探究概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程與數(shù)學(xué)建模思想的融合

陸光洲

（百色學(xué)院，廣西 百色 533000）

數(shù)學(xué)建模指的是基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，以抽象性的思維和工具為依托，將基礎(chǔ)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)槟Ｐ偷囊环N方法。數(shù)學(xué)建模通常被應(yīng)用在對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行假設(shè)的過程中，是一種提前檢驗(yàn)論證結(jié)果，以實(shí)現(xiàn)針對(duì)性的過程調(diào)適的數(shù)學(xué)工具。數(shù)學(xué)建模的獨(dú)特作用在于，其所呈現(xiàn)的是實(shí)際問題的本質(zhì)描繪，可以很好的幫助人們轉(zhuǎn)換問題的呈現(xiàn)方式，促進(jìn)人們對(duì)不同的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行認(rèn)知和了解?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這門課程主講概率學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)，是高校必修的基礎(chǔ)課程。該課程中包含的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、時(shí)間序列等知識(shí)點(diǎn)，在各個(gè)行業(yè)中都有著較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。但其內(nèi)容卻多以復(fù)雜的理論為主，難以理解且與實(shí)際應(yīng)用相對(duì)脫節(jié)。因此大學(xué)生在學(xué)習(xí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程時(shí)，常常會(huì)表示所學(xué)內(nèi)容過于枯燥，且實(shí)用性較差。對(duì)此，為令《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程可以更易被學(xué)生理解和吸收，教師或可以運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想，在課堂中有效應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢(shì)功效促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)。

一、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中融合數(shù)學(xué)建模思想的必要性與可行性

1、融合的必要性

“數(shù)學(xué)”存在的目的是，通過數(shù)據(jù)、圖像等形式解釋某個(gè)原理的本質(zhì)。理論上，數(shù)學(xué)可以解釋所有在現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的，被人們所定義的問題。而數(shù)學(xué)學(xué)科就是通過階段性的教學(xué)，逐漸培育人們掌握“解碼”這個(gè)世界的方法。也因此，隨著學(xué)年的增長(zhǎng)，學(xué)生所面對(duì)的數(shù)學(xué)這一基礎(chǔ)知識(shí)課程的難度越大、內(nèi)容原理越復(fù)雜?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》就是高等院校理工、經(jīng)管類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，更是考研階段的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容。該課程屬于近代數(shù)學(xué)，發(fā)展性和應(yīng)用性較強(qiáng)。內(nèi)容包括統(tǒng)計(jì)學(xué)和概率學(xué)，而這兩個(gè)知識(shí)體系的應(yīng)用方向極廣，包含工業(yè)、農(nóng)業(yè)、科學(xué)乃至軍事行業(yè)。在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的開發(fā)中更是發(fā)揮著十分重要的推動(dòng)作用。因此，在高等教育階段中，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的重要性不言而喻?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中，教師不但要傳遞概率學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理知識(shí)，更要幫助學(xué)生建構(gòu)觀測(cè)試驗(yàn)、理性思慮的學(xué)識(shí)技能。其中包含著大量的數(shù)學(xué)方法，需要學(xué)生了解、熟練掌握并融會(huì)貫通。如果教學(xué)方法不能激發(fā)學(xué)生們的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，或者在有限的教育教學(xué)時(shí)間內(nèi)，學(xué)生無法充分吸收知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生們便無法建構(gòu)實(shí)際有效的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

調(diào)查《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教學(xué)質(zhì)量較低的原因可知，絕大多數(shù)教學(xué)質(zhì)量的低迷都是因?yàn)榻處熚茨苓x擇一種便于理解的教學(xué)方法進(jìn)行教授。數(shù)學(xué)科目本身就相對(duì)枯燥，概率學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)又涉及到巨量的數(shù)據(jù)信息，學(xué)生在未能建立清晰思路之時(shí)，會(huì)本能的對(duì)巨量數(shù)據(jù)的處理產(chǎn)生焦躁心態(tài)。繼而影響其參與學(xué)習(xí)的心態(tài)，降低課堂學(xué)習(xí)的質(zhì)量。而數(shù)學(xué)建模思想是一種根據(jù)實(shí)際問題去建立數(shù)學(xué)模型，再通過模型求解幫助人們解決問題的“思考工具”。在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中使用數(shù)學(xué)建模技術(shù)，明顯可以將繁冗的數(shù)據(jù)立體化、現(xiàn)實(shí)化處理。也就是說，通過數(shù)學(xué)建模技術(shù)可以將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成實(shí)際的問題，令學(xué)生們可以在認(rèn)知實(shí)際問題、解決實(shí)際問題的過程中，了解處理問題的概率學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，更能夠在處理實(shí)際問題的過程中，有效將理論原理與現(xiàn)實(shí)應(yīng)用結(jié)合，真正做到“融會(huì)貫通”。而這種將問題具體化、立體化的技術(shù)，是獨(dú)屬于數(shù)學(xué)建模思想的特殊優(yōu)勢(shì)。故而，考慮到《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的重要性，和促進(jìn)學(xué)生通徹理解知識(shí)點(diǎn)的急迫性，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中融合數(shù)學(xué)建模思想，明顯具有較強(qiáng)的必要性。

2、融合的可行性

對(duì)可行性的論證可以從兩個(gè)角度去分析。首先是原理的角度，《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的主要教育內(nèi)容，就是將生活中的問題量化處理，再通過實(shí)際的樣本數(shù)據(jù)去推算和檢驗(yàn)，直至得出具有代表性的驗(yàn)證結(jié)果。數(shù)學(xué)建模思想強(qiáng)調(diào)要先了解對(duì)象信息，做出簡(jiǎn)化的假設(shè)，再分析內(nèi)在規(guī)律，并利用符號(hào)或語言來建立模型?！跋攘炕唧w問題”，“再抽取樣本去檢驗(yàn)”的這兩個(gè)重要構(gòu)成，明顯與數(shù)學(xué)建模的基本原理相差無幾。這說明，一方面教師在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想，幾乎不用考慮適用性的問題。另一方面則說明教師無需大幅度改良《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程本身的教育結(jié)構(gòu)，這可以有效減少課程創(chuàng)新建設(shè)的資源輸出，對(duì)于校方和院系而言具有較強(qiáng)的正面意義。

其次是條件的考慮，條件分為實(shí)物和非實(shí)物兩類。實(shí)物條件指的是可以支撐數(shù)學(xué)建模技術(shù)在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中應(yīng)用的技術(shù)條件，例如智慧教室、計(jì)算機(jī)工具等等。而當(dāng)前我國高校基本已經(jīng)完成了現(xiàn)代化教育轉(zhuǎn)型，每個(gè)院校內(nèi)都會(huì)配置計(jì)算機(jī)設(shè)備完善、互聯(lián)網(wǎng)條件完備的現(xiàn)代教學(xué)課堂。因此，將《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程與數(shù)學(xué)建模思想融合，在實(shí)物條件上講具有較強(qiáng)的可行性。非實(shí)物條件指的是教師的操作能力。一般而言理工、經(jīng)管類的專業(yè)都不會(huì)特別開通數(shù)學(xué)建模相關(guān)的課程，但若要應(yīng)用數(shù)學(xué)建模，教師需要具有完善和熟練的操作能力。而相關(guān)專業(yè)內(nèi)的教師，大多對(duì)數(shù)學(xué)建模技術(shù)有著深刻的認(rèn)知和了解，系統(tǒng)性學(xué)習(xí)后便可以熟練運(yùn)用相關(guān)軟件開展教學(xué)。因此，從原理和條件兩個(gè)角度去論證，最終都會(huì)得到一個(gè)結(jié)果，那就是在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中融合數(shù)學(xué)建模思想，具有較強(qiáng)的可行性。且無需大幅度改變《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程本身的技術(shù)面貌，從實(shí)用性的角度看更加適應(yīng)高校的改革能力，可行性進(jìn)一步強(qiáng)化。

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中融合數(shù)學(xué)建模思想的條件預(yù)備

1、升級(jí)專業(yè)課教師的數(shù)學(xué)建模能力

雖然在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中融合數(shù)學(xué)建模思想的終極目標(biāo)，是促進(jìn)學(xué)生的理解，幫助學(xué)生建構(gòu)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思路。但實(shí)際上只有當(dāng)教師對(duì)課業(yè)內(nèi)容產(chǎn)生全面、立體的理解時(shí)，學(xué)生才能更加輕松和有效的理解知識(shí)點(diǎn)內(nèi)涵。因此，要將《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程與數(shù)學(xué)建模思想融合，最應(yīng)該做好的條件預(yù)備，就是要保證教師的操作能力。校方可以要求專業(yè)課教師們積極參與數(shù)學(xué)建模座談會(huì)、講座，及時(shí)了解數(shù)學(xué)建模思想的更新內(nèi)容，保證不與時(shí)代脫節(jié)。教師們更要積極以線上學(xué)習(xí)、遠(yuǎn)程學(xué)習(xí)等方式為主，在課余時(shí)間內(nèi)充實(shí)自身的數(shù)學(xué)建模相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備，了解各種數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖形的組合應(yīng)用技巧。同時(shí)，教師們?cè)谧晕姨嵘陂g，也要以模擬仿真的形式，去探索如何將數(shù)學(xué)建模思想有效融合在統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率學(xué)知識(shí)的講解過程中。要根據(jù)不同的知識(shí)點(diǎn)，將應(yīng)用思路分解為風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、水平評(píng)測(cè)、質(zhì)量管控評(píng)測(cè)等類別，不斷設(shè)立和完善對(duì)應(yīng)的融合思路。該行為的根本目的在于，通過大量的模擬實(shí)驗(yàn)，幫助教師們掌握有效應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的合理方法。以避免出現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容與數(shù)學(xué)建模思想不相容所導(dǎo)致的知識(shí)屏障問題。當(dāng)教師熟練掌握將概率、統(tǒng)計(jì)等思想以數(shù)學(xué)建模的方式去解決的知識(shí)技能后，教師們可以積極參與數(shù)學(xué)建模的專業(yè)比賽，以賽促學(xué)在賽事中認(rèn)知自身能力的長(zhǎng)處和短板，學(xué)習(xí)和吸收其他選手的優(yōu)勢(shì)技術(shù)。

2、更新教學(xué)工具與教學(xué)方法

良好的工具和方法，是保障教學(xué)成效的關(guān)鍵?！陡怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教師需要結(jié)合自己在學(xué)習(xí)階段的認(rèn)知和積累，結(jié)合教學(xué)的技術(shù)性、內(nèi)容性需要，為校方提供設(shè)施建設(shè)的清單。清單內(nèi)包括軟硬件建設(shè)的方向、內(nèi)容，校方需要根據(jù)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程教師給出的意見進(jìn)行建設(shè)，從而為融合教學(xué)提供良好的資源輔助。例如，校方需要根據(jù)學(xué)生的數(shù)量和課時(shí)的安排，布設(shè)好數(shù)量足夠的計(jì)算機(jī)設(shè)備和教室資源，以供學(xué)生在課上隨時(shí)進(jìn)行建模。校方也需要購買Mathematica、spss 等數(shù)據(jù)分析類、建模類的正版軟件供教師和學(xué)生使用。教師則需要提前熟悉這些軟件的操作方法，并構(gòu)設(shè)出基本的使用教程交給學(xué)生，要求學(xué)生們提前對(duì)這些軟件進(jìn)行熟悉。而為了在課程中充分發(fā)揮出數(shù)學(xué)建模的優(yōu)勢(shì)作用，建議教師以“應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想”作為前提，提前進(jìn)行教學(xué)方法改造的培訓(xùn)。例如，對(duì)方差的概念、參數(shù)的估計(jì)等內(nèi)容，都使用數(shù)學(xué)建模進(jìn)行講解。令學(xué)生熟悉以數(shù)學(xué)建模為主的學(xué)習(xí)思路，進(jìn)而以“熟悉”作為推動(dòng)，提升整個(gè)課堂從知識(shí)講解到知識(shí)吸收的效率。

三、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中融合數(shù)學(xué)建模思想的融合路徑研究

1、隨機(jī)問題的融合教學(xué)

隨機(jī)問題的解決是概率論中最常見的知識(shí)點(diǎn)，但傳統(tǒng)的理論教學(xué)重視對(duì)概念的傳遞。雖然隨機(jī)變量、分布函數(shù)相關(guān)的概念可應(yīng)用性較強(qiáng)，但在不列舉實(shí)例的情況下，學(xué)生很難建構(gòu)對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用思路。針對(duì)此，教師可以先要求學(xué)生熟練掌握分布函數(shù)的幾種經(jīng)典形態(tài)，例如均勻分布的實(shí)驗(yàn)原型、現(xiàn)實(shí)事件中隨機(jī)變量的服從規(guī)律、分布形態(tài)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系等等。掌握這些經(jīng)典的形態(tài)構(gòu)成，是為了令學(xué)生明確現(xiàn)實(shí)事件的本質(zhì)規(guī)律。在明確規(guī)律的前提下利用數(shù)學(xué)建模搭建理論與現(xiàn)實(shí)的橋梁，便可以令學(xué)生迅速建立對(duì)知識(shí)點(diǎn)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用思路。以均勻分布為例，在教學(xué)的前期教師可以圍繞均勻分布的關(guān)聯(lián)關(guān)系進(jìn)行充分的教學(xué)，并留給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行討論，直至明確知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的所有機(jī)理。隨后，教師可以設(shè)立一個(gè)數(shù)學(xué)建模的題目，先要求學(xué)生想出該問題中應(yīng)該設(shè)立哪些隨機(jī)變量，這些變量又應(yīng)該設(shè)立怎樣的服從機(jī)制等等。隨后教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生沿著建模的基本步驟去思考，完成對(duì)優(yōu)先級(jí)的比例調(diào)節(jié)、優(yōu)先級(jí)在隊(duì)列中的調(diào)整、檢測(cè)安排方式的合理性、對(duì)優(yōu)先級(jí)模型的建構(gòu)。再進(jìn)行自適應(yīng)區(qū)間內(nèi)自適應(yīng)方法的周期性模擬，非FCFS 策略的評(píng)價(jià)和線性規(guī)劃簡(jiǎn)化模型等等。教師在臺(tái)上需要利用計(jì)算機(jī)和相關(guān)軟件一步步完成對(duì)模型的建構(gòu)，最后與學(xué)生一同代入在線數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)模型的仿真模擬。這種情況下，雖然模型的建構(gòu)由教師作為主導(dǎo)，但過程中學(xué)生們可以不斷結(jié)合現(xiàn)實(shí)背景進(jìn)行思考和推測(cè)，有效鍛煉自身對(duì)于隨機(jī)問題的處理邏輯。

2、稀有事件預(yù)估的融合教學(xué)

如何用分布區(qū)描述實(shí)際的隨機(jī)變量，是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的另一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。學(xué)生們?cè)诿鎸?duì)該知識(shí)點(diǎn)時(shí)，最大的意見就是自己無法對(duì)稀有事件進(jìn)行有效的把控。針對(duì)此，教師也可以使用數(shù)學(xué)建模思想，利用檢驗(yàn)驗(yàn)證的方式去驗(yàn)證學(xué)生的想法，從而令學(xué)生能夠在一次次驗(yàn)證的過程中，掌握隨機(jī)變量描述的有效方法。在隨機(jī)變量描述中應(yīng)用數(shù)學(xué)建模技術(shù)可以分為三個(gè)步驟進(jìn)行。第一，教師需要“協(xié)同”學(xué)生一起對(duì)定理?xiàng)l件進(jìn)行分析，令學(xué)生明確不同概率應(yīng)該服從哪一種分布形式。例如如果是稀有事件這類小概率問題，那么便應(yīng)該服從泊松定理。第二，教師可以結(jié)合一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的小概率案例，要求學(xué)生自行利用數(shù)學(xué)建模軟件完成對(duì)假定理論的驗(yàn)證。例如，廣告產(chǎn)業(yè)內(nèi)運(yùn)算點(diǎn)擊率往往就是一個(gè)小概率命題，很多內(nèi)容的點(diǎn)擊率都是千分位。那么以該案例為主，學(xué)生們可以構(gòu)設(shè)一個(gè)稀有事件的邏輯回歸模型，去解決點(diǎn)擊率預(yù)估的稀有事件問題。第三，考慮到邏輯回歸模型在樣本不均衡條件下，可能會(huì)出現(xiàn)估計(jì)偏差的問題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)模型進(jìn)行進(jìn)一步的校準(zhǔn)，在進(jìn)一步精化評(píng)估結(jié)果的同時(shí)，幫助學(xué)生建立辯證性的學(xué)習(xí)思路。例如可以使用“Prior Correction”策略，基于先驗(yàn)分布的規(guī)律，使用公式進(jìn)行校準(zhǔn)。其中，是負(fù)采樣得出的模型參數(shù)，是負(fù)采樣后的正樣本比例，而是負(fù)采樣前的正樣本比例。如果只是對(duì)定向投放的廣告點(diǎn)擊率預(yù)估進(jìn)行計(jì)算，那么也可以被統(tǒng)計(jì)的“點(diǎn)擊通過率”，也就是廣告的實(shí)際點(diǎn)擊次數(shù)所替代，也就是廣告的實(shí)際點(diǎn)擊次數(shù)除以廣告的展現(xiàn)量。這一步的重點(diǎn)是，要求學(xué)生正視數(shù)學(xué)建模思想的“幫扶”作用，不要將建模作為依賴性的學(xué)習(xí)方案。

3、使用頻率對(duì)概率進(jìn)行預(yù)估

也是《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中的重點(diǎn)內(nèi)容。但頻率也是一種隨機(jī)變量，學(xué)生們只有在結(jié)合實(shí)際案例的前提下，才能將眾多的隨機(jī)變量處理方法加以區(qū)分和靈活應(yīng)用?；诖?，教師可以使用蒙特卡洛模擬法（Monte Carlo method），也就是俗稱的統(tǒng)計(jì)模擬方法去解決預(yù)估問題。但該方法的使用存在一定限制性，那就是該方法適用于解決難以用數(shù)值去處理的部分。例如，該方法通常會(huì)被使用于項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估以及決策的過程中。教師會(huì)設(shè)定一個(gè)虛擬的項(xiàng)目，并為學(xué)生提供AB兩個(gè)方案。學(xué)生需要對(duì)這兩個(gè)方案進(jìn)行整理調(diào)查，羅列出可能的風(fēng)險(xiǎn)變量，再確認(rèn)不同變量的概率分布以及相應(yīng)函數(shù)中的具體參數(shù)。隨后，應(yīng)設(shè)立一個(gè)財(cái)務(wù)凈現(xiàn)值的計(jì)算模型，對(duì)該項(xiàng)目的基準(zhǔn)折現(xiàn)率和生命周期進(jìn)行預(yù)估，在設(shè)定95%的置信度后進(jìn)行多次模擬。最后則要根據(jù)評(píng)估的最終結(jié)果，對(duì)比兩個(gè)方案的期望值、風(fēng)險(xiǎn)度，風(fēng)險(xiǎn)度較低的方案予以采用。過程中，學(xué)生將科學(xué)的預(yù)估出風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率，明確如何利用數(shù)據(jù)和建模技術(shù)得出相對(duì)科學(xué)的決策依據(jù)。從整體上看，在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程中融合數(shù)學(xué)建模思想，不但未能對(duì)教學(xué)造成障礙，更提升了理論教學(xué)的立體性、生動(dòng)性，令學(xué)生們能夠在學(xué)習(xí)理論課程的過程中，便體驗(yàn)到真實(shí)的工作內(nèi)容與情境。這明顯可以升級(jí)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的教育成效，令其從枯燥、無趣的課程轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢院粚?shí)學(xué)生理論所得的趣味課程。

結(jié)語：

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的改革是一個(gè)難度較高又十分復(fù)雜的過程。而數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，可以將《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程的信息傳輸以立體化的方式呈現(xiàn)，從而充分匹配大學(xué)生對(duì)立體化知識(shí)傳輸更加認(rèn)同的興趣愛好，有效提升課程的可接受性和易理解性。