追根溯源，把握數(shù)學本質(zhì)

陳云妮

一、引言

對數(shù)是高中數(shù)學必修1（人教A版·2019年）中第四章第三節(jié)的內(nèi)容，其概念及運算是后續(xù)學習對數(shù)函數(shù)的基礎。對數(shù)函數(shù)作為高中函數(shù)重點內(nèi)容之一，也是學生在學習中感到最抽象的函數(shù)模型。追其原因，是在對數(shù)概念學習之初，教師沒有對對數(shù)因何而來，來之為何做較為形象的引導。而是純理論式的講授，這無形中將對數(shù)束之高閣，給予學生刻板的抽象印象。加強對數(shù)概念的理解是學生掌握對數(shù)函數(shù)的第一步，也是最為關(guān)鍵的一步。因此，關(guān)注對數(shù)概念形成背景和發(fā)展歷程是教師提高對數(shù)函數(shù)教學效果的可行之舉。

二、基于“追根溯源”式的教學設計片段

1.創(chuàng)設情境

問題1：大家學習歷史對文藝復興時期了解多少？這個時期有什么特征？

教師設計問題引導學生對文藝復興時期的社會背景進行簡單的交流后，給予學生肯定并由此引入小故事：

文藝復興時期，人們的思想意識上的覺醒，天文學、航海、工程等快速發(fā)展。當時哥白尼“太陽中心說”開始風靡，人們對于天文學的關(guān)注越加活躍。但是那個年代沒有計算機，數(shù)學也沒有像現(xiàn)在一般發(fā)展，人們對于計算多位數(shù)之間的乘積還處在十分繁雜的階段。

俗話說天文數(shù)字，如：計算北極星與地球的距離（單位：米） ?（光速） （一年的總秒數(shù)） ，太陽光到地球需要的時間 ?（地日距離） 等等，天文學的研究不可避免的會遇上大量精密又龐大的天文數(shù)值的計算，以致于天文學家不得不將大量寶貴的時間和精力花費在純數(shù)學的計算上，而不是天體的研究上，這也大大的限制了天文學的發(fā)展。所以，尋求簡化計算的方法是當時天文學家急需解決的問題。當時，正好有一位天文學愛好者納皮爾，他通過20年的研究發(fā)現(xiàn)了一種可將乘除計算化為加減的方法，這一方法的發(fā)現(xiàn)引起了社會的沸騰，大大的節(jié)省了天文學家研究中的勞力，也加快了天文學的發(fā)展，此后不久天文家就發(fā)現(xiàn)了海王星、確定哈雷彗星及其回歸的時間。這種巧妙的方法便是今天我們要學習的對數(shù)。何為對數(shù)呢？我們一下思考下列問題：

問題2：由指數(shù)冪運算可知 那么 呢？又該如何表示呢？

2.概念的形成

一般地，如果 ，那么數(shù) 叫做以 為底 的對數(shù)，記作： ，其中 叫做對數(shù)的底數(shù)， 叫做真數(shù)。

問題3：那么如何理解對數(shù)這一個概念呢？

一方面從求解方程的角度出發(fā)，例如方程： ，為了求解方程中的未知數(shù) ，數(shù)學中規(guī)定了除法，并用分數(shù)符號去表示，即 。類似的，對數(shù)即是為了求解如 這一類方程中指數(shù) 的問題，類比求解 方程的過程，數(shù)學家們需要規(guī)定出一種新的運算，并用新的符號去表示，即 。因此，對數(shù) 不僅是一種運算符號，表示求解方程 的一種運算，如 ;同時它也表示一個具體的數(shù)，如 。另一方面，從運算的角度出發(fā)，求解方程 可以表示為 ，這體現(xiàn)了乘法與除法為互逆運算;類似的，指數(shù)式方程 的求解表示為 ，同樣也突出冪運算的逆運算為對數(shù)運算。這也體現(xiàn)了指數(shù)式與對數(shù)式之間有一種特別的關(guān)系，它們究竟有什么關(guān)系呢？后續(xù)學習，我們再一起探究。

那么，當時的納皮爾是如何用對數(shù)將乘除化為加減運算的呢？下面我們一起來體驗。

3.探究體驗

當時由于常量數(shù)學的局限性，數(shù)學家們會優(yōu)先制作真數(shù)與對數(shù)的對應表如下表：

為什么數(shù)學家們這樣制作真數(shù)與對數(shù)的對應表呢？這是由于常量數(shù)學的局限性，數(shù)學家也不例外，可見思維定勢在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中常會成為阻礙因素，同學們要敢于突破定勢呀！

欲求 ，納皮爾先查表找出32和128所對應的指數(shù)為5和7，而后求 ，最后從表格中讀出12所對應的冪為4096，即有： 原本想求 的乘積，竟可以巧妙的轉(zhuǎn)化為求5+7的值，并通過查表得到結(jié)果，將當時大家認為繁雜的乘積運算問題轉(zhuǎn)化為了簡單的加法運算。這便是對數(shù)運算的精華所在，也是對數(shù)作為一種計算方法具有的優(yōu)越性。那么，這個過程中的5和7究竟有何意義呢？細心的同學會發(fā)現(xiàn)：5和7實質(zhì)上分別是 兩個式子中 的值，即 。32和128即是我們“真正要計算的數(shù)”，但是卻通過5和7的加法運算而求得，因此在對數(shù) 中，32和128稱之為“真數(shù)”，這便是在對數(shù)定義中 ，為何將 稱為“真數(shù)”原因。在計算機成為常規(guī)工具、數(shù)學獲得空前發(fā)展的今天，我們可不再依賴查對數(shù)表求對數(shù)，一般的計算器都有求對數(shù)的功能，請同學們回家探索一下用計算器求對數(shù)的方法。

那我們該如何運用對數(shù)進行計算呢？

三、分析與總結(jié)

上述是基于“追根溯源”式對數(shù)概念的引入教學設計片段展示，將對數(shù)形成的背景和發(fā)展過程以小故事的形式融入課堂教學中，一方面不僅可以增加課堂的趣味性、培養(yǎng)學生學習興趣，而且還體現(xiàn)了數(shù)學的發(fā)展源于社會進步的需要，最終回歸到實際中，服務于人們的生產(chǎn)生活，展示了數(shù)學的廣泛應用性，有利于幫助學生突破新概念抽象的壁壘;另一方面，新概念產(chǎn)生之初，最先形成發(fā)展的部分，即是最精華的部分，也是人們學習過程中需要突破的要點之一。追溯新概念形成的根源，宛如賞析詩歌一般，如若只是單純的插入式的翻譯解析，不交待它的時代背景和詩人當時的處境，是無法領悟到詩詞中蘊涵的情懷和真諦。數(shù)學新概念的學習亦是如此，追溯它的根源，增強學生對新知識來源的了解，有利于學生更加準確的把握概念。此外，在新概念的學習中，作為教師的我們需要有更廣的視野，我們可以追尋數(shù)學發(fā)展中其他具有類似邏輯關(guān)系并且熟悉的概念的發(fā)展史，從已知出發(fā)更好的幫助學生把握新概念的本質(zhì)。

本文系天津市教學成果獎重點培育項目（項目類別高等教育）“課程思政視域下的‘中學數(shù)學教學設計課程教學改革實踐”研究的過程性成果，項目批準號：PYGJ-013。