2020年高考數(shù)學(xué)模擬試卷一

本刊試題研究組

一、填空題（本大題共14小題，每題5分，共70分）

1.已知全集U={1，2，3}，A={2}，則瘙 綂

UA=______.

2.已知復(fù)數(shù)z=m-i1+i（m∈R，i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為______.

3.某學(xué)校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為5∶5∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高三年級為12人，則抽取的樣本容量為______人.

4.一個算法的偽代碼如圖所示，執(zhí)行此算法，最后輸出的T的值為______.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則雙曲線的離心率為______.

6.將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點(diǎn)的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和大于9的概率為______.

7.已知變量x，y滿足約束條件|2x+y-2|≤1，x≥0，y≥0，則x-2y+1的最大值為______.

8.已知角α+π6的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（-1，-22），則sinα=______.

9.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠CAB=90°，AC=AB=2，CC1=2，P是BC1的中點(diǎn)，則三棱錐CA1C1P的體積為______.

10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，且滿足Sn=an+1，則數(shù)列{Sn}的前10項的和為______.

11.已知函數(shù)f（x）=2x2+4x+1，x<0，1ex，x≥0，若函數(shù)h（x）=f（x）+12x-a恰有3個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值集合為______.

12.若等邊△ABC的邊長為2，其所在平面內(nèi)的兩個動點(diǎn)P，M滿足|AP|=1，PM=MB，則CM·CB的最大值為______.

13.已知正數(shù)a，b，c，d滿足1a+2b=1，2c+3d=2，則a+bcd的最小值為______.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A是圓C：（x-4）2+（y-1）2=92上一動點(diǎn)，點(diǎn)B是直線x-y+2=0上一動點(diǎn)，若∠AOB=90°，則OBOA的最小值為______.

二、解答題（本大題共6小題，共計90分）

15.（本小題滿分14分）

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且3cos（B+C）+2sin2A=0.

（1）求角A的大小;

（2）若B=π4，a=23，求邊長c.

16.（本小題滿分14分）

如圖，四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，AD=2BC，且∠BAD=∠BPA=90°，平面APB⊥底面ABCD，點(diǎn)M為PD的中點(diǎn).

（1）求證：CM∥平面PAB;

（2）求證：PB⊥PD.

17.（本小題滿分14分）

現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是圓錐，下部的形狀是圓柱（如圖所示），并要求圓柱的高是圓錐的高的2倍.

（1）若圓柱的底面圓的半徑為3m，倉庫的側(cè)面積為63πm2，則倉庫的容積是多少？

（2）若圓錐的母線長為6m，則當(dāng)PO1為多少時，倉庫的容積最大.

18.（本小題滿分16分）

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）過點(diǎn)P（2，0），且兩準(zhǔn)線間的距離為833.

（1）求橢圓的方程;

（2）已知B2，B1分別是橢圓的上、下頂點(diǎn)，過點(diǎn)E（0，12）的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，直線MB2與直線NB1的交于點(diǎn)T.

①若直線l的斜率為12，求點(diǎn)T的坐標(biāo);

②試問點(diǎn)T是否在某定直線上？若在定直線上，求出定直線方程;若不在定直線上，請說明理由.

19.（本小題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=x2+（a+2）x+aex（a∈R），g（x）=exf（x）.

（1）若A={x|g（x）≤9，x∈[a，+∞）}≠，求實數(shù)a的取值范圍;

（2）設(shè)f（x）的極大值為M，極小值為N，求MN的取值范圍.

20.（本小題滿分16分）

已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn=an·an+1·an+2（n∈N*），

（1）若數(shù)列{an}滿足a10=-2，a4，a14，a9成等比數(shù)列;

①求數(shù)列{an}的通項公式;

②數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，當(dāng)n多大時，Sn取最小值;

（2）若數(shù)列{cn}滿足cn=an+1an+2-a2n（n∈N*），且等差數(shù)列{an}的公差為13，存在正整數(shù)p，q，使得ap+cq是整數(shù)，求|a1|的最小值.

附加題

21.（本小題滿分10分）

已知直線l：x-y-1=0在矩陣M=2013對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：ax+by-2=0，求實數(shù)a，b的值.

22.（本小題滿分10分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l過點(diǎn)（2，0），且傾斜角為60°，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ2=4cos2θ+3sin2θ.

求：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程;

（2）直線l被曲線C截得的線段長.

23.（本小題滿分10分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是F（1，0）.

（1）求拋物線C的方程;

（2）過F（1，0）作兩條直線l1，l2分別交拋物線于A，B和C，D四點(diǎn)，且△ABD的面積是△ABC的面積的4倍，求直線l2的方程.

24.（本小題滿分10分）

設(shè)n≥4且n為正整數(shù)，從{1，2，…，n}中選出4個不同的數(shù)a，b，c，d使得a+d=b+c（不考慮a，b，c，d間的順序）的不同取法種數(shù)記為f（n），如f（4）=1，f（5）=3.

（1）求f（6）、f（7）;

（2）設(shè)n≥4，求f（n）.

參考答案

一、填空題

1.{1，3}

2.1

3.42

4.15

5.5

6.16

7.52

8.1-266

9.23

10.1023

11.{1，12+12ln2}

12.4

13.13+43

14.14

二、解答題

15.（1）在△ABC中，由A+B+C=π，

sin2A+cos2A=1及3cos（B+C）+2sin2A=0，

得：3cos（π-A）+2（1-cos2A）=0，

所以2cos2A+3cosA-2=0，

所以（2cosA-1）（cosA+2）=0，

因為cosA∈（-1，1），所以cosA=12，

因為A∈（0，π），所以A=π3.

（2）sinC=sin（π-A-B）=sin（A+B）

=sinAcosB+cosAsinB

=32×22+12×22=6+24，

在△ABC中，由正弦定理得：csinC=asinA，

所以c6+24=2332，所以c=6+2.

16.證明：（1）取AP的中點(diǎn)H，連接BH，HM，

因為H，M分別為AP，DP的中點(diǎn)，

所以HM=12AD且HM∥AD，

因為AD∥BC且AD=2BC，所以HM=BC且HM∥BC，

所以四邊形BCMH為平行四邊形，所以CM∥BH，

因為CM平面PAB，BH平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

（2）因為∠BAD=90°，所以BA⊥AD.

因為平面APB⊥平面ABCD，AD平面ABCD，平面APB∩平面ABCD=AB，

所以AD⊥平面APB，

因為PB平面PAB，所以PB⊥AD，

因為∠BPA=90°，所以PB⊥PA，

因為PA∩PD=P，PA，PD平面PAD，

所以PB⊥平面PAD，

因為PD平面PAD，所以PB⊥PD.

17.（1）解：設(shè)圓錐的高為hm，因為圓柱的高是圓錐的高的2倍，所以圓柱的高為2hm.

倉庫的側(cè)面積

S=12×2π×39+h2+2π×3×2h=63π，

所以9+h2=21-4h，所以9+h2=（21-4h）2，

所以5h2-56h+144=（h-4）（5h-36）=0，

所以h=4或h=365，

當(dāng)h=365時，21-4h<0，所以h=4m，

所以倉庫的容積為

13π×32×4+π×32×8=84πm2.

答：倉庫的容積是84πm2.

（2）設(shè)PO1為xm，圓柱的底面圓的半徑為rm.

倉庫的容積V=13×π×r2×x+π×r2×2x

=73πr2x=73π（-x3+36x），x∈（0，6），

設(shè)f（x）=-x3+36x，x∈（0，6），

令f′（x）=-3x2+36=0得：x=23，

x（0，23）23（23，6）

f′（x）+0-

f（x）↗極大值↘

所以x=23m時，倉庫的容積V取得極大值，也是最大值.

答：當(dāng)PO1為23m時，倉庫的容積最大.

18.（1）設(shè)橢圓的半焦距為c.

因為橢圓過點(diǎn)P（2，0），且兩準(zhǔn)線間的距離為833，

所以a=2，2×a2c=833，

所以a=2，c=3，b=a2-c2=1，

所以橢圓的方程為x24+y2=1.

（2）①設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

因為直線l的斜率為12，所以直線l的方程為

y=12x+12，

由x24+y2=1y=12x+12得：2x2+2x-3=0，

所以x1=-1-72，x2=-1+72，

由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1得：（y1-1x1-y2+1x2）x=-2，

所以x=2x1x2x1（y2+1）-x2（y1-1）

=2x1x2x1（x22+32）-x2（x12-12）

=4x1x23x1+x2=27-4，

y=y1-1x1（27-4）+1=x1-12x1（27-4）+1=2.

點(diǎn)T的坐標(biāo)為（27-4，2）.

②由x24+y2=1y=kx+12得：（1+4k2）x2+4kx-3=0，

所以x1+x2=-4k1+4k2，x1x2=-31+4k2，

由y=y1-1x1x+1y=y2+1x2x-1

得：

[x1（y2+1）-x2（y1-1）]y

=[x2（y1-1）+x1（y2+1）]，

所以y=[x2（y1-1）+x1（y2+1）][x1（y2+1）-x2（y1-1）]

=x1y2+x2y1-x2+x1x1y2-x2y1+x2+x1，

x1（kx2+12）+x2（kx1+12）-x2+x1x1（kx2+12）-x2（kx1+12）+x2+x1=4kx1x2+3x1-x23x1+x2

=4kx1x2-3（x1+x2）+6x1+2x23x1+x2

=4k-31+4k2-3-4k1+4k2+6x1+2x23x1+x2=2，

所以點(diǎn)T在直線y=2上.

19.（1）因為A={x|g（x）≤9，x∈[a，+∞）}≠，

所以函數(shù)g（x）=x2+（a+2）x+a的最小值小于等于9.

1°當(dāng)a≥-23時，函數(shù)g（x）的對稱軸為-a+22≤a，

所以g（x）min=g（a）=2a2+3a≤9，所以-3≤a≤32，

因為a≥-23，所以-23≤a≤32.

2°a<-23時，函數(shù)g（x）的對稱軸為-a+22>a，

所以g（x）min=-a2-44≤9恒成立，所以a<-23.

綜上：實數(shù)a的取值范圍為（-∞，32]

（2）f′（x）=-x2-ax+2ex，

設(shè)h（x）=-x2-ax+2，因為Δ=a2+8>0，

所以函數(shù)h（x）有兩個不同的零點(diǎn)，不妨設(shè)x1，x2且x1

x1+x2=-a，x1x2=-2.

當(dāng)x∈（-∞，x1）時，h（x）<0，函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)，

當(dāng)x∈（x1，x2）時，h（x）>0，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)，

當(dāng)x∈（x2，+∞）時，h（x）<0，函數(shù)f（x）為單調(diào)減函數(shù)，

所以當(dāng)x=x1時，函數(shù)f（x）取得極小值，當(dāng)x=x2時，函數(shù)f（x）取得極大值，

所以MN=f（x2）f（x1）=x22+（a+2）x2+ax21+（a+2）x1+aex1-x2

=2x2+a+22x1+a+2ex1-x2（*）

將x1+x2=-a代入（*）得：

MN=x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2，

設(shè)t=x1-x2=-（x1-x2）2

=-a2+8≤-22，

所以x2-x1+2x1-x2+2ex1-x2=2-tt+2et，

設(shè)Q（t）=2-tt+2et，t≤-22，

Q′（t）=-t2et（t+2）2<0，所以函數(shù)Q（t）在（-∞，22]上為單調(diào)減函數(shù)，

-（3+22）e-22≤Q（t）<0，

綜上：MN的取值范圍為[-（3+22）e-22，0）.

20.（1）①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，

因為a4，a14，a9成等比數(shù)列，

所以（-2+4d）2=（-2-6d）（-2-d），

所以d2-3d=0，因為d≠0，所以d=3，

所以an=a10+（n-10）d=3n-32.

②當(dāng)1≤n≤10時，an<0，當(dāng)n≥11時，an>0，

因為bn=an·an+1·an+2，

所以當(dāng)1≤n≤8時，bn<0，當(dāng)n≥11時，bn>0，

b9>0，b10<0，所以S1>S2>…>S8S10

所以Sn的最小值為S8或S10.

因為S10-S8=b9+b10=a10a11（a9+a12），

又因為a10<0，a11>0，a9+a12=-1<0，

所以S10-S8>0，

所以當(dāng)n=8時，Sn取最小值.

（2）cn=an+1an+2-a2n

=（an+13）（an+23）-a2n=an+29.

若存在正整數(shù)p，q，使得ap+cq是整數(shù)，

則ap+cq=a1+（p-1）×13+a1+（q-1）×13+29=2a1+p+q-23+29∈Z，

設(shè)m=2a1+p+q-23+29，m∈Z，

所以18a1=3（3m-p-q+1）+1是一個整數(shù)，

所以|18a1|≥1，從而|a1|≥118，

又當(dāng)a1=118時，有a1+c3=1∈Z.

綜上：|a1|的最小值為118.

附加題

21.解：設(shè)直線l上任意一點(diǎn)（x0，y0）在矩陣M變換作用下變?yōu)椋▁，y），

所以2013x0y0=xy，得：2x0=xx0+3y0=y.

因為ax+by-2=0，

所以（2a+b）x0+3by0-2=0（*）

（x0，y0）為直線l上任意一點(diǎn)，所以（*）與2x0-2y0-2=0為同一方程，

所以2a+b=23b=-2，所以a=43，b=-23.

22.（1）因為曲線C的極坐標(biāo)方程是

ρ2=4cos2θ+3sin2θ，

所以ρ2（cos2θ+3sin2θ）=ρ2（cos2θ-sin2θ+3sin2θ）=ρ2（cos2θ+2sin2θ），

因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x2+2y2=4，

所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x24+y22=1.

（2）因為直線l過點(diǎn)（2，0），且傾斜角為60°，

所以直線l的直角坐標(biāo)方程為y=3x-23，

將直線l與曲線C聯(lián)立方程組y=3x-23x24+y22=1，

得：7x2-24x+20=（7x-10）（x-2）=0，

所以x=2或x=107，

所以直線l與曲線C的交點(diǎn)為（2，0），（107，-437），

所以直線l被曲線C截得的線段長為（107-2）2+（-437）2=87.

23.（1）因為拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)是F（1，0），

所以p2=1，即p=2，

拋物線C的方程為y2=4x.

（2）設(shè)△ABD的面積為S1，△ABC的面積為S2，

因為∠AFD+∠BFD=180°，∠AFC+∠BFC=180°，

所以

S1S2=12×AF×DF×sin∠AFD+12×BF×DF×sin∠BFD12×AF×CF×sin∠AFC+12×BF×CF×sin∠BFC

=DFCF=4，

FD=4CF，設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），

所以x2-1=4（1-x1）y2=-4y1y21=4x1y22=4x2，

得：4y21=5-4x1y21=4x1，

所以5-4x1=16x1，所以x1=14，y1=±1，

所以直線l2的方程為4x+3y-4=0或4x-3y-4=0.

24.（1）因為1+4=2+3，1+5=2+4，1+6=2+5，

1+6=3+4，2+5=3+4，2+6=3+5，

3+6=4+5，所以f（6）=7;同理：f（7）=13.

（2）1°當(dāng)n≥4的偶數(shù)時，和a+d=b+c=s可以取以下值：5，6，…，n+1，…，2n-3，在s取定后，相應(yīng)的兩個最小的加數(shù)取值分別有：

C22，C22，C23，C23，…，C2n2-1，C2n2-1，C2n2，C2n2-1，C2n2-1，…，C22，C22種取法，

因此，共有4（C22+C23+…+C2n2-1）+C2n2=4C3n2+C2n2=n（n-2）（2n-5）24種取法.

2°當(dāng)n≥4的奇數(shù)時，和a+d=b+c=t可以取以下值：5，6，…，n+1，…，2n-3，在s取定后，相應(yīng)的兩個最小的加數(shù)取值分別有：

C22，C22，C23，C23，…，C2n-12，C2n-12，C2n-12，…，C22，C22種取法，

因此，共有4（C22+C23+…+C2n-12）-C2n-12=4C3n+12-C2n-12=（2n-1）（n-1）（n-3）24種取法.

綜上所述：f（n）=n（n-2）（2n-5）24，n=2k+2，（2n-1）（n-1）（n-3）24，n=2k+3（k∈N*）.