shù)里的很多概念都有它的幾何背景，比如二階行列式可以理解成平行四邊形的有向面積，三階行列式可以看成三維歐式空間中平行六面體的有向體積等。因此，幾何問(wèn)題自然就成為線性代數(shù)理論得以充分發(fā)揮的用武之地。適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用線性代數(shù)的理論可以使得幾何問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)。

例如，線性代數(shù)中的矩陣?yán)碚摮３：蛶缀沃芯植炕椒芙Y(jié)合起來(lái)處理幾何問(wèn)題。由于微分流形的局部微分同胚于歐式空間的局部，局部化方法是微分幾何和微分流形學(xué)習(xí)中我們常常用到技巧。應(yīng)用正定矩陣和單位矩陣的合同關(guān)系，就可以在微分流形上每點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)選取恰當(dāng)?shù)木植孔鴺?biāo)系，使得黎曼度量在該點(diǎn)處為單位矩陣，這樣的局部坐標(biāo)系就是所謂的自然標(biāo)架，利用自然標(biāo)架使得黎曼流形上很多與局部坐標(biāo)系選取無(wú)關(guān)的幾何量計(jì)算變得簡(jiǎn)單。還有，在射影幾何中，我們常常關(guān)心的點(diǎn)共線和線共點(diǎn)問(wèn)題，可以通過(guò)向量的線性相關(guān)性去解釋。在射影平面上三點(diǎn)的齊次坐標(biāo)構(gòu)成的向量組線性相關(guān)時(shí)，這三點(diǎn)就是共線關(guān)系;同理，當(dāng)三條直線的齊次線坐標(biāo)構(gòu)成的向量組線性相關(guān)時(shí)，這三條直線一定相交于同一個(gè)點(diǎn)。利用射影變換在射影坐標(biāo)系下的系數(shù)矩陣的特征值和特征向量，我們可以很容易求出射影變換的不變?cè)亍Ｉ溆捌矫嫔系亩A曲線的定義和二次型對(duì)應(yīng)起來(lái)，利用二次型的標(biāo)準(zhǔn)型理論，從而得到它的退化就等價(jià)于它所對(duì)應(yīng)的系數(shù)行列式為零。再比如，利用二次型的標(biāo)準(zhǔn)型理論，可以把解析幾何中二次曲線和二次曲面的方程進(jìn)行分類化簡(jiǎn);通過(guò)坐標(biāo)系的變換，我們常常會(huì)將二次曲線和二次曲面變成標(biāo)準(zhǔn)方程去處理，從而使得相關(guān)的復(fù)雜問(wèn)題計(jì)算起來(lái)簡(jiǎn)化。特別是，在解析幾何中二次曲線方程中的不變量常常寫成矩陣的跡和行列式，就會(huì)讓我們便于記憶。

正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！痹S多幾何中的問(wèn)題在線性代數(shù)的理論照射下便清晰透徹了，變得不再那么晦澀，不再那么難于下手。

1.3 線性代數(shù)也是幾何研究中常見(jiàn)的技巧

線性代數(shù)的理論和方法不僅僅只是用來(lái)化簡(jiǎn)幾何中的問(wèn)題，它在幾何專業(yè)的學(xué)術(shù)論文中也常?？吹剿纳碛啊Ｏ旅嫖覀儊?lái)看兩個(gè)巧妙地使用矩陣不等式解決幾何問(wèn)題例子。

第二個(gè)例子是曹懷東在1992年證明凱勒里奇流的Harnack不等式的論文[12]里的引理4.1：設(shè)A、B和C是n階實(shí)矩陣，滿足矩陣是對(duì)稱且半正定的，則。（注：引理4.1事實(shí)上是在莫毅明的論文中證明過(guò)。本文使用的表述和證明是哈密爾頓在多年前給出的）。利用該不等式可以證明文中一個(gè)很重要的不等式：，從而拋物方程的最大值原理得以使用，最終完成主要定理的證明。事實(shí)上，論文中在引理4.1下面也聲明了同樣的矩陣不等式已經(jīng)多次在幾何專業(yè)論文中使用過(guò)。

可見(jiàn)，線性代數(shù)的方法和理論對(duì)幾何學(xué)家在做學(xué)術(shù)研究時(shí)也是一個(gè)很得心應(yīng)手的工具。正如法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾所說(shuō)：“代數(shù)學(xué)是慷慨大方的，它給予人的往往比人們對(duì)它所要求的還要多?！?/p>

2? 結(jié)語(yǔ)

關(guān)注交叉學(xué)科之間如何聯(lián)系與影響的教學(xué)方式越來(lái)越成為當(dāng)今大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重點(diǎn)。線性代數(shù)課堂教學(xué)中運(yùn)用幾何直觀化教學(xué)方法是目前高校教學(xué)中常見(jiàn)的技巧。但是，如果我們多從幾何學(xué)的教學(xué)與研究中去追溯線性代數(shù)理論的應(yīng)用，研究線性代數(shù)在幾何學(xué)中的應(yīng)用技巧，更能具體地反映代數(shù)學(xué)與幾何學(xué)的歷史淵源。一方面，我們可以借助幾何直觀的概念和方法來(lái)解決線性代數(shù)的相關(guān)問(wèn)題;另一方面，也可以用線性代數(shù)的理論去解決幾何研究中的一些問(wèn)題。將教學(xué)的重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用上，可以彌補(bǔ)高校數(shù)學(xué)傳統(tǒng)教學(xué)模式的不足，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新能力。希望本文能對(duì)今后線性代數(shù)與幾何學(xué)課程的教學(xué)模式改革及研究能起到一個(gè)拋磚引玉的作用。

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