遞歸方法在行列式計算中的應(yīng)用

任丹丹

摘 要：行列式是大學(xué)基礎(chǔ)課程中非常重要的知識點，采用遞歸方法計算行列式，是具有較強技巧性的計算方法，減少了運算量，能夠快速有效地計算出行列式的結(jié)果.遞歸方法是非常具有研究意義的解題方法.本文用經(jīng)典例題闡述常見的遞歸方法在行列式計算中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：遞歸方法;行列式;遞歸公式

中圖分類號：O151? 文獻標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2020）01-0018-02

1 引言

行列式是大學(xué)基礎(chǔ)課程《線性代數(shù)》《高等代數(shù)》中一個基礎(chǔ)的知識點，也是非常重要的知識點，它是研究n元線性方程組的解和性質(zhì)的重要工具.因此研究它的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)對于研究n元線性方程組的結(jié)構(gòu)性質(zhì)起到了舉足輕重的作用.從《線性代數(shù)》教材可知，求解未知量的個數(shù)等于方程個數(shù)的線性方程組的方法有很多，例如消元法、初等變換、克萊姆法則等方法，其中克萊姆法則是解決n元線性方程組的重要方法.利用克萊姆法則研究方程組的解的情況，不可避免的需要研究系數(shù)行列式的非零性，在此基礎(chǔ)上進一步研究解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì).由此可知，求解行列式的值是非常重要的.雖然求解行列式的方法有很多，例如按行（列）展開法則、歸納法、利用范德蒙德行列式計算的方法等等，但是卻缺少關(guān)于利用遞歸方法求解行列式值的總結(jié)和歸納，鑒于此，在本文中我們將研究利用遞歸方法求解具有特定性質(zhì)的行列式.

遞歸方法是研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的眾多數(shù)學(xué)方法之一，它是研究數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的基本方法.它將復(fù)雜的結(jié)構(gòu)簡單化、困難的晦澀的結(jié)構(gòu)容易化，它是數(shù)學(xué)思維方法的重要構(gòu)成部分.

2 遞歸方法闡述

具有以下列形式的數(shù)列

x1=a，xn=f（xn-1）或x1=a，x2=bxn=f（xn-1，xn-2），（n>2）

被稱為遞歸數(shù)列，它的特征是：它的每一項都可由前一項或者是前兩項或者是階數(shù)較低的項按照一定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)得到.

這類數(shù)列在高中數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)（包括《高等數(shù)學(xué)》《線性代數(shù)》《高等代數(shù)》等等）中都有廣泛的用途，它具有較深的近世代數(shù)背景，與代數(shù)學(xué)中的逐次逼近思想和不變量理論也具有緊密的聯(lián)系.

當(dāng)行列式Dn、Dn-1或者Dn、Dn-1和Dn-2之間的能夠建立形如遞歸數(shù)列的代數(shù)關(guān)系時，我們可采用遞歸方法計算行列式.

由于有些行列式的結(jié)構(gòu)性質(zhì)比較晦澀，構(gòu)建遞歸結(jié)構(gòu)比較難以實施，常常使得初學(xué)者望而卻步.但是作者發(fā)現(xiàn)，由于行列式階數(shù)都是正整數(shù)，為我們建立遞歸公式提供了可能性，所以遞歸方法在求解具有特定性質(zhì)的行列式方面具有重要的先天優(yōu)勢.

采用遞歸方法計算行列式的主要步驟是根據(jù)行列式的特征和性質(zhì)找到遞歸關(guān)系式，再根據(jù)遞歸關(guān)系式的形式，利用已知的數(shù)學(xué)理論逐次將階數(shù)降低至低階行列式，建立Dn與低階行列式之間的關(guān)系，最后利用求解出的低階行列式的結(jié)果，采用“回代”的方法，最終計算出行列式.

當(dāng)遞歸公式的形式不同時，遞歸的過程也各不相同.

如果可以建立行列式Dn、Dn-1之間的遞歸關(guān)系時，只需將階數(shù)降低至一階行列式，即建立Dn與D1之間的關(guān)系，將D1代入到關(guān)系式中，即可計算出行列式.下面將采用這種方法計算例1中的行列式.

如果行列式Dn、Dn-1和Dn-2之間能夠建立遞歸關(guān)系式，常見的情形是三者之間具有線性關(guān)系，形如：Dn=pDn-1+qDn-2，n>2，q≠0.由此關(guān)系式變形可得

Dn-aDn-1=b（Dn-1-aDn-2），

Dn-bDn-1=a（Dn-1-bDn-2），

其中a+b=p，-ab=q.當(dāng)a≠b時，由上述兩式可得

Dn-aDn-1=bn-2（D2-aD1），

Dn-bDn-1=an-2（D2-bD1），

顯然可得

當(dāng)a=b時，則有Dn-aDn-1=an-2（D2-aD1），

顯然可推導(dǎo)出Dn-1-aDn-2=an-3（D2-aD1），

代入前式可得Dn=a2Dn-2+2an-2（D2-aD1），

重復(fù)此操作即可得Dn=an-1D1+（n-1）an-2（D2-aD1）.

針對不同的情形，我們將在下文舉例具體說明.

例題

例1 求解n階行列式的值.

分析：在求解行列式的值之前，我們需要觀察行列式所具有的特點，以此為基礎(chǔ)，確定求解方法.鑒于此，觀察得所求行列式具有如下特點：1）行列式除了第二列之外，其余列都是包含兩個非零元素，這決定了我們利用“展開定理”時確定可以按照第一列展開;2）第n行的元素的下標(biāo)是由左及右是逐次遞減的，這是嘗試使用遞歸方法計算行列式的理由.

解 Dn=x

+（-1）n+1an

=xDn-1+（-1）n+1an（-1）n-1=xDn-1+an

=x（xDn-2+an-1）+an=x2Dn-2+an-1x+an

=x2（xDn-3+an-2）+an-1x+an=x3Dn-3+an-2x2+an-1x+an

=…

=xn-1D1+a2xn-2+…+an-1x+an

=xn-1（a1+x）+a2xn-2+an-1x+an

=xn+a1xn-1+…+an-1x+an.

例2 計算n階行列式

Dn=（a≠b）.

分析：由行列式的元素構(gòu)成可知：當(dāng)我們利用行列式“展開定理”對行列式按照第一行展開后發(fā)現(xiàn)，第一行中第一個元素a+b對應(yīng)的n-1階余子式具有與Dn相同的結(jié)構(gòu)形式，即為Dn-1，而且在計算第二個元素對應(yīng)的n-1階余子式時，按照余子式的第一列展開后，會出現(xiàn)D_（n-2）.于是我們建立了Dn、Dn-1和Dn-2之間的代數(shù)關(guān)系，也就是建立了他們之間的遞歸公式.

解 將Dn按第一列展開得

Dn=（a+b）Dn-1-abDn-2，即Dn-aDn-1=b（Dn-1-aDn-2），

依次類推可得，

Dn-aDn-1=b2（Dn-2-aDn-3）=…=bn-2（D2-aD1），

又因為D1=a+b，D2=a2+ab+b2，將之帶入上式可得：

Dn-aDn-1=bn.

由于a，b所處的位置具有對稱性，類似可得Dn-bDn-1=an.由上述兩式可解出Dn=

注：注意到例1建立行列式Dn、Dn-1之間的遞歸關(guān)系，而例2是對行列式Dn、Dn-1和Dn-2建立遞歸關(guān)系式，而且三者之間具有線性關(guān)系.

3 結(jié)束語

采用行列式的性質(zhì)和定義對行列式進行處理，常常會極大地增加題目的計算量，與此同時，也會增加解題出錯的概率.采用遞歸方法計算行列式，是具有較強技巧性的計算方法，減少了運算量，能夠快速有效的計算出行列式的結(jié)果.由此可知，遞歸方法是非常具有研究意義的解題方法.

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