高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命制策略

紀(jì)定春 周思波 蔣紅珠

摘要：培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命和基本任務(wù)，高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命制是考查學(xué)生創(chuàng)新潛力和創(chuàng)新意識的重要方式，本文從高等數(shù)學(xué)初等化、競賽數(shù)學(xué)試題改編、“即時定義”、挖掘數(shù)學(xué)文化、情境跨學(xué)科、邏輯趣味化、深挖教材素材等方面，對高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的命制策略進行了分析與點評，

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué);創(chuàng)新試題;命制策略

1創(chuàng)新型試題命制的教育價值

創(chuàng)新是一個國家和民族持續(xù)發(fā)展的推進器，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命和基本任務(wù)，高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題是指根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念和要求，依托一定數(shù)學(xué)命題原理和技術(shù)，旨在培養(yǎng)、診斷、測評學(xué)生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力的數(shù)學(xué)題，高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命制，是考量和測評考生創(chuàng)新潛力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的重要方式，因此，研究高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命制策略，對提高數(shù)學(xué)教師創(chuàng)新型試題的命題意識和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是有益的，潘超研究了高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題設(shè)計的“十化”策略，對探索高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題的命題規(guī)律具有啟發(fā)性和指導(dǎo)意義，新課程改革下的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題有了新的發(fā)展和變化，對高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題賦予了新的時代特色和內(nèi)涵，本文將擬從高等數(shù)學(xué)初等化、競賽數(shù)學(xué)試題改編、“即時定義”、挖掘數(shù)學(xué)文化、情境跨學(xué)科、邏輯趣味化、深挖教材素材等方面，對高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命制策略進行分析與點評。

2高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的命制策略

2.1高等數(shù)學(xué)初等化策略

高等數(shù)學(xué)初等化策略，就是高考數(shù)學(xué)命題專家利用高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識點作為命題的依托來命制高考試題，可通過考生利用已有的初等數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)和認知水平來解答高考數(shù)學(xué)試題的一種命題策咯“初等化”即命題者將高等數(shù)學(xué)的知識經(jīng)過精心打磨、設(shè)計和包裝，讓試題以初等數(shù)學(xué)的形式與面貌、初等數(shù)學(xué)的解決方法呈現(xiàn)在考生的面前，這種試題具有問題清晰、結(jié)構(gòu)簡潔、背景淡化等特征，給考生“眼前一亮”“耳目一新”的感覺，考生很難辨別其“真實”的高等數(shù)學(xué)身份（背景），因此，以高等數(shù)學(xué)初等化策略來命制高考數(shù)學(xué)試題，歷來受到高考數(shù)學(xué)命題者的青睞，通過高等數(shù)學(xué)初等化策略命制的高考數(shù)學(xué)試題還具備考查考生進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)潛質(zhì)的功能。

評注該試題具有高等數(shù)學(xué)的知識背景，是一道典型的以高等數(shù)學(xué)知識來命制的函數(shù)壓軸題，試題蘊含了“洛必達法則”（中值定理的極限形式）、等價無窮小、麥克勞林展開式等高等數(shù)學(xué)的知識點，此題依然可以通過初等數(shù)學(xué)的方法進行解答，但解答過程相對繁瑣，可見高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題常以高等數(shù)學(xué)初等化的策略來命制。

2.2競賽數(shù)學(xué)試題改編策略

競賽數(shù)學(xué)作為一種競賽的形式存在，對選拔熱愛數(shù)學(xué)學(xué)科和具備數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的考生具有重要的價值和意義，競賽數(shù)學(xué)屬于中等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，試題難度往往要比高考數(shù)學(xué)試題的難度高，高考數(shù)學(xué)試題命制者將競賽數(shù)學(xué)試題通過“技術(shù)化”處理，降低試題原本難度作為高考數(shù)學(xué)試題使用，通過競賽數(shù)學(xué)改編的試題通常出現(xiàn)在壓軸題（壓軸題分為：選擇題、填空題和大題壓軸題）中，通過這種方式命制的高考數(shù)學(xué)試題，具備一定的挑戰(zhàn)性和綜合性，能夠有效地考查考生基礎(chǔ)知識功底，以競賽數(shù)學(xué)試題改編策略命制的高考數(shù)學(xué)試題，不僅形式新穎，而且還具備考查考生數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的功能和作用。

評注該試題是由競賽試題改編而成，競賽試題為：已知a，b為正實數(shù)，且b>a，試比較a^b與b^a的大小關(guān)系，此問題直接利用特殊值代人計算是比較繁瑣的，且不容易判斷，如何比較大小呢？可以先假設(shè)b^a>a^b，取對數(shù)可得alnb>blna，然后分情況進行討論，經(jīng)過改編后的競賽數(shù)學(xué)試題難度有所降低，不存在分類討論的情況，但是也有變難的情況，用該競賽數(shù)學(xué)試題改編的高考數(shù)學(xué)試題還有2014年湖北理科卷第22題;又如2013年湖北理科卷第22題和2014年安徽理科卷第21題，是利用競賽數(shù)學(xué)中伯努利不等式的知識背景進行改編的;2009年遼寧理科第12題，明顯是由1998年希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽高二試題進行改編，以競賽數(shù)學(xué)試題改編的試題還有很多，此處不再列舉。

2.3“即時定義”策略

“即時定義”策略，就是高考數(shù)學(xué)命題者通過所考查的知識點來重新定義某種新概念、新規(guī)則、新運算、新性質(zhì)等，然后依據(jù)提供的這些“新信息”命制高考數(shù)學(xué)試題的一種策咯這種試題具有呈現(xiàn)形式“超常規(guī)”、展現(xiàn)內(nèi)容“超教材”、解答過程“超思維”等特點，需要考生解讀所定義的新信息內(nèi)涵，然后進行問題的解答，此類問題多以所學(xué)過的知識點為起點，又具有“不超”所學(xué)知識范圍的特點，這種以“即時定義”策略命制的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題，可以有效地考查和培養(yǎng)考生的學(xué)習(xí)遷移能力、知識遷移能力、綜合應(yīng)用能力及數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識等。

評注該試題新定義“P（k）數(shù)列”，本質(zhì)上是考查等差數(shù)列的性質(zhì)，通過“即時定義”策略，使得試題以嶄新的面貌呈現(xiàn)在考生的眼前，這種試題在平時的練習(xí)和考試中難以見到，教師在教學(xué)的過程中也很難有針對性地進行訓(xùn)練，因此，“即時定義”型試題能夠有效地考查考生的知識遷移能力、閱讀理解能力和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)，以“即時定義”策略命制的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題還有很多，如2016年上海理科卷第23題，新定義數(shù)列{an}的“P”性質(zhì);2017年山東理科卷第15題，新定義函數(shù)f（x）的“M”性質(zhì);2018年江蘇卷第19題，新定義函數(shù)的“s”點等。

2.4挖掘數(shù)學(xué)文化策略

文化是物質(zhì)財富和精神財富的總和，數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)自身所具備的特有的物質(zhì)財富和精神財富的總和，數(shù)學(xué)文化作為數(shù)學(xué)中的文化“軟實力”，是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的“根”和“魂”，具有重要的數(shù)學(xué)教育價值和數(shù)學(xué)文化育人價值，高考數(shù)學(xué)試題的命制強調(diào)“立德樹人”，“立德”就是通過高考數(shù)學(xué)來培養(yǎng)考生的數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，如欣賞數(shù)學(xué)美、具備數(shù)學(xué)理性精神、形成數(shù)學(xué)思想、擁有原創(chuàng)精神等;“樹人”就是通過高考數(shù)學(xué)來培養(yǎng)考生會用數(shù)學(xué)的思維方式思考世界（問題），會用數(shù)學(xué)的眼光看世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達（描述）世界，這些品質(zhì)和精神蘊含在豐富的數(shù)學(xué)文化中，因此，數(shù)學(xué)文化試題具有“文化立德”和“文化樹人”的雙重育人功能，因此，以挖掘數(shù)學(xué)文化策略命制的高考數(shù)學(xué)試題，是近年高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題中靚麗的“風(fēng)景”。

解析通過常識和審美的角度進行“猜測”，可直接排除選項c和D，這是因為古代人的身高普遍比現(xiàn)代人的身高略低，顯然不符合當(dāng)時的審美要求，對于選項A，維納斯是歐洲人（希臘人），一般要比中國人高，也不符合當(dāng)時的審美要求，選B。

評注“斷臂維納斯”作為古希臘時期數(shù)學(xué)文化的一個重要標(biāo)志，集數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美于一體，具有“文化育人”和“數(shù)學(xué)美育”的雙重教育價值，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)要重視滲透數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)美學(xué)教育試題設(shè)計蘊含豐富的內(nèi)涵，一是讓考生認識數(shù)學(xué)文化中蘊含“數(shù)學(xué)美”，數(shù)學(xué)與美相關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)中美的實質(zhì)便是黃金分割，黃金分割廣泛存在于現(xiàn)實世界中，如斐波拉契數(shù)列、優(yōu)選法等;二是引導(dǎo)考生用“數(shù)學(xué)的眼光”欣賞數(shù)學(xué)和生活中的“美”，培養(yǎng)學(xué)生用“數(shù)學(xué)美”的眼光去看世界、思考世界和表達世界;三是讓考生知道數(shù)學(xué)（黃金分割）是用來判斷數(shù)學(xué)美的一種標(biāo)準(zhǔn)，以深度挖掘數(shù)學(xué)文化策略命制的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題很多，例如2019年浙江卷第4題，以祖暅“冪勢既同，則積不容異”的祖咂原理為依托，結(jié)合高中數(shù)學(xué)三視圖來考查考生的學(xué)習(xí)遷移能力和空間想象能力等。

2.5情境跨學(xué)科策略

合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體，合適的問題情境可以賦予枯燥的數(shù)學(xué)知識以鮮活的生命力，情境跨學(xué)科化策略，是指高考數(shù)學(xué)命題專家借助其它學(xué)科（非數(shù)學(xué)）的背景和知識來命制高考數(shù)學(xué)試題，以達到數(shù)學(xué)試題情境創(chuàng)新的一種策咯常見的跨學(xué)科情境，如物理情境、生物情境、化學(xué)情境、工程情境等，以跨學(xué)科情境命制的高考數(shù)學(xué)試題，能夠有效地考查考生運用數(shù)學(xué)的知識、數(shù)學(xué)的方法、數(shù)學(xué)的思想來解決現(xiàn)實問題的綜合能力素養(yǎng)，近年，跨學(xué)科情境的試題情境多來源于社會焦點和熱點，這樣設(shè)計出來的高考數(shù)學(xué)試題，具有新穎性、時效性、獨創(chuàng)性和導(dǎo)向性，同時意在引導(dǎo)教師和學(xué)生不僅要關(guān)注眼前的高考，而且還要關(guān)注社會的熱點和國家發(fā)展的動向，含有愛國主義教育的深刻寓意。

評注本試題具有明顯的“物理學(xué)的味道”，以“嫦娥四號探測器”首次月球背面軟著陸為情境，有考生調(diào)侃做數(shù)學(xué)試卷做出了物理試卷的感覺，可見該試題具有很強烈的跨學(xué)科背景（物理學(xué)背景），試題以物理學(xué)的學(xué)科知識為背景，然后用數(shù)學(xué)的知識來解決問題，讓考生認識到數(shù)學(xué)與物理之間存在密切聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是一門具有強大工具特性的學(xué)科，跨學(xué)科情境策略命制的高考創(chuàng)新試題較多，如2019全國I卷理科第2 1題，生物學(xué)情境與概率相結(jié)合等。

2.6邏輯趣味化策略

邏輯學(xué)是研究人思維形式和規(guī)律的一門科學(xué)，邏輯大致分為辯證邏輯和形式邏輯兩大類，現(xiàn)代邏輯學(xué)是在句法和語義的基礎(chǔ)上，利用定義、公理和推理規(guī)則，對現(xiàn)實中的對象進行抽象化和模型化，進而給出相關(guān)定理的證明，邏輯趣味化策略就是高考數(shù)學(xué)命題者利用形式邏輯的知識點，從某些定義、概念、公理和推理規(guī)則等出發(fā)，結(jié)合風(fēng)趣、幽默的故事（事件）或?qū)υ捫问絹砻聘呖紨?shù)學(xué)試題的一種策咯邏輯趣味化試題，突出數(shù)學(xué)的邏輯性、嚴謹性、趣味性等特點，邏輯趣味化數(shù)學(xué)試題主要用于考查考生的邏輯推理能力，該類型的數(shù)學(xué)試題有助于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

例6（2019年全國Ⅱ卷文科第5題）在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預(yù)測，甲：我的成績比乙高，乙：丙的成績比我和甲的都高，丙：我的成績比乙高。

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確，那么三人按成績由高到低的次序為（ ）。

A，甲、乙、丙 B，乙、甲、丙

C，丙、乙、甲 D，甲、丙、乙

解析已知“三人成績互不相同且只有一個人預(yù)測正確”，可以假設(shè)其中某人成績預(yù)測是準(zhǔn)確的，用反證法進行證明，假設(shè)如下：

情況1.假設(shè)甲的預(yù)測是正確的，則甲的成績高于乙，再由乙和丙的預(yù)測是錯誤的，推出乙的成績高于丙的成績，最后由于乙同學(xué)的預(yù)測為錯誤，可以得三名同學(xué)知識檢測成績由高到低的順序為甲、乙、丙，對情況2和情況3同理進行推理，可得情況2和情況3都與假設(shè)相矛盾，選A。

評注該試題背景新穎，以“一帶一路”為背景，將邏輯推理與“一帶一路”知識測評成績巧妙結(jié)合，通過“對話”和“猜測”的趣味形式給出推理信息，令考生眼前一亮，以“一帶一路”為知識背景，可以引導(dǎo)考生關(guān)注社會發(fā)展和國家戰(zhàn)略方針，具有愛國主義教育的深刻寓意，以邏輯趣味化策略命制的高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題還有很多，例如2017全國理科Ⅱ卷第7題，猜測成績;2014年新課標(biāo)理科I卷第14題，猜測去過的城市等。

2.7深挖教材素材策略

數(shù)學(xué)教材（教科書）作為數(shù)學(xué)教學(xué)的范本，具有規(guī)范性、普適性、基礎(chǔ)性和層次性等特點，高考數(shù)學(xué)試題的命制具有“萬變不離其宗”的規(guī)律和特點，“宗”，即本質(zhì)、宗旨，首先，高考數(shù)學(xué)試題的命制要觸及核心知識點的本質(zhì);其次，高考數(shù)學(xué)試題的命制要以高中數(shù)學(xué)教材為出發(fā)點和落腳點，深挖教材素材策略，就是高考數(shù)學(xué)命題者以高中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容為素材和依托來命制高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新型試題的一種策略，該種類型的試題具有教材內(nèi)容淡化、試題難度提高、綜合性增強等特點，

例7（2015年浙江理科卷第6題）設(shè)A，B是有限集，定義d（A，B）=card（AUB）-card（AAB），其中card（A）表示有限集A中的元素個數(shù)，命題①：對任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）>O”的充分必要條件;命題②：對任意有限集A，B，c，d（A，c）≤d（A，B）+d（B，c），下列判斷正確的是（ ）。

A，命題①和命題②都成立

B，命題①和命題②都不成立

c，命題①成立，命題②不成立

D，命題①不成立，命題②成立

解析試題中新定義的符號d（A，B），本質(zhì)上表示的是只在集合A中或只在集合B中的元素個數(shù)，對于命題①，當(dāng)A≠B時，說明集合A和集合B不可能同時為空集，則至少同時有1個元素只在集合A中或只在集合B中，所以有d（A，B）>0.命題①成立;對于命題②，作圖很容易驗證不等式關(guān)系成立，此處不再進行解答，綜上，選A。

評注該試題是以人教A版必修1的集合閱讀材料為“宗”進行“新定義”和改編而成的，經(jīng)過改編后的試題，不僅具有新穎的呈現(xiàn)形式和獨特的表述方式，同時意在綜合考查考生對集合的元素、性質(zhì)、運算的理解和掌握情況，以人教A版必修1集合章節(jié)閱讀材料內(nèi)容命題的，還有2019年全國理科Ⅲ卷第3題，該試題以四大名著閱讀情況為背景，實則考查集合元素個數(shù)計算問題，因此，高考數(shù)學(xué)備考還是要回歸教材，回歸知識的“根”。

3創(chuàng)新試題命制策略對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

3.1高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容既要有針對性，還要有延展性

高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是對初中數(shù)學(xué)的進一步擴充、升華和細化，同時是進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此，針對性就是對高中數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)要有深度，即知識掌握有深度、方法應(yīng)用有廣度、數(shù)學(xué)思想積淀有厚度;延展性就是對高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)要具有延續(xù)性和持久性，要與高等數(shù)學(xué)的知識、方法和思想接軌，而不是高考考什么就只教什么，需要適度額外的補充講解、滲透學(xué)生能夠“延展”的知識、方法和思想，這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛力。

3.2注重創(chuàng)新型試題的命制與練習(xí)

創(chuàng)新試題的命制與訓(xùn)練，不僅僅是為了高考的需要，而是為了學(xué)生的終身發(fā)展的需要，要真正做到以創(chuàng)新試題孕育創(chuàng)新意識，以創(chuàng)新試題培養(yǎng)創(chuàng)新能力，以創(chuàng)新試題鍛造創(chuàng)新思維，以創(chuàng)新試題激發(fā)創(chuàng)造靈感，將創(chuàng)新試題的作用發(fā)揮到極致。

3.3重視教師創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的提升

教師作為學(xué)生的教育者和引導(dǎo)者，具有導(dǎo)向性作用，要培育出具備創(chuàng)新意識和創(chuàng)造性思維素養(yǎng)的學(xué)生，首先需要教育者本身要具備良好教育素養(yǎng)：創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維素養(yǎng)，學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的提升并非一朝一夕就能形成，需要教師在教學(xué)的過程中逐漸地引導(dǎo)學(xué)生進行思維的訓(xùn)練，逐步生成數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維;其次，關(guān)注學(xué)生的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生積極地思考，現(xiàn)在大部分學(xué)校普遍實行“知識講解+解題訓(xùn)練”的教學(xué)模式，這種教學(xué)方式固然會增強學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力，但這也是在“遏制”學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的生成，讓學(xué)生變成只會做題的“機器”，扼殺學(xué)生的靈氣和創(chuàng)造力，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，應(yīng)該是數(shù)學(xué)思維的教學(xué)，應(yīng)該是學(xué)生思維生成的過程，讓學(xué)生的思維在問題解決的過程中自然的“流淌”出來，在體驗解題的樂趣、品味解題的過程、反思解題的策略、感悟解題的思想過程中，逐步形成獨特的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識。