電流連續(xù)的細(xì)導(dǎo)體段模型的磁場及電感*

崔翔

(華北電力大學(xué), 新能源電力系統(tǒng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 102206)

傳統(tǒng)的載流細(xì)導(dǎo)體段模型是分析導(dǎo)體閉合回路磁場的基本模型, 盡管不滿足電流連續(xù)性定律, 但適用于導(dǎo)體閉合回路的磁場分析.然而, 對于工程中只關(guān)注導(dǎo)體閉合回路中某一局部的多分支導(dǎo)體段并聯(lián)的電流分配問題, 傳統(tǒng)模型將不能完整地反映各分支導(dǎo)體段之間磁場的相互作用.為此, 現(xiàn)有文獻(xiàn)提出的位移電流模型, 滿足了電流連續(xù)性定律, 較好地解決了上述問題, 但是, 仍然存在理論不完整、不自洽以及計(jì)算公式復(fù)雜等問題.本文提出載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型, 確保了載流細(xì)導(dǎo)體段在段內(nèi)、段端及段外的電流連續(xù)性.推導(dǎo)出物理內(nèi)涵更加深刻的總磁場微分方程和矢量磁位計(jì)算公式.提出載流細(xì)導(dǎo)體段傳導(dǎo)電流模型磁場能量和電感的計(jì)算公式, 極大地降低了計(jì)算復(fù)雜度, 彌補(bǔ)了現(xiàn)有文獻(xiàn)的不足.本文算例從模型、公式、計(jì)算等方面驗(yàn)證了本文理論和計(jì)算公式的正確性.

1 引 言

圖1 傳統(tǒng)的載流細(xì)導(dǎo)體段模型 (a) 單個(gè)載流細(xì)導(dǎo)體段;(b) 兩個(gè)載流細(xì)導(dǎo)體段Fig.1.Classical current models of filament conductor seg?ments：(a) One filament conductor segment; (b) two fila?ment conductor segments.

傳統(tǒng)的載流細(xì)導(dǎo)體段模型如圖1所示, 它是分析單個(gè)或多個(gè)導(dǎo)體閉合回路磁場問題的基本模型[1].盡管圖1模型不滿足電流連續(xù)性定律, 但將這些足夠短的模型依次首尾相接, 便可組成滿足電流連續(xù)性定律的導(dǎo)體閉合回路.因此, 圖1模型的磁感應(yīng)強(qiáng)度及電感的計(jì)算方法, 在導(dǎo)體閉合回路的研究中獲得了廣泛的應(yīng)用.例如, 采用圖1模型,可以推導(dǎo)出不同形狀的單個(gè)細(xì)導(dǎo)體段的自電感、不同形狀及方位的兩個(gè)細(xì)導(dǎo)體段的互電感等計(jì)算公式[2,3], 這些計(jì)算公式已被大量地編入各類手冊中[4?6], 并被廣泛使用.

不同于一般導(dǎo)體閉合回路的磁場問題, 工程中有時(shí)只關(guān)注導(dǎo)體閉合回路中某一局部的多分支導(dǎo)體段并聯(lián)的電流分配問題.例如, 圖2(a)所示的多分支導(dǎo)體段并聯(lián)[7]和圖2(b)所示的壓接型絕緣柵雙極型晶體管(insulated gate bipolar transistor,IGBT)器件內(nèi)部多凸臺(tái)芯片并聯(lián)[8]等問題.此時(shí),要么因這一局部的多分支導(dǎo)體段在整個(gè)導(dǎo)體閉合回路的占比極小, 要么不知其所在導(dǎo)體閉合回路的全部幾何參數(shù), 如壓接型IGBT器件制造商根本不知道用戶的導(dǎo)體閉合回路情況等.對于這類問題,一般不再考慮導(dǎo)體閉合回路、而只考慮這一局部多分支導(dǎo)體段的磁場問題.例如, 通過提取各分支導(dǎo)體段的自電感和互電感, 建立圖2(c)所示的并聯(lián)支路等效電路, 以研究器件在導(dǎo)通或關(guān)斷瞬間總電流在各個(gè)并聯(lián)支路的分配規(guī)律等.

圖2 多導(dǎo)體段并聯(lián)及其等效電路 (a) 三導(dǎo)體段并聯(lián)[7]; (b) 壓接型IGBT器件內(nèi)部多凸臺(tái)芯片并聯(lián)[8]; (c) 多導(dǎo)體段并聯(lián)的等效電路Fig.2.Multiconductor parallel connection and its equivalent circuit：(a) Three conductors in parallel connection[7]; (b) multi?protru?sion chips parallel connection in Press?Pack IGBTs[8]; (c) equivalent circuit for multiconductor parallel connection.

針對上述問題, 美國學(xué)者Ruehli[9]和Holloway等[10]結(jié)合導(dǎo)體閉合回路的電感定義, 基于采用矢量磁位表示的磁鏈法, 將導(dǎo)體閉合回路的電感計(jì)算公式進(jìn)行分段表示, 通過引入部分電感的概念, 定義了部分電感模型.隨后, 該模型在高速電子電路、微波電路、電磁兼容等領(lǐng)域被廣泛采用, 開發(fā)了部分電感參數(shù)的高效提取方法和軟件[11,12].部分電感的概念還被推廣應(yīng)用于頻變情況[13,14].此外,針對高速電路印制線的矩形截面導(dǎo)體, 美國學(xué)者Holloway和Kuester[15]推導(dǎo)出內(nèi)電感的近似解,意大利學(xué)者Antonini等[16]研究后指出, Wheeler規(guī)則不適用矩形截面導(dǎo)體的內(nèi)阻抗計(jì)算.

然而, 對于上述多分支導(dǎo)體段問題, 如果直接采用由圖1模型推導(dǎo)的自電感和互電感計(jì)算公式,將不能完整地反映各分支導(dǎo)體段之間磁場的相互作用[17].例如, 采用畢奧?薩伐爾定律推導(dǎo)出來的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算公式, 與采用安培環(huán)路定律推導(dǎo)出來的結(jié)果是不相同的[18].又如, 采用能量法推導(dǎo)出來的電感計(jì)算公式, 與采用磁鏈法推導(dǎo)出來的結(jié)果也是不相同的[19].導(dǎo)致它們不相同的根本原因在于圖1所示的載流細(xì)導(dǎo)體段模型不滿足電流連續(xù)性定律.

針對載流直細(xì)導(dǎo)體段的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算問題,美國學(xué)者Kalhor[18]認(rèn)為, 在載流直細(xì)導(dǎo)體段的兩個(gè)段端上, 應(yīng)該有電荷積累并在空間產(chǎn)生位移電流, 且位移電流應(yīng)該等于載流直細(xì)導(dǎo)體段中的傳導(dǎo)電流, 以確保滿足電流連續(xù)性定律.據(jù)此, Kalhor[18,20]分別采用畢奧?薩伐爾定律與安培環(huán)路定律, 推導(dǎo)出來的磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算公式是相同的, 從而解決了這個(gè)問題.

受美國學(xué)者Kalhor工作的啟發(fā), 中國學(xué)者倪籌帷等[19,21]對圖1模型進(jìn)行了修改, 提出了載流細(xì)導(dǎo)體段的位移電流模型, 即在載流細(xì)導(dǎo)體段的兩個(gè)段端添加了積累的等值但極性相反的點(diǎn)電荷, 并使其產(chǎn)生的位移電流等于載流細(xì)導(dǎo)體段中的傳導(dǎo)電流.在此基礎(chǔ)上, 倪籌帷等[19,21]推導(dǎo)出位移電流對應(yīng)的矢量磁位計(jì)算公式, 論證了矢量磁位的主要性質(zhì), 進(jìn)而推導(dǎo)出載流細(xì)導(dǎo)體段的自電感與互電感計(jì)算公式, 修正了現(xiàn)有文獻(xiàn)中載流細(xì)導(dǎo)體段的自電感與互電感計(jì)算公式的錯(cuò)誤.為了進(jìn)一步論證結(jié)果的正確性, 倪籌帷等[17]利用法拉第電磁感應(yīng)定律,又提出了基于感應(yīng)電壓的載流細(xì)導(dǎo)體段自電感與互電感計(jì)算公式的推導(dǎo)方法.從庫侖規(guī)范和洛倫茲規(guī)范兩個(gè)方面, 分析了產(chǎn)生矢量磁位計(jì)算出現(xiàn)差異的原因[19].倪籌帷等的工作在理論上解決了采用能量法與磁鏈法分別計(jì)算載流細(xì)導(dǎo)體段自電感與互電感的不一致問題.

然而, 倪籌帷等的工作還不夠完整.例如, 所提出的載流細(xì)導(dǎo)體段的位移電流模型不適用于直流情況; 又如, 矢量磁位及其規(guī)范等在理論上存在不自洽的情況; 再如, 載流細(xì)導(dǎo)體段的自電感與互電感計(jì)算公式?jīng)]有給出最簡單的解析表達(dá)式, 也沒有從理論上證明不同載流細(xì)導(dǎo)體段之間互電感的對稱性等.

針對上述問題, 本文提出了載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型, 在滿足電流連續(xù)性定律的基礎(chǔ)上, 對磁感應(yīng)強(qiáng)度、矢量磁位及其規(guī)范、磁場能量與電感等進(jìn)行了深入的理論分析, 推導(dǎo)出來的細(xì)導(dǎo)體段自電感與互電感計(jì)算公式具有極簡單的解析形式.后面將看到, 本文提出的載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型及其磁場理論, 體系完整, 電感計(jì)算公式簡單,解決了現(xiàn)有文獻(xiàn)存在的理論與計(jì)算等方面的不足.

2 載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型

本文提出的載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型如圖3所示, 即假設(shè)在無限大空間中充滿均勻?qū)щ娒劫|(zhì), i為細(xì)導(dǎo)體段中的傳導(dǎo)電流, l為細(xì)導(dǎo)體段的曲線段, r+為細(xì)導(dǎo)體段中i終止端的位置矢量,r-為起始端的位置矢量, 細(xì)導(dǎo)體段兩端之間的距離矢量為 d =r+-r-.假設(shè)傳導(dǎo)電流i隨時(shí)間變化緩慢, 其渦流效應(yīng)可以忽略不計(jì).為了分析方便, 將圖3無限大空間分為細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部空間Vc和外部空間Vd.Jc為Vc中的傳導(dǎo)電流密度, 滿足電流連續(xù)性定律, 即

Jd為Vd中的電流密度, 也滿足電流連續(xù)性定律, 即

在細(xì)導(dǎo)體段的側(cè)表面Sc, 有

式中en為細(xì)導(dǎo)體段表面的外法向單位矢量.在細(xì)導(dǎo)體段的兩個(gè)段端上, 分別有

且有

不難看出, 圖3所示細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部Vc中的傳導(dǎo)電流i, 一方面從細(xì)導(dǎo)體段的段端 r+流入細(xì)導(dǎo)體段外部Vd, 另一方面又通過細(xì)導(dǎo)體段的段端 r-流入到細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部Vc.對于細(xì)導(dǎo)體段外部Vd而言, 從細(xì)導(dǎo)體段兩個(gè)段端流出和流入的電流可以被假設(shè)為兩個(gè)幅值相等、流向相反的點(diǎn)電流源.考慮到細(xì)導(dǎo)體段的直徑非常小, 進(jìn)一步假設(shè)點(diǎn)電流源的電流密度對該點(diǎn)是球?qū)ΨQ均勻分布的.由疊加定理, 細(xì)導(dǎo)體段外部Vd中的電流密度Jd為

可以這樣解釋圖3所示的這個(gè)傳導(dǎo)電流模型,即在充滿均勻?qū)щ娒劫|(zhì)的無限大空間中, 放置了一根被絕緣材料包覆的細(xì)導(dǎo)體段, 在細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部有一個(gè)電流為i的理想電流源, 并通過細(xì)導(dǎo)體段的兩端向無限大空間供電.因此, 相對于現(xiàn)有文獻(xiàn)的位移電流模型而言[19,21], 這個(gè)傳導(dǎo)電流模型的物理圖像更加清晰, 容易被物理實(shí)現(xiàn), 且適用于直流情況.

圖3 載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型Fig.3.Conductive current model of filament conductor seg?ment.

3 磁感應(yīng)強(qiáng)度

3.1 Jc產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

由畢奧?薩伐爾定律, 細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部Vc中電流密度Jc在場點(diǎn)r產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bc為

式中, μ為磁導(dǎo)率; eR為矢量 r -r′的單位矢量, 且R=|r-r′|.對于圖3的載流細(xì)導(dǎo)體段, (6a)式為

3.2 Jd產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度

亦由畢奧?薩伐爾定律, 細(xì)導(dǎo)體段外部Vd中電流密度Jd在場點(diǎn)r產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bd為

將(5)式代入上式, 得

為了計(jì)算 Bd, 做如下分解：

先求 Bd+(r) .為計(jì)算方便, 不妨令 r+=0 , 即讓球坐標(biāo)系的原點(diǎn)落在圖3所示載流細(xì)導(dǎo)體段電流的流出端點(diǎn)上, 此時(shí), (9a)式變?yōu)?/p>

在上式中, 由于 r′和r均為球坐標(biāo)系的徑向位置矢量, r′× r 運(yùn)算后的矢量只有 e?和 eθ分量.又由于上式積分的球?qū)ΨQ性, 在積分過程中 e?和eθ分量將被抵消.所以, 可以推斷, Bd+(r)=0 .可見, 盡管點(diǎn)電流源在無限大空間中形成傳導(dǎo)電流,但不產(chǎn)生磁場.

同理, 可以推斷, Bd-(r)=0 .所以, 由(8)式得

(10)式表明, 細(xì)導(dǎo)體段外部Vd中的傳導(dǎo)電流不產(chǎn)生磁場.

之所以如此, 通過上面的推導(dǎo), 不難看出, 這是由于細(xì)導(dǎo)體段兩個(gè)端點(diǎn)上的點(diǎn)電流源各自具有球?qū)ΨQ性質(zhì)造成的, 這種球?qū)ΨQ性導(dǎo)致細(xì)導(dǎo)體段外部電流密度產(chǎn)生的磁場因相互抵消而為零.

3.3 總磁感應(yīng)強(qiáng)度

利用疊加定理, 細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部電流密度Jc和外部電流密度Jd在空間中產(chǎn)生的總磁感應(yīng)強(qiáng)度B為

將(6a)式代入(11)式, 得

3.4 B的散度與旋度

利用矢量恒等式

(12)式可以被轉(zhuǎn)換為

再利用矢量恒等式?×(φD)=(?φ)×D+φ?×D, 上式可以被寫為

式中, 由于 Jc(r′) 只是源點(diǎn) r′的函數(shù), 與場點(diǎn)r無關(guān), 故等號(hào)右邊第二項(xiàng)為零.又因?yàn)樵诘忍?hào)右邊第一項(xiàng)積分中場點(diǎn)r是固定的, 所以算子“ ? ”可以移到積分號(hào)外面.因此, 上式變?yōu)?/p>

利用矢量恒等式 ? ·(? × D)=0 , 對(14)式求散度, 得

再對(14)式求旋度, 得

利用矢量恒等式?×?×D=?(?·D)-?2D,上式被轉(zhuǎn)化為

下面, 分別計(jì)算(16)式等號(hào)右邊兩項(xiàng)積分中的被積分項(xiàng).

首先, 利用矢量恒等式? ·(φD)=(?φ)·D+φ?·D, (16)式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)中的被積分項(xiàng)可以寫為

再利用(13)式和矢量恒等式 ? ·(φD)=(?φ)·D+φ?·D, 上式可以被寫為

其次, 對于(16)式等號(hào)右邊的第二項(xiàng)中的被積分項(xiàng), 容易證明

將(17)和(18)式代入(16)式, 并利用散度定理, 得

由本構(gòu)關(guān)系 B (r)=μH(r) 和(5)式, 上式也可以寫為

式中H為總磁場強(qiáng)度.

可見, (15)式正是磁通連續(xù)性定律的微分形式, (19)式正是安培環(huán)路定律的微分形式.(19)式表明, 總磁場強(qiáng)度的旋度源由兩部分構(gòu)成, 第一部分是細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部Vc中的電流密度 Jc, 第二部分是為了滿足電流連續(xù)性定律而從細(xì)導(dǎo)體段兩個(gè)段端流出與流入的細(xì)導(dǎo)體段外部Vd的電流密度 Jd.

有意思的是, 盡管電流密度 Jd作為總磁場強(qiáng)度的旋度源之一已經(jīng)體現(xiàn)在(19)式中了, 但正如(10)和(11)式指出的, 它并不產(chǎn)生磁場, 總磁場僅由細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部Vc中電流密度Jc產(chǎn)生, 并可以直接采用畢奧?薩伐爾定律, 通過(12)式進(jìn)行計(jì)算.這與美國學(xué)者Kalhor[18,20]采用位移電流假設(shè)獲得的結(jié)果是類似的.但是, Kalhor的工作是對載流直細(xì)導(dǎo)體段通過直接積分獲得的結(jié)果, 沒有如本文上述工作, 通過散度和旋度分析, 獲得了有更加深刻物理內(nèi)涵的微分方程.

本文下節(jié)將論證, 雖然電流密度 Jd不產(chǎn)生磁場, 但它仍將產(chǎn)生矢量磁位.這一點(diǎn)在后面的磁場能量和電感的計(jì)算中是非常必要的.

4 矢量磁位

4.1 矢量磁位及其散度

由(15)式, 引入矢量磁位A, 即B(r)=?×A(r), 對A取庫侖規(guī)范, 即

將(19)式用矢量磁位A表示, 得

利用矢量恒等式?×?×D=?(?·D)-?2D和(20)式, 上式變?yōu)?/p>

設(shè)Ac和Ad分別為電流密度Jc和Jd產(chǎn)生的矢量磁位.將(21)式中的矢量磁位A做如下分解：

式中

已知(23a)式中 Ac的積分解為

為了求(23b)式中 Ad的積分解, 首先求(24)式的散度, 即

將(17)式代入上式, 并由(1a)式以及散度定理, 得

其次, 由(20)和(22)式得

再將 Ad做如下分解：

式中

為了求 Ad+(r) , 以 r+為球心做半徑為a=|r-r+|的球體.顯然, Ad+(r) 在以 r+為球心的球體上具有球?qū)ΨQ性, 且 Ad+(r) 是 er-r+方向的矢量.在該球體內(nèi)對(28a)式進(jìn)行體積分, 得

利用散度定理, (29)式等號(hào)左邊的體積分可以被轉(zhuǎn)化為

將上式與(29)式比較, 得

同理, (28b)式的解為

將(30a)和(30b)式代入(27)式, 得

再由(22)以及(24)和(31)式, 得矢量磁位A為

對于圖3的載流細(xì)導(dǎo)體段, (32a)式為

4.2 矢量磁位的旋度

首先, 求 Bc(r)=?×Ac(r) , 對(24)式兩邊取旋度得到

顯然, (33)式正是(6a)式給出的畢奧?薩伐爾定律.

其次, 求 Bd(r)=?×Ad(r) , 對 (31)式兩邊取旋度, 得

(34)式等號(hào)右邊括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)為

利用矢量恒等式 ? ×r=0 , 上式變?yōu)?/p>

同理

將(35a)和(35b)式代入(34)式, 得

(36)式再次驗(yàn)證了(10)式, 即細(xì)導(dǎo)體段外部Vd中的傳導(dǎo)電流只產(chǎn)生(31)式中的矢量磁位 Ad,而不產(chǎn)生磁場.

4.3 無限遠(yuǎn)漸近式

為了后面討論需要, 現(xiàn)推導(dǎo)當(dāng) r →∞ 時(shí)矢量磁位及其散度和旋度的漸近式.設(shè)細(xì)導(dǎo)體段兩個(gè)端點(diǎn)之間的距離為d ( d ?r ), 且距離的中點(diǎn)是直角坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系的原點(diǎn), 兩個(gè)端點(diǎn)均在直角坐標(biāo)系的 z軸上.因此, 有

式中θ為球坐標(biāo)的緯度坐標(biāo).由(24)和(33)式,當(dāng) r → ∞ 時(shí), 有

將 (37)和 (38)式分別代入 (31)和 (26)式,當(dāng) r → ∞ 時(shí), 有

順便指出, 參考文獻(xiàn)[7, 19]中因錯(cuò)誤地認(rèn)為?·Ac(r)=0, 故導(dǎo)致了規(guī)范不自洽問題, 且矢量磁位的數(shù)學(xué)推導(dǎo)非常繁復(fù).而本文(20)和(25)式與(26)式是自洽的, (31)式中 Ad(r) 的推導(dǎo)非常簡單.

5 磁場能量與電感

5.1 磁場能量

磁場能量既可以采用能量法也可以采用磁鏈法進(jìn)行計(jì)算.特別是對于無限大空間的磁場問題,磁鏈法由于只需要對載流導(dǎo)體區(qū)域進(jìn)行體積分, 因此計(jì)算量遠(yuǎn)低于能量法.然而, 對于本文提出的載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型而言, 電流充滿了整個(gè)無限大空間, 那么磁鏈法還有這種優(yōu)勢嗎？現(xiàn)討論如下.

首先, 采用能量法計(jì)算圖3所示載流細(xì)導(dǎo)體段的磁場能量, 即

其次, 通過(43)式的能量法, 推導(dǎo)磁鏈法.

由 B (r)=μH(r) 和 B =?×A=?×Ac, (43)式被寫為

由 矢 量 恒 等 式 ?·(C × D)=(?×C)·D-C·(?×D)和?×?×D=?(?·D)-?2D, (44)式中的被積分項(xiàng)可以寫為

利用(26)和(23a)式以及矢量恒等式?·(φD)=(?φ)·D+φ? ·D和?×?×D=?(?·D)-?2D,上式可以被轉(zhuǎn)化為

再次利用矢量恒等式? ·(C × D)=(? × C)·D-C ·(? × D), 且由(36)式, 上式被寫為

將上式代入(44)式, 并利用散度定理, 得

由 (39)—(42)式知, 當(dāng) r → ∞ 時(shí), 上式等號(hào)右邊的第二項(xiàng)面積分中的被積分項(xiàng)反比于 r3, 而 S∞正比于 r2, 因此該項(xiàng)面積分為零.因此, 上式變?yōu)?/p>

(45)式就是本文提出的計(jì)算磁場能量的磁鏈法.與現(xiàn)有文獻(xiàn)的磁鏈法被積分項(xiàng)僅含矢量磁位Ac不同的是, 在本文(45)式中的被積分項(xiàng)中, 還含有矢量磁位 Ad.正是因?yàn)楝F(xiàn)有文獻(xiàn)的磁鏈法中沒有這一項(xiàng), 從而導(dǎo)致了現(xiàn)有文獻(xiàn)中細(xì)導(dǎo)體段的電感計(jì)算公式是不完整的.

需要指出的另外一點(diǎn)是, 盡管本文提出的載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流充滿了整個(gè)無限大空間, 但是采用(45)式計(jì)算磁場能量時(shí), 只需要對細(xì)導(dǎo)體段進(jìn)行體積分, 不需要像(43)式中的能量法那樣, 需要對無限大空間進(jìn)行體積分.顯然, (45)式極大地簡化了細(xì)導(dǎo)體段的磁場能量以及電感的計(jì)算復(fù)雜度.

5.2 細(xì)導(dǎo)體段的電感

設(shè)圖4所示的無限大空間中有兩根載流細(xì)導(dǎo)體段, 其中 l1和 l2分別表示沿兩根細(xì)導(dǎo)體段的表面路徑,分別表示沿兩根細(xì)導(dǎo)體段的中心路徑.下面討論電感計(jì)算問題, 包括自電感與互電感.對于載流細(xì)導(dǎo)體而言, 有 Jc(r′)dV′=idl′, 由(45)式的磁鏈法, 并利用(32b)式, 得磁場能量為

為了計(jì)算(46)式, 先討論(46)式等號(hào)右邊第三項(xiàng)和第六項(xiàng)的線積分, 即

式中, Amd+和 Amd-分別為第m根細(xì)導(dǎo)體段流出端和流入端對應(yīng)的點(diǎn)電流源產(chǎn)生的矢量磁位.

對于 (47)式中 Amd+對應(yīng)的線積分, 由(30a)式有

圖4 兩根細(xì)導(dǎo)體段Fig.4.Two filament conductor segments.

由于 d lk=drk, 因此(48)式中的線積分為

又由于a·da=0.5d(a2)=ada , 上式可以寫為

將上式代入(48)式, 得

同理, (47)式中 Amd-對應(yīng)的線積分為

將(49a)和(49b)式代入(47)式, 得

如圖5所示, 設(shè)第1根和第2根細(xì)導(dǎo)體段的截面半徑分別為 a1和 a2, 各自流出端與流入端之間的距離分別為 d1和 d2; 第1根和第2根細(xì)導(dǎo)體段流出端與流入端之間的距離分別為

圖5 兩根細(xì)導(dǎo)體段不同端點(diǎn)之間的距離Fig.5.Distances between different terminals of two fila?ment conductor segments.

將(50)式代入(46)式, 并由(51)式, 得磁場能量為

采用自電感與互電感表示磁場能量, (52)式又可以寫為

將(53)式與(52)式進(jìn)行對比, 得兩根細(xì)導(dǎo)體段的自電感與互電感分別為

將(54)式和(55)式推廣到無限大空間中具有n根細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型, 可以得出, 第k根細(xì)導(dǎo)體段的自電感為

第k根細(xì)導(dǎo)體段與第m根細(xì)導(dǎo)體段的互電感為

且互電感是對稱的, 即 Lkm=Lmk.

與現(xiàn)有文獻(xiàn)的電感計(jì)算公式相比[3?6], 可以發(fā)現(xiàn)本文的電感計(jì)算公式(56a)和(56b)中, 分別多出了等號(hào)右邊帶方框的第二項(xiàng), 即

與倪籌帷等[19,21]提出的電感計(jì)算公式相比,在本文(56)式的自電感與互電感計(jì)算公式中, 等號(hào)右邊的第二項(xiàng)已不再是線積分, 而是由細(xì)導(dǎo)體段的端點(diǎn)幾何參數(shù)表示的解析表達(dá)式, 且極為簡單.同時(shí), 本文(56b)式也自然地揭示了互電感的對稱性.

6 算 例

為了說明本文提出的模型及電感計(jì)算公式的正確性, 下面引用文獻(xiàn)[19]的一個(gè)算例.

算例：圖6為空氣中兩根半徑相同、長度相同的圓柱形平行細(xì)導(dǎo)體段.細(xì)導(dǎo)體段半徑為r, 長度為l, 軸心距離為d, 且 d =10r .由(56a)和(56b)式,得細(xì)導(dǎo)體段的自電感(含內(nèi)電感)和互電感分別為

需要說明的是, 式中等號(hào)右邊的兩個(gè)方框項(xiàng)是現(xiàn)有文獻(xiàn)中沒有的.

圖6 兩根半徑相同的圓柱截面的平行細(xì)導(dǎo)體段[19]Fig.6.Two parallel filament conductor segments with same length and radius[19].

圖7(a)和圖7(b)分別給出了圖6所示細(xì)導(dǎo)體段的單位長度自電感和單位長度互電感隨長度與半徑之比(l/r)的變化曲線.圖中藍(lán)色實(shí)線顯示的Lkk?C和Lkm?C是根據(jù)現(xiàn)有文獻(xiàn)中的電感計(jì)算公式計(jì)算的; 紅色虛線顯示的 Lkk?B和 Lkm?B是根據(jù)(43)式的能量法進(jìn)行電感計(jì)算的, 即先利用畢奧?薩伐爾定律計(jì)算無限大空間的磁場, 再進(jìn)行(43)式中的無限大空間積分, 最后再計(jì)算電感; 綠色帶點(diǎn)實(shí)線顯示的Lkk和Lkm是按本文(57a)和(57b)式進(jìn)行計(jì)算的.從圖7可以看出, 對于細(xì)導(dǎo)體段而言, 無論是單位長度自電感還是單位長度互電感, 采用本文提出的電感計(jì)算公式獲得的結(jié)果與能量法的計(jì)算結(jié)果是一致的, 而現(xiàn)有文獻(xiàn)的計(jì)算結(jié)果因缺少(57a)和(57b)式等號(hào)右邊的兩個(gè)方框項(xiàng)而存在很大的誤差.

圖7 兩根平行細(xì)導(dǎo)體段自電感與互電感[19] (a) 單位長度自電感; (b) 單位長度互電感Fig.7.Inductances of two parallel filament conductor seg?ments[19]：(a) Unit?length self?inductance; (b) unit?length mutual?inductance.

7 結(jié) 論

本文系統(tǒng)地研究了細(xì)導(dǎo)體段的電流連續(xù)性問題, 對磁感應(yīng)強(qiáng)度、矢量磁位及其規(guī)范、磁場能量與電感等進(jìn)行了深入的理論研究.本文提出的載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型及其磁場理論, 體系完整, 電感計(jì)算公式簡單, 解決了現(xiàn)有文獻(xiàn)存在的理論與計(jì)算等方面的不足, 主要結(jié)論如下.

1)提出載流細(xì)導(dǎo)體段的傳導(dǎo)電流模型, 確保了載流細(xì)導(dǎo)體段在段內(nèi)、段端及段外的電流連續(xù)性.相對于現(xiàn)有文獻(xiàn)的位移電流模型而言, 傳導(dǎo)電流模型的物理圖像更加清晰, 容易被物理實(shí)現(xiàn), 且適用于直流情況.

2)推導(dǎo)出物理內(nèi)涵更加深刻的總磁場微分方程, 傳導(dǎo)電流模型的總磁場的旋度源包括細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部和外部兩部分電流密度.由于細(xì)導(dǎo)體段兩個(gè)端點(diǎn)上的點(diǎn)電流源各自具有的球?qū)ΨQ性質(zhì), 使細(xì)導(dǎo)體段外部電流密度產(chǎn)生的磁場因相互抵消而為零, 最終導(dǎo)致總磁場僅由細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部電流密度產(chǎn)生, 并可以直接采用畢奧?薩伐爾定律進(jìn)行計(jì)算.

3)推導(dǎo)出庫侖規(guī)范下細(xì)導(dǎo)體段內(nèi)部和外部兩部分電流密度對應(yīng)的矢量磁位散度的計(jì)算公式, 解決了現(xiàn)有文獻(xiàn)中規(guī)范不自洽的問題.在此基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出矢量磁位的計(jì)算公式, 為采用磁鏈法計(jì)算載流細(xì)導(dǎo)體段的磁場能量及電感奠定了理論基礎(chǔ).

4)提出載流細(xì)導(dǎo)體段傳導(dǎo)電流模型計(jì)算磁場能量的磁鏈法.該法只需要對載流細(xì)導(dǎo)體段進(jìn)行體積分, 不需要像能量法那樣對無限大空間進(jìn)行體積分, 極大地降低了載流細(xì)導(dǎo)體段的磁場能量以及電感的計(jì)算復(fù)雜度.

5)提出細(xì)導(dǎo)體段自電感與互電感的計(jì)算公式,計(jì)算公式的第二項(xiàng)不是線積分而是由細(xì)導(dǎo)體段端點(diǎn)幾何參數(shù)表示的極為簡單的解析表達(dá)式, 論證了互電感的對稱性, 彌補(bǔ)了現(xiàn)有文獻(xiàn)的不足.

本文給出的算例, 進(jìn)一步從模型、公式、計(jì)算等方面驗(yàn)證了本文理論和計(jì)算公式的正確性.應(yīng)用本文提出的細(xì)導(dǎo)體段電感計(jì)算公式, 可以對現(xiàn)有各類手冊中細(xì)導(dǎo)體段的電感計(jì)算公式進(jìn)行進(jìn)一步的修正和完善.

本文結(jié)論也適用于描述理想介質(zhì)中的細(xì)導(dǎo)體段情況.一方面可以將理想介質(zhì)認(rèn)為是導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率趨于零的極限情況; 另一方面可以將細(xì)導(dǎo)體段外部Vd中的傳導(dǎo)電流密度Jd認(rèn)為是位移電流密度, 只要保證細(xì)導(dǎo)體段兩個(gè)段端上的電流連續(xù)性即可.

感謝北京航空航天大學(xué)雷銀照教授的討論, 并感謝國網(wǎng)浙江省電力公司電力科學(xué)研究院倪籌帷博士提供的算例.