多通道自適應(yīng)陷波算法性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)及影響因素

張立軍，皮雄飛，孟德建，張頻捷

（同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海201804）

主動(dòng)噪聲控制技術(shù)（active noise control，ANC）相對(duì)于被動(dòng)噪聲控制具有低頻噪聲控制效果好、占用空間小和附加成本低等明顯優(yōu)點(diǎn)［1］，高度符合汽車舒適化、輕量化和智能化的發(fā)展趨勢(shì)，已成為汽車NVH（noise、vibration and harshness）控制的重要發(fā)展方向之一。發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲是車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)的主要研究對(duì)象。發(fā)動(dòng)機(jī)噪聲的階次特性決定了以自適應(yīng)陷波算法為主的窄帶前饋控制應(yīng)是一種較優(yōu)的控制算法［2］。目前人們對(duì)自適應(yīng)陷波算法的研究還很不足，缺乏對(duì)算法性能的評(píng)價(jià)指標(biāo)與有效的評(píng)價(jià)方法。這些不足將直接影響到基于自適應(yīng)陷波算法車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)的正向設(shè)計(jì)與優(yōu)化。

影響自適應(yīng)算法性能的因素主要包濾波器階數(shù)、次級(jí)通路、輸入信號(hào)、權(quán)值的收斂方式、收斂系數(shù)（步長）等。濾波器的階數(shù)要根據(jù)實(shí)際工況決定。若階數(shù)選取的太小，則會(huì)引起額外誤差；若階數(shù)選取太大，則會(huì)大幅增加計(jì)算復(fù)雜度［3-4］。采用變階數(shù)最小均方值（least mean square，LMS）算法，例如分段濾波 LMS（segmented filter LMS，SGLMS）［5］、梯度下降 LMS（gradient descent LMS，GDLMS）［6］以及分?jǐn)?shù)階數(shù) LMS（fractional tap-length LMS，F(xiàn)TLMS）［7］不僅可以使得算法的計(jì)算復(fù)雜度和穩(wěn)態(tài)誤差降低，而且還能提高收斂速度［3］。

Zhang法為現(xiàn)在主要應(yīng)用的在線建模方法，通過發(fā)出白噪聲信號(hào)對(duì)次級(jí)通路進(jìn)行實(shí)時(shí)辨識(shí)更新［8-9］，但是目前缺乏次級(jí)通路特征對(duì)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的影響分析。

收斂系數(shù)決定自適應(yīng)過程收斂還是發(fā)散，并且與收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差密切相關(guān)。采用變步長算法，能提升算法的性能。根據(jù)不同權(quán)值的收斂系數(shù)是否變化一致，變步長又分為一致變步長與非一致變步長。一致變步長LMS（variable step size LMS，VSSLMS）的收斂系數(shù)變化機(jī)制，可以由輸入信號(hào)、誤差信號(hào)、梯度信號(hào)或者最優(yōu)算法決定［10-14］。非一致變步長算法對(duì)于不同大小的權(quán)值采用不同大小的收斂系數(shù)，以提高收斂速度。文獻(xiàn)［15］提出了一種變步長的LMS算法，利用雙曲正切函數(shù)建立了步長和誤差信號(hào)的關(guān)系，提高了算法的收斂速度。文獻(xiàn)［3］提出了用于未知濾波器脈沖響應(yīng)序列具有指數(shù)衰減包絡(luò)的可變步長的LMS算法，在每次迭代時(shí)將最優(yōu)值和自適應(yīng)濾波器權(quán)值向量之間的均方根偏差最小化，比傳統(tǒng)算法具有更快的收斂速度。文獻(xiàn)［16］提出了一種改進(jìn)的變步長LMS算法，建立了收斂系數(shù)μ和誤差信號(hào)e之間的一種新的非線性函數(shù)關(guān)系，使得算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的性能有所提高。

自適應(yīng)陷波算法影響因素分析的結(jié)果，將有助于工程師利用相關(guān)優(yōu)化算法，對(duì)算法的關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而在軟件上實(shí)現(xiàn)對(duì)車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。但是目前仍然缺乏次級(jí)通路特征、采樣頻率、算法通道數(shù)參數(shù)等對(duì)算法性能的影響分析。在此背景下，本文提出一種數(shù)學(xué)變化，將自適應(yīng)陷波算法轉(zhuǎn)換為與之等價(jià)的離散空間狀態(tài)方程，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)算法性能準(zhǔn)確客觀的估計(jì)，并對(duì)其影響因素進(jìn)行了分析。最后通過實(shí)驗(yàn)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 多通道自適應(yīng)陷波算法

自適應(yīng)陷波算法由陷波濾波器和自適應(yīng)算法兩部分構(gòu)成。采用自適應(yīng)陷波算法的汽車內(nèi)多通道主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)如圖1所示。該系統(tǒng)中有N個(gè)揚(yáng)聲器；M個(gè)麥克風(fēng)；需要控制P個(gè)頻率。d（n）表示初級(jí)噪聲信號(hào)，假設(shè)初級(jí)噪聲中只包括陷波器所消除的頻率成分；Hs表示次級(jí)聲信號(hào)由揚(yáng)聲器傳遞至麥克風(fēng)的次級(jí)通路。

圖1 多通道自適應(yīng)陷波算法系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of multi-channel adaptive notch algorithm

多通道自適應(yīng)陷波算法的表達(dá)式為

式中：x為參考信號(hào)；X為重構(gòu)后的參考信號(hào)；w為自適應(yīng)算法所調(diào)節(jié)的權(quán)重系數(shù)；y為揚(yáng)聲器的輸出；s為揚(yáng)聲器輸出y通過次級(jí)通路傳遞后的輸出；d為初級(jí)噪聲信號(hào)；a為各個(gè)麥克風(fēng)位置初級(jí)噪聲各個(gè)頻率成分正弦與余弦分量的含量；e為誤差信號(hào)，也就是麥克風(fēng)測(cè)量的信號(hào)。

根據(jù)最速下降法可以得到的權(quán)矢量迭代公式為

式中：μ為收斂系數(shù)，可以控制系統(tǒng)的收斂速度；R為濾波后的參考信號(hào)；H^s表示對(duì)Hs的估計(jì)。為了降低運(yùn)算量，利用離散傅里葉變化對(duì)式（3）進(jìn)行簡(jiǎn)化，令

定義

則式（3）可以轉(zhuǎn)化為

式中：

A^mp的獲取可以通過對(duì)次級(jí)通路Hs的單位脈沖響應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，然后進(jìn)行傅里葉變換。將A^mp離線獲得后存入控制器中，可以大大提高算法求解R的運(yùn)算效率。

1.1 目標(biāo)函數(shù)與最優(yōu)加權(quán)矢量

自適應(yīng)陷波算法的控制目標(biāo)為使誤差信號(hào)e的模的期望值達(dá)到最小，即優(yōu)化目標(biāo)J達(dá)到最小。

假設(shè)當(dāng)J達(dá)到最小值時(shí)，w(n)≡w0，參考式（6），令

又因?yàn)镋[XXT]=E/2，把式（9）代入式（8），目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為

并且當(dāng)w=wo=-(AmpT)+a時(shí)，J取得最小值。此時(shí)

1.2 自適應(yīng)陷波器的等價(jià)離散狀態(tài)空間方程

1.2.1 狀態(tài)方程的建立

為了便于理論推導(dǎo)，定義

將R和e代入權(quán)矢量的迭代公式，并由以上的簡(jiǎn)化定義，收斂方程變?yōu)?/p>

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，定義

根據(jù)式（16）～（20）的簡(jiǎn)化定義，則收斂方程（15）可以轉(zhuǎn)化為

該方程是一個(gè)離散時(shí)變系統(tǒng)，為了便于分析，可以通過坐標(biāo)變換將它變?yōu)橐粋€(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。定義坐標(biāo)變換為

經(jīng)過坐標(biāo)變換后，收斂方程變?yōu)?/p>

式（23）即為自適應(yīng)陷波算法等價(jià)離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

1.2.2 輸出方程的建立

由式（1）可以推得

為了進(jìn)一步簡(jiǎn)化，定義

將式（9）和式（12）代入式（24），根據(jù)式（25）和式（26）的簡(jiǎn)化定義，并通過式（22）進(jìn)行線性變換可得

式（27）即為自適應(yīng)陷波算法等價(jià)離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的輸出方程。

則自適應(yīng)陷波算法等價(jià)離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為

2 自適應(yīng)陷波器收斂速度的理論推導(dǎo)和影響因素分析

2.1 收斂速度的理論推導(dǎo)

如果自適應(yīng)陷波算法的目標(biāo)函數(shù)J=0，即假設(shè)系統(tǒng)可以完全收斂，將AmpT(AmpT)+a=a這一條件帶入式（20），使得B=0，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)?/p>

假設(shè)ACT可以對(duì)角化（若不能對(duì)角化，則可以進(jìn)行若當(dāng)分解，推得相同的結(jié)論），即存在可逆矩陣D與對(duì)角矩陣Λ=diag(λ1，λ2，…，λ2PN(K+1))，使得

將式（30）帶入式（29），并在等號(hào)兩邊取二范數(shù)，根據(jù)二范數(shù)定義和相容原理可以推得

式中，：ρ(·)為矩陣的譜半徑，系統(tǒng)指數(shù)收斂。進(jìn)一步可以提取出該指數(shù)收斂系統(tǒng)的收斂率α為

式中：fs為系統(tǒng)的采樣頻率。收斂率α是評(píng)價(jià)自適應(yīng)陷波算法的重要指標(biāo)，若α＞0，則系統(tǒng)收斂，且α越大，收斂速度越快。為了更加直觀反映系統(tǒng)收斂速度，定義系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)τ為

時(shí)間常數(shù)τ的物理意義是，系統(tǒng)收斂曲線與縱軸交點(diǎn)處的切線與時(shí)間軸的交點(diǎn)，如圖2所示。當(dāng)過去τ時(shí)刻以后，系統(tǒng)可以收斂到原來的37%；當(dāng)過去3τ時(shí)刻，系統(tǒng)可以收斂到原來的5%，一般此時(shí)認(rèn)為系統(tǒng)已經(jīng)完全收斂，因此，一般把3τ稱為系統(tǒng)的收斂時(shí)間。

為了驗(yàn)證算法的正確性，本文選取4麥克風(fēng)4揚(yáng)聲器車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真。系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣采用實(shí)際測(cè)量得到的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)同時(shí)控制發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1時(shí)的2階與4階噪聲（100 Hz與200 Hz）。對(duì)比收斂系數(shù)μ=2×10-3與μ=2×10-4收斂特性上的差別。

通過理論計(jì)算，發(fā)現(xiàn)μ=2×10-3和μ=2×10-4時(shí)，系統(tǒng)的收斂時(shí)間分別為3τ=11.6 s和3τ=116.1s。與圖3和圖4所示的仿真結(jié)果完全一致，證明這種分析計(jì)算方法可行。

圖2 時(shí)間常數(shù)的意義Fig.2 Meaning of time constant

圖3 收斂系數(shù)等于2×10-3時(shí)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation result at a convergence coefficient of 2×10-3

圖4 收斂系數(shù)等于2×10-4時(shí)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation result at a convergence coefficient of 2×10-4

2.2 收斂速度的影響因素

使用式（32）所示自適應(yīng)陷波器的收斂率α來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的收斂速度，分別研究算法收斂系數(shù)、陷波頻率數(shù)、算法通道數(shù)、次級(jí)通路特性、參考信號(hào)特性對(duì)收斂率α的影響。

2.2.1 收斂系數(shù)的影響

收斂系數(shù)μ是影響收斂率最大的因素，也是最容易控制的系統(tǒng)參數(shù)。

在一般情況下，A2與CT乘積的譜半徑不等于0。同時(shí)，A1與CT乘積的譜半徑等于1，所以有以下結(jié)論

式（34）、（35）說明，當(dāng)收斂系數(shù)μ接近0時(shí)，系統(tǒng)收斂會(huì)越來越慢，直至停止；當(dāng)收斂系數(shù)μ越來越大時(shí)，系統(tǒng)必然會(huì)在某一時(shí)刻發(fā)散，并且發(fā)散的劇烈程度會(huì)隨著μ的繼續(xù)增大而越來越嚴(yán)重。

以2揚(yáng)聲器2麥克風(fēng)系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真，算法同時(shí)控制發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1時(shí)的2階與4階噪聲，分析收斂率α隨著收斂系數(shù)μ的變化情況。結(jié)果如圖5所示。

圖5 收斂率α隨收斂系數(shù)μ的變化Fig.5 Convergence rate versus convergence factor

分析發(fā)現(xiàn)，隨著收斂系數(shù)的減小，收斂率會(huì)越來越?。蝗绻諗肯禂?shù)增大，當(dāng)收斂系數(shù)增大到約0.103時(shí)，系統(tǒng)就會(huì)不收斂，并且伴隨著系數(shù)繼續(xù)增大，系統(tǒng)的發(fā)散情況會(huì)不斷惡化。當(dāng)收斂系數(shù)等于0.07時(shí)，系統(tǒng)的收斂速度是最快的。每一個(gè)系統(tǒng)都對(duì)應(yīng)了這么一個(gè)最大收斂率與最優(yōu)收斂系數(shù)，最大收斂率表征系統(tǒng)收斂所能達(dá)到的最大速度，是評(píng)價(jià)系統(tǒng)好壞的最重要指標(biāo)。

2.2.2 算法陷波頻率數(shù)的影響

本節(jié)分析只消除一個(gè)噪聲的降噪效果。仍然使用2.2.1節(jié)中的系統(tǒng)，但是只控制發(fā)動(dòng)機(jī)的2階（100 Hz）或者4階（200 Hz）噪聲。分析結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同陷波頻率數(shù)的收斂率隨收斂系數(shù)的變化Fig.6 Convergence rate of different notch frequencies versus convergence factor

由圖6可知，同時(shí)控制兩個(gè)頻率噪聲時(shí)系統(tǒng)的收斂速度近似等于系統(tǒng)控制單個(gè)頻率時(shí)收斂較慢的系統(tǒng)的收斂速度。為了讓控制兩個(gè)頻率噪聲的系統(tǒng)擁有和控制一個(gè)頻率噪聲的系統(tǒng)相近的降噪速度，可以使用非一致算法，也就是對(duì)應(yīng)于分管不同頻率的權(quán)矢量W，對(duì)應(yīng)于不同的收斂系數(shù)μ。

具體的實(shí)現(xiàn)方法，是將收斂方程（2）中的收斂系數(shù)μ，更換為收斂系數(shù)矩陣μ，并且有

其中，μi對(duì)應(yīng)于控制第i個(gè)頻率所希望使用的收斂系數(shù)。利用相同的方法，就可以很容易推導(dǎo)出使用收斂系數(shù)矩陣時(shí)系統(tǒng)的降噪性能。

由圖6可知，只控制頻率為100 Hz或200 Hz的陷波器系統(tǒng)的最優(yōu)收斂系數(shù)大約分別為0.047 3和0.225 4。因此，把這兩個(gè)數(shù)值帶入控制兩個(gè)頻率的系統(tǒng)中，結(jié)果如圖7中點(diǎn)劃線所示，發(fā)現(xiàn)此時(shí)系統(tǒng)的收斂率為11.78，收斂速度仍然比控制單頻率的系統(tǒng)慢，但是已經(jīng)明顯快于使用收斂系數(shù)標(biāo)量的系統(tǒng)。

仿真結(jié)果證明，當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)控制兩個(gè)頻率的噪聲時(shí)，兩個(gè)頻率上系統(tǒng)的降噪會(huì)互相影響，從而影響到他們收斂的速度。因此，利用自適應(yīng)陷波算法收斂階次噪聲的時(shí)候，控制的頻率不宜太多。

2.2.3 算法通道數(shù)的影響

圖7 使用非一致收斂系數(shù)的系統(tǒng)Fig.7 Systems using non-uniform convergence coefficients

使用多個(gè)揚(yáng)聲器和麥克風(fēng)，可以顯著增強(qiáng)車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)的空間降噪范圍，但是這將對(duì)系統(tǒng)的收斂速度產(chǎn)生很大的影響。對(duì)比了1揚(yáng)聲器1麥克風(fēng)系統(tǒng)與4揚(yáng)聲器4麥克風(fēng)系統(tǒng)的降噪速度，兩個(gè)系統(tǒng)都只控制發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1時(shí)的2階（100 Hz）噪聲。結(jié)果圖8所示。

圖8 收斂率隨通道數(shù)的變化Fig.8 Convergence rate versus number of channels

由圖8可以發(fā)現(xiàn)，4揚(yáng)聲器4麥克風(fēng)系統(tǒng)的最快收斂速度明顯低于1揚(yáng)聲器1麥克風(fēng)系統(tǒng)。這說明，在車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)硬件匹配的時(shí)候，必須酌情權(quán)衡系統(tǒng)收斂速度和系統(tǒng)降噪范圍之間的矛盾關(guān)系。

2.2.4 次級(jí)通路特性的影響

對(duì)于單通道自適應(yīng)濾波算法，當(dāng)次級(jí)通路為純延時(shí)系統(tǒng)時(shí)，次級(jí)通路的延時(shí)越大，系統(tǒng)收斂越緩慢［18］。另外，對(duì)次級(jí)通路矩陣乘以一個(gè)標(biāo)量常數(shù)，并不會(huì)影響到系統(tǒng)的最快收斂速度（僅僅改變最優(yōu)收斂系數(shù)的大?。?。這些結(jié)論對(duì)于多通道自適應(yīng)陷波也是成立的。但是，對(duì)于多通道系統(tǒng)而言，次級(jí)通路矩陣不僅可以乘以一個(gè)標(biāo)量，也可以左乘或右乘一個(gè)矩陣。譬如認(rèn)為調(diào)高揚(yáng)聲器和麥克風(fēng)的靈敏度，就可以分別增大傳遞函數(shù)矩陣對(duì)應(yīng)的行和列。

對(duì)4揚(yáng)聲器4麥克風(fēng)系統(tǒng)進(jìn)行分析，系統(tǒng)只控制發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1時(shí)的2階（100 Hz）噪聲。其中一個(gè)系統(tǒng)采用原始的傳遞函數(shù)，另一個(gè)分別對(duì)系統(tǒng)前排麥克風(fēng)和后排揚(yáng)聲器的敏感度進(jìn)行翻倍。結(jié)果如圖9所示。

圖9 收斂率隨次級(jí)通路的變化Fig.9 Convergence rate versus secondary pathways

由圖9可以發(fā)現(xiàn)，這種加權(quán)行為降低了系統(tǒng)最快的收斂速度。但是，這種行為是完全可逆的。

2.2.5 參考信號(hào)特性的影響

自適應(yīng)陷波算法的參考信號(hào)是諧波數(shù)列，相位都為0，幅值均為1。為了驗(yàn)證一般性的參考信號(hào)，假設(shè)系統(tǒng)的參考信號(hào)為

可逆矩陣H是一種旋轉(zhuǎn)矩陣，滿足

把式（37）代入式（18）可得

由式（39）可以認(rèn)為，改變參考信號(hào)相當(dāng)于系統(tǒng)的次級(jí)傳遞函數(shù)發(fā)生了改變。又因?yàn)樘囟ㄏ到y(tǒng)的收斂速度僅和A2、μ與fs有關(guān)，因此可以得出結(jié)論，參考信號(hào)對(duì)于系統(tǒng)收斂速度的影響等同于次級(jí)傳遞函數(shù)對(duì)于系統(tǒng)收斂速度的影響。相對(duì)于改變揚(yáng)聲器麥克風(fēng)的加權(quán)值只能更改次級(jí)通路傳遞函數(shù)矩陣行向量列向量的方法，通過改變參考信號(hào)改變次級(jí)通路的方式自由度更高，也更能夠挖掘出自適應(yīng)陷波器的最優(yōu)性能。

3 自適應(yīng)陷波器穩(wěn)態(tài)誤差的理論推導(dǎo)和影響因素分析

3.1 穩(wěn)態(tài)誤差的理論推導(dǎo)

穩(wěn)態(tài)誤差分析的前提是系統(tǒng)收斂，如果系統(tǒng)不收斂，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)越來越大，沒有所謂穩(wěn)態(tài)。假設(shè)系統(tǒng)收斂時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)空間V（n）滿足

J是一個(gè)待定矩陣。將該假設(shè)帶入系統(tǒng)（28）的狀態(tài)方程內(nèi)，求取待定矩陣J可知，它是李雅普諾夫方程

的解。將式（41）代入系統(tǒng)輸出方程式（27）中，獲得系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的輸出

定義

為自適應(yīng)陷波器的穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)，其物理意義是自適應(yīng)陷波器對(duì)于車內(nèi)噪聲的傳遞函數(shù)的范數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差增益β是評(píng)價(jià)自適應(yīng)陷波算法的重要指標(biāo)，β越小，則系統(tǒng)對(duì)車內(nèi)噪聲的抑制作用越好。若系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)J=0，則β=0。

通過理論公式推導(dǎo)和仿真可以得出

因此可以得出

由范數(shù)相容原理可以得到

由于不等號(hào)的存在，無法通過仿真的手段，利用式（46）計(jì)算β的值。因此，只有利用式（45）通過理論計(jì)算的方法，才能客觀評(píng)估系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的性能。

3.2 穩(wěn)態(tài)誤差的影響因素分析

由式（45）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)自適應(yīng)陷波算法收斂時(shí)，它的穩(wěn)態(tài)誤差性能僅僅同算法的參考信號(hào)X(0)和次級(jí)通路傳遞函數(shù)Amp有關(guān)，和算法的收斂系數(shù)、采樣頻率沒有關(guān)系。

使用式（45）所示的自適應(yīng)陷波器輸出方程和穩(wěn)態(tài)誤差增益β來評(píng)價(jià)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，分別研究算法陷波頻率數(shù)、算法通道數(shù)、次級(jí)通路特性、參考信號(hào)特性對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的影響。

3.2.1 算法陷波頻率數(shù)的影響

以2揚(yáng)聲器4麥克風(fēng)系統(tǒng)為例分析，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1，算法只控制100 Hz、200 Hz或者同時(shí)控制100 Hz與200 Hz的噪聲。計(jì)算他們的穩(wěn)態(tài)誤差增益G1、G2和G3。由于同時(shí)控制2個(gè)頻率時(shí)系統(tǒng)的G3矩陣維數(shù)會(huì)產(chǎn)生變化。因此，分別截取G3矩陣中有關(guān)100 Hz與200 Hz的分量進(jìn)行對(duì)比，獲得G3_100Hz和G3_200Hz。對(duì)他們?nèi)《稊?shù)得到β1、β2、β3、β3_100Hz和β3_200Hz。結(jié)果如表1所示。

表1 穩(wěn)態(tài)誤差增益隨陷波頻率數(shù)的變化Tab.1 Steady-state error gain versusnotch frequency

如表1所示，雖然同時(shí)控制兩個(gè)頻率時(shí)，系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差增益發(fā)生增長，但是細(xì)看每個(gè)頻率的部分，系統(tǒng)對(duì)每個(gè)頻率的降噪效果與系統(tǒng)單獨(dú)控制一個(gè)頻率的降噪效果完全相同。

3.2.2 算法通道數(shù)的影響

本節(jié)以1揚(yáng)聲器系統(tǒng)為例，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1，算法只控制100 Hz的噪聲，對(duì)比使用不同個(gè)數(shù)麥克風(fēng)時(shí)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)。在評(píng)價(jià)的時(shí)候，本文只截取G矩陣中關(guān)于前排麥克風(fēng)的行，計(jì)算它的穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)。結(jié)果如表2所示。

表2 穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)隨麥克風(fēng)數(shù)量的變化Tab.2 Steady-state error gain versus number of microphones

計(jì)算發(fā)現(xiàn)，隨著麥克風(fēng)數(shù)量的增加，系統(tǒng)的降噪效果會(huì)慢慢下降。說明每增加一個(gè)麥克風(fēng)，就會(huì)分擔(dān)揚(yáng)聲器的一部分降噪能力。實(shí)際系統(tǒng)硬件布放時(shí)，麥克風(fēng)數(shù)量不應(yīng)比揚(yáng)聲器數(shù)量多太多。

以4麥克風(fēng)系統(tǒng)為例，算法只控制100 Hz的噪聲。計(jì)算使用不同個(gè)數(shù)揚(yáng)聲器對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)。結(jié)果如表3所示。

由表3可知，當(dāng)揚(yáng)聲器數(shù)量逐漸接近麥克風(fēng)數(shù)量時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)會(huì)逐漸降低。從另一方面驗(yàn)證了麥克風(fēng)數(shù)量不應(yīng)比揚(yáng)聲器數(shù)量多太多這一結(jié)論。

表3 穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)隨揚(yáng)聲器數(shù)量的變化Tab.3 Steady-state error gain versus number of speakers

3.2.3 次級(jí)通路特性的影響

通過對(duì)麥克風(fēng)和揚(yáng)聲器進(jìn)行加權(quán)，可以控制降噪?yún)^(qū)的噪聲能量分布，以此來改變系統(tǒng)的收斂性能。

以2揚(yáng)聲器4麥克風(fēng)為例分析，算法只控制發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3000 r·min-1時(shí)100 Hz的噪聲。對(duì)后排的兩個(gè)麥克風(fēng)進(jìn)行加權(quán)，結(jié)果如表4所示。

表4 穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)隨麥克風(fēng)加權(quán)的變化Tab.4 Steady-state error gain versus microphone weight

從降噪效果可以看出，加權(quán)以后，整體的穩(wěn)態(tài)誤差改變不大。但是，前排的穩(wěn)態(tài)誤差略有增大，后排的穩(wěn)態(tài)誤差略有減小。這說明，對(duì)麥克風(fēng)進(jìn)行加權(quán)的確可以起到改變系統(tǒng)收斂性能的作用。

同樣的，對(duì)揚(yáng)聲器進(jìn)行加權(quán)。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，對(duì)揚(yáng)聲器進(jìn)行加權(quán)，完全不會(huì)改變車內(nèi)聲場(chǎng)的分布情況。這是因?yàn)閷?duì)揚(yáng)聲器進(jìn)行加權(quán)，相當(dāng)于對(duì)傳遞函數(shù)矩陣Amp左乘一個(gè)可逆對(duì)角陣，此時(shí)式（45）變成

因此，對(duì)揚(yáng)聲器進(jìn)行加權(quán)的行為對(duì)車內(nèi)聲場(chǎng)分布完全沒有影響。

3.2.4 參考信號(hào)特征的影響

將一般性信號(hào)變化公式（37）代入自適應(yīng)陷波器目標(biāo)函數(shù)（8），可得

于是最優(yōu)加權(quán)矢量變?yōu)?/p>

由于假定了H為可逆矩陣，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增益系數(shù)β則會(huì)變?yōu)?/p>

因此得到結(jié)論，改變參考信號(hào)特征等同于對(duì)揚(yáng)聲器進(jìn)行加權(quán)，對(duì)車內(nèi)聲場(chǎng)分布完全沒有影響。

4 基于實(shí)驗(yàn)的噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)性能分析

4.1 車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)構(gòu)建

本文建立的車內(nèi)噪聲主動(dòng)控制系統(tǒng)由兩部分組成，一部分是基于dSPACE（實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)）的硬件在環(huán)平臺(tái)，用于自適應(yīng)陷波算法的算法實(shí)現(xiàn)。另一部分為基于DASP（信號(hào)測(cè)量設(shè)備）的降噪效果測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，用于測(cè)量車內(nèi)噪聲。

4.1.1 基于dSPACE的硬件在環(huán)平臺(tái)搭建

車內(nèi)噪聲主動(dòng)消聲實(shí)驗(yàn)平臺(tái)以dSPACE實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)為核心，對(duì)外圍的軟硬件進(jìn)行合理配置，如圖10所示。

圖10 快速控制原型實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.10 Rapid control prototype test platform

硬件在環(huán)平臺(tái)包括MicroAutobox、揚(yáng)聲器系統(tǒng)和麥克風(fēng)模塊。本文使用的揚(yáng)聲器為原車的4個(gè)車載揚(yáng)聲器，麥克風(fēng)布置在座位頭枕上，與測(cè)試位置相同，如圖11所示。

4.1.2 基于DASP的降噪效果測(cè)量實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建

為了評(píng)價(jià)主動(dòng)消聲系統(tǒng)對(duì)乘員艙內(nèi)的降噪效果，在車內(nèi)布置了聲壓傳感器測(cè)量車內(nèi)噪聲，測(cè)點(diǎn)位置按照《聲學(xué)汽車車內(nèi)噪聲測(cè)量方法》（GBT 18697—2002）規(guī)定的傳聲器布放位置進(jìn)行布放，在座椅頭枕側(cè)面，乘員耳旁共布置4個(gè)測(cè)點(diǎn)，分別為測(cè)點(diǎn)1、測(cè)點(diǎn)2、測(cè)點(diǎn)3、測(cè)點(diǎn)4，具體位于駕駛員座、副駕座、左后座、右后座，如圖11所示。

圖11 系統(tǒng)測(cè)點(diǎn)布置Fig.11 Layout of system measuring points

4.1.3 次級(jí)噪聲傳遞函數(shù)估計(jì)

對(duì)于搭載于實(shí)車上的主動(dòng)消聲系統(tǒng)來說，次級(jí)通路主要包含控制器外圍電路、功放/揚(yáng)聲器（次級(jí)聲源）、乘員艙聲腔、麥克風(fēng)（誤差傳感器）幾個(gè)環(huán)節(jié)，信號(hào)的傳遞關(guān)系如圖12所示。

在主動(dòng)消聲系統(tǒng)的控制算法中，次級(jí)通路通常使用單位脈沖響應(yīng)函數(shù)來建模。為此，可以通過控制器輸出限帶寬白噪聲信號(hào)y（次級(jí)通路輸入信號(hào)），然后獲得麥克風(fēng)輸出信號(hào)e（次級(jí)通路輸出信號(hào)），利用輸入、輸出信號(hào)通過相關(guān)辨識(shí)法［17］來計(jì)算次級(jí)通路的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

圖12 系統(tǒng)次級(jí)通路傳遞函數(shù)構(gòu)成Fig.12 Transfer function composition of the secondary path of the system

4.2 基于實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)性能分析

4.2.1 陷波頻率數(shù)對(duì)收斂速度的影響

第2節(jié)的仿真中發(fā)現(xiàn)，陷波頻率數(shù)越多，系統(tǒng)的收斂速度就會(huì)越慢。本小節(jié)采用2揚(yáng)聲器2麥克風(fēng)系統(tǒng)，發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min－1，收斂系數(shù)取μ=2×10-2。通過實(shí)驗(yàn)，分析同時(shí)控制發(fā)動(dòng)機(jī)的2階和4階頻率、只控制2階頻率和只控制4階頻率的系統(tǒng)的收斂時(shí)間。結(jié)果如圖13所示。

圖13 陷波頻率數(shù)對(duì)收斂速度的影響Fig.13 Effect of frequency number of notch wave on convergence rate

由圖13可以看出，只控制2階頻率時(shí)，系統(tǒng)的收斂時(shí)間大約為1.0 s。只控制4階頻率和同時(shí)控制兩個(gè)頻率時(shí)，系統(tǒng)的收斂時(shí)間大致相同，均為1.5 s。此實(shí)驗(yàn)說明當(dāng)系統(tǒng)控制多個(gè)頻率時(shí)，收斂速度會(huì)慢于只控制單個(gè)頻率的系統(tǒng)，并且收斂速度近似等于系統(tǒng)控制單個(gè)頻率時(shí)收斂速度較慢的系統(tǒng)。

4.2.2 通道數(shù)對(duì)收斂速度的影響

采用1揚(yáng)聲器1麥克風(fēng)系統(tǒng)和4揚(yáng)聲器4麥克風(fēng)系統(tǒng)分別進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分析通道數(shù)對(duì)收斂速度的影響。發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為3 000 r·min-1，只控制發(fā)動(dòng)機(jī)的2階噪聲，收斂系數(shù)對(duì)應(yīng)的取μ=5×10-3和μ=2×10-1。結(jié)果如圖14所示。

圖14 通道數(shù)對(duì)收斂速度的影響Fig.14 Effect of channel number of notch wave on convergence rate

由圖14可以看出，1揚(yáng)聲器1麥克風(fēng)系統(tǒng)的收斂時(shí)間大概需要0.5 s。而4揚(yáng)聲器4麥克風(fēng)系統(tǒng)的收斂時(shí)間則大約需要2.5 s，收斂速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1揚(yáng)聲器1麥克風(fēng)系統(tǒng)。由此說明了通道數(shù)越多，系統(tǒng)的收斂速度越慢。

5 結(jié)論

首先建立了自適應(yīng)陷波算法的等價(jià)離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，并利用該方程建立了系統(tǒng)收斂性能與穩(wěn)態(tài)誤差的評(píng)價(jià)指標(biāo)：收斂率和穩(wěn)態(tài)誤差增益。

針對(duì)這兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，分別研究了算法收斂系數(shù)、陷波頻率數(shù)、算法采樣頻率、算法通道數(shù)、次級(jí)通路特性、參考信號(hào)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并且通過實(shí)車實(shí)驗(yàn)對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

5.1 收斂速度的影響因素分析

（1）當(dāng)收斂系數(shù)為0時(shí)，系統(tǒng)不收斂也不發(fā)散；當(dāng)收斂系數(shù)超過某個(gè)值時(shí)，系統(tǒng)將發(fā)散，并且收斂系數(shù)越大，發(fā)散情況越嚴(yán)重；系統(tǒng)存在一個(gè)最優(yōu)收斂系數(shù)使得系統(tǒng)的收斂速度最快。

（2）控制多個(gè)頻率時(shí)，系統(tǒng)的收斂速度近似等于收斂單個(gè)頻率最慢的系統(tǒng)?？梢岳梅且恢滤惴ㄌ嵘到y(tǒng)收斂速度。

（3）增加麥克風(fēng)和揚(yáng)聲器的數(shù)量，會(huì)減慢系統(tǒng)收斂的速度。

（4）通過對(duì)揚(yáng)聲器麥克風(fēng)進(jìn)行加權(quán)，或通過其他方式改變次級(jí)通路，都可能改變系統(tǒng)的收斂速度，并且這種行為是可逆的。

（5）改變參考信號(hào)對(duì)系統(tǒng)收斂速度的影響等同于改變系統(tǒng)的次級(jí)通路。

5.2 穩(wěn)態(tài)誤差的影響因素分析

（1）系統(tǒng)同時(shí)控制多個(gè)頻率時(shí)，對(duì)某個(gè)頻率的穩(wěn)態(tài)誤差等同于系統(tǒng)單獨(dú)控制這個(gè)頻率的穩(wěn)態(tài)誤差。

（2）增加麥克風(fēng)數(shù)量，系統(tǒng)對(duì)某一個(gè)麥克風(fēng)位置的穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)升高；增加揚(yáng)聲器數(shù)量，系統(tǒng)對(duì)某一個(gè)麥克風(fēng)位置的穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)降低。

（3）對(duì)麥克風(fēng)加權(quán)，權(quán)重高的麥克風(fēng)附近穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)降低。對(duì)揚(yáng)聲器加權(quán)不影響穩(wěn)態(tài)誤差。

（4）收斂系數(shù)、采樣頻率和參考信號(hào)特征對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差沒有影響。