無零因子的EP-內射環(huán)①

(蚌埠學院理學院，安徽 蚌埠 233000)

0 引 言

2003年，文獻[1]中提出了EP-內射模和EP-內射環(huán)的定義，并推廣了文獻[2]中的一些結果。設M是右R-模，稱M是EP-內射的[1]，如果對任意0≠a∈R， 存在r∈R， 使得ra≠0， 且任意raR到M的右R-同態(tài)均可擴充為R到M的右R-同態(tài)。稱R是右EP-內射環(huán)[1]，如果RR是EP-內射的，類似可定義左EP-內射模和左EP-內射環(huán)。2014年，文獻[3]利用文獻[2]中零化子的升鏈條件和文獻[4]中正則環(huán)是半單環(huán)的充分必要條件，研究了EP-內射環(huán)的von Neumann正則性和半單性。文中研究無零因子的EP-內射模(環(huán))與半本原環(huán)和除環(huán)的關系，推廣了文獻[5]的一個結論。文中出現(xiàn)的記號，如J(R)、Z(RR)等，以及一些基本概念均可參見文獻[6-8]。

1 預備知識

定義1.1[1]設R是環(huán)，則下列條件等價：

(1)R是左EP-內射環(huán)；

(2) 對任意0≠a∈R，存在b∈R，使得ab≠0，且rl(ab)=abR；

(3) 對任意0≠a∈R，存在b∈R，使得ab≠0，且對Rab到R的任意左R-同態(tài)f，存在m∈R，滿足f(rab)=rabm,r∈R。

定義1.1對左EP-內射環(huán)進行了等價刻畫，對右EP-內射環(huán)當然也有類似的結果。

命題1.1設R是左EP-內射環(huán)，若對任意0≠a∈J(R)及任意ax≠0，有l(wèi)(a)=l(ax)，則J(R)?Z(RR)。

證：若存在0≠a∈J(R)，但a?Z(RR)，則l(a)不是本質左理想。 于是存在非零的左理想I，滿足l(a)∩I=0。取0≠b∈I，可得ba≠0。由R是左EP-內射環(huán)可知，存在c∈R，使bac≠0，且rl(bac)=bacR。 若x∈l(bac)，則xbac=0。 由題設條件可得，xb∈l(ac)=l(a)，xb∈I∩l(a)=0，x∈l(b). 故l(bac)?l(b)，rl(b)?rl(bac)。由b∈rl(b)可得b∈rl(bac)=bacR。于是存在d∈R，使b=bacd，b(1-acd)=0。再由a∈J(R)可知1-acd可逆。故b=0，這與b的選取矛盾。因此，J(R)?Z(RR)。

例1.1 設R=為整數環(huán)，由J(R)=0可知R是半本原環(huán)。對a=2,及任意0≠b∈R，可得ab≠0，但rl(ab)≠abR。故R不是左EP-內射環(huán)。由文獻[3]例1可知左EP-內射環(huán)也未必是半本原環(huán)。

2 主要結果

命題2.1 設R是左EP-內射環(huán)，若R的每一個右理想均由一個冪等元生成，則R是半本原環(huán)。

證：對任意0≠a∈J(R)，由R是左EP-內射環(huán)可知，存在0≠b∈R，滿足ab≠0，且rl(ab)=abR。因為R的每一個右理想均由一個冪等元生成，故存在冪等元e∈R，滿足abR=eR。于是存在x,y∈R，使ab=ex,e=aby。故可得

ab=ex=eex=abyex=abyab。

由上式可得ab(1-yab)=0。因為a∈J(R)，所以1-yab可逆，推出ab=0。此與

ab≠0矛盾。因此J(R)=0，R是半本原環(huán)。

由上面命題的證明可知看出：

推論2.1 設R是左EP-內射環(huán)，若R的每一個右理想均由一個冪等元生成，則R中必存在正則元。

證:在命題2.1證明過程中得到的等式ab=ex=eex=abyex=abyab中，令u=ab，得u=uyu，即可得證。

環(huán)R的加法子群L稱為是R的弱左理想[9]，如果對任意x∈L和任意r∈R，存在正整數n，使得(rx)n∈L。 類似地，可以定義弱右理想[9]。利用弱左理想研究了環(huán)的強正則性，下面將借助弱左(右)理想研究滿足一定條件的某些環(huán)之間的關系。

引理2.1 設R是左EP-內射環(huán)。若對任意0≠a∈R，有l(wèi)(a)=0，則R是除環(huán)。

證：對任意0≠a∈R，由R是左EP-內射環(huán)可知，存在b∈R，滿足ab≠0。 若rab=0，則r∈l(ab)=0.可以定義左R-同態(tài)：

f:Rab→R;rabar

于是存在c∈R，使得1=abc。故R中任意非零元均存在右逆，因此R是除環(huán)。

定理2.1 設R是無零因子環(huán)，則下列條件等價：

(1)R是左EP-內射環(huán)；

(2)R的任意主左理想都是EP-內射的；

(3)R的每個極大左理想是弱右理想，且任意單左R-模是EP-內射的；

(4)R的每個極大右理想是弱左理想，且任意單右R-模是EP-內射的；

(5)R的每個極大本質左理想是弱右理想，且任意單奇異左R-模是EP-內射的；

(6)R的每個極大本質右理想是弱左理想，且任意單奇異右R-模是EP-內射的；

(7)R是von Neumann正則環(huán)；

(8)R是除環(huán)。

證：(8)?(7)，(7)?(1)顯然。

(1)?(8)：由引理2.1可得證。 故(1)、(7)、(8)等價。

(8)?(2)：顯然。

(2)?(8)：若(2)成立，則(2)成立，進而(8)可得證。

(8) ?(3)，(8) ?(5)：由文獻[7]定理2.5可得。

(3)?(8)：對任意0≠a∈R，若Ra≠R，則存在極大左理想M，使得Ra?M，且R/M是單左R-模。由條件知，R/M是EP-內射的. 于是存在b，滿足ab≠0。 可以定義左R-同態(tài)：

f:Rab→R/M;rabar+M

故存在c∈R，使1-abc∈M。因為R的每個極大左理想是弱右理想，故存在正整數n，使得(abc)n∈M，且下面的式子成立：

abc(1-abc)=abc-(abc)2∈M

(abc)2(1-abc)=(abc)2-(abc)3∈M

… …

(abc)n-1(1-abc)=(abc)n-1-(abc)n∈M

由此可得1∈M，與M是極大左理想矛盾。 因此，Ra=R，存在c∈R，滿足ca=1。 進而可得，a=aca，(1-ac)a=0。再由R是無零因子環(huán)，得ac=1。故a可逆，R是除環(huán)。

(5)?(8)：任意0≠a∈R，若Ra≠R，則存在極大左理想M，使得Ra?M。 如果M不是本質的，則M是R的直和項。 因此M=l(e)，0≠e2=e∈R。注意到R無零因子，故M=0,與M是極大左理想矛盾,M是極大本質左理想,進而推出R/M是單奇異的。由條件R/M是EP-內射的，存在b，滿足ab≠0, 可以定義左R-同態(tài)：

f:Rab→R/M;rabar+M

于是存在c∈R，使1-abc∈M。類似于(3)?(8)的證明，可得R是除環(huán)。

類似可證(4)?(8)及(6)?(8)。

推論2.2[5]設R是無零因子環(huán)，若R是左P-內射環(huán)，則R是除環(huán)。

3 結 論

文章研究了EP-內射環(huán)的半本原性，并借助無零因子的條件給出了EP-內射環(huán)的等價刻畫。對于無零因子這一條件能否進一步弱化，以及利用EP-內射環(huán)如何刻畫環(huán)的von Neumann正則性，是值得繼續(xù)深入研究下去的。