統(tǒng)計解題中經(jīng)典錯解剖析

李琳

統(tǒng)計是高中數(shù)學的重要內(nèi)容，每年的高考中都有涉及，統(tǒng)計解題中由于審題不嚴，考慮不周，忽視甚至挖掘不出題目的隱含條件，常會使解題感覺困難或產(chǎn)生錯誤.下面就一些常見的錯誤加以剖析，以幫助同學們避免出現(xiàn)同樣的錯誤.

一、不能正確區(qū)分總體、樣本、樣本容量

例1?為了了解2019年參加市運動會的240名運動員的身高情況，從中抽取40名運動員進行測量.下列說法正確的是（??）

A.總體是240名運動員

B.個體是每一名運動員

C.40名運動員的身高是一個個體

D.樣本容量是40

錯解：選擇A、B、C中的一個.

剖析：對于選項A、B，對總體、個體、樣本的概念把握不準，誤將考察的對象當作運動員;對于選項C，把個體和樣本混淆致誤.

正解：選D.根據(jù)統(tǒng)計的相關(guān)概念并結(jié)合題意可得，此題的總體、個體、樣本這三個概念的考察對象都是運動員的身高，而不是運動員，并且一個個體是指一名運動員的身高，選項A，B表達的對象都是運動員，選項C未將個體和樣本理解透徹.在這個問題中，總體是240名運動員的身高，個體是每名運動員的身高，樣本是40名運動員的身高，樣本容量是40.因此選D.

應對策略：

1.明確相關(guān)概念

對總體、個體、樣本、樣本容量的概念要熟練把握，要明確總體與樣本的包含關(guān)系及樣本與樣本容量的區(qū)別，如本例選項C，是對概念把握不準.

2.注意考察對象

解決考查總體、個體、樣本、樣本容量的概念問題時，關(guān)鍵是明確考察對象，根據(jù)相關(guān)的概念可知總體、個體與樣本的考察對象是相同的，如本例中選項A，B表達的對象都是運動員的身高而不是運動員.

二、對隨機抽樣的概念理解不透徹

例2?對于下列抽樣方法：①運動員從8個跑道中隨機抽取1個跑道;②從20個零件中一次性拿出3個來檢驗質(zhì)量;③某班50名學生，指定其中成績優(yōu)異的2名學生參加一次學科競賽;④為了保證食品安全，從某廠提供的一批月餅中，拿出一個檢查后放回，再拿一個檢查，反復5次，拿了5個月餅進行檢查.其中，屬于簡單隨機抽樣的是______.（把正確的序號都填上）

錯解：②③④

剖析：對簡單隨機抽樣的概念理解不透徹.

正解：對于②，一次性拿出3個來檢驗質(zhì)量，違背簡單隨機抽樣特征中的“逐個”抽取;對于③，指定其中成績優(yōu)異的2名學生，不滿足等可能抽樣的要求;對于④，不滿足不放回抽樣的要求.故填①.答案：①

點睛：要判斷所給的抽樣方法是否是簡單隨機抽樣，關(guān)鍵是看它們是否符合簡單隨機抽樣的定義，即簡單隨機抽樣的四個特點：有限性、逐一性、不放回性、等可能性.

①有限性：簡單隨機抽樣要求被抽取的樣本的總體個數(shù)是有限的，便于通過樣本對總體進行分析.

②逐一性：簡單隨機抽樣是從總體中逐個地進行抽取，便于實踐中操作.

③不放回性：簡單隨機抽樣是一種不放回抽樣，便于進行有關(guān)的分析和計算.

④等可能性：簡單隨機抽樣中各個個體被抽到的機會都相等，從而保證了抽樣方法的公平性.

應對策略：

1.簡單隨機抽樣是不放回抽樣，抽樣過程中，每個個體被抽到的機會（概率）相等.

2.應用簡單隨機抽樣應注意的問題

（1）一個抽樣試驗能否用抽簽法，關(guān)鍵看兩點：

一是抽簽是否方便;

二是號簽是否易攪勻.

一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.

（2）在使用隨機數(shù)表時，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)時，可從選擇的隨機數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計起，每三個或四個作為一個單位，自左向右選取，有超過總體號碼或出現(xiàn)重復號碼的數(shù)字舍去.

（3）簡單隨機抽樣需滿足：

①被抽取的樣本總體的個體數(shù)有限;

②逐個抽取;

③是不放回抽取;

④是等可能抽取.

三、對系統(tǒng)抽樣的特點理解不到位

例3?從2003名學生中抽取一個容量為40的樣本，應如何抽?。?/p>

錯解：將2003名學生按0001到2003編上號;將號碼隨機分成40份，每一份再用抽簽法隨機抽取一名學生，即得到了一個容量為40的樣本.

剖析：由于2003不能被40整除，誤以為只能用簡單隨機抽樣進行抽取，對兩種抽樣方法的特點理解不到位.

正解：先將2003名學生按0001到2003編上號，利用隨機數(shù)表法從中剔除3名學生，再對剩余的2000名學生重新從0001到2000編號，按編號順序分成40組，每組50人，先在第一組中用抽簽法抽出某一號，如0006，依次在其他組抽取0056，0106，…，1956，這樣就得到了一個容量為40的樣本.

應對策略：

1.當總體容量較大，總體可以分為均勻的幾個部分時，用系統(tǒng)抽樣較為合理，但當總體容量除以樣本容量不是整數(shù)時，要先在總體中剔除部分個體.

2.系統(tǒng)抽樣的操作步驟

第一步編號：先將總體的N個個體編號;

第二步分段：確定分段間隔k，對編號進行分段，當Nn（n是樣本容量）是整數(shù)時，取k=Nn;

第三步確定首個個體：在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號l（l≤k）;

第四步獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將l加上間隔k得到第2個個體編號l+k，再加k得到第3個個體編號l+2k，依次進行下去，直到獲取整個樣本.

四、對個體的入樣可能性與抽樣間隔理解不透

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例4?中央電視臺動畫城節(jié)目為了對本周的熱心觀眾給予獎勵，要從2014名小觀眾中抽取50名幸運小觀眾.先用簡單隨機抽樣從2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系統(tǒng)抽樣方法抽取50人，則在2014人中，每個人被抽取的可能性（??）

A.均不相等?B.不全相等

C.都相等，且為251007?D.都相等，且為140

錯解：選A或D.

剖析：對于選項A，誤認為剔除14人，被抽取到的機會就不相等了，錯選A;對于選項D，認為被抽取的機會相等，但利用了剔除后的數(shù)據(jù)計算，錯選D.

正解：選C.因為在系統(tǒng)抽樣中，若所給的總體個數(shù)不能被樣本容量整除，則應先剔除幾個個體，本題先剔除14人，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的機會相等.所以，每個個體被抽到的機會都相等，均為502014=251007.答案：C.

應對策略：

1.明確系統(tǒng)抽樣的操作要領

系統(tǒng)抽樣操作要領是先將個體數(shù)較多的總體分成均衡的若干部分，然后按照預先指定的規(guī)則，從每一部分中抽取一個個體，得到所需樣本.系統(tǒng)抽樣是等距離抽樣，每個個體被抽到的機會是相等的，如本題中2000人要分為50段.

2.對系統(tǒng)抽樣合理分段

在系統(tǒng)抽樣過程中，為將整個編號分段，要確定分段間隔，當在系統(tǒng)抽樣過程中比值不是整數(shù)時，要從總體中剔除一些個體（用簡單隨機抽樣），但每一個個體入樣的機會仍然相等.如本題中剔除14人后，每個人被抽取的可能性不變.

五、忽略分層抽樣的特點

例5?某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體情況，需從中抽取一個容量為36的樣本，則適合的抽樣方法是（??）

A.簡單隨機抽樣

B.系統(tǒng)抽樣

C.直接運用分層抽樣

D.先從老年人中剔除1人，再用分層抽樣

錯解：因為總體由差異明顯的三部分組成，所以考慮用分層抽樣.因為總?cè)藬?shù)為28+54+81=163，樣本容量為36，由于按36163抽樣，無法得到整數(shù)解，因此考慮先剔除1人，將抽樣比變?yōu)?6162=29.若從老年人中隨機地剔除1人，則老年人應抽取27×29=6（人），中年人應抽取54×29=12（人），青年人應抽取81×29=18（人），從而組成容量為36的樣本.故選D.

剖析：如果用簡單隨機抽樣先從老年人中剔除1人的話，老年人被抽到的概率顯然比其他人群小了，這不符合隨機抽樣的特征——每個個體入樣的幾率相等.注意題干明確地說“先從老年人中剔除1人”，這和以前做的從總體中隨機剔除1人是不一樣的.

正解：直接運用分層抽樣，老年人、中年人和青年人中應抽取的人數(shù)分別為36163×28≈6，36163×54≈12，36163×81≈18，故選C.

點睛：分層抽樣的一個很重要的特點是每個個體被抽到的概率是一樣的.當按照比例計算出的值不是整數(shù)時，一般是采用四舍五入的方法取值，若四舍五入后得到的樣本容量與要求的不盡相同，則可根據(jù)問題的實際意義適當處理，使之相同，這只是細節(jié)性問題，并未改變分層抽樣的本質(zhì).

應對策略：

1.分層抽樣的前提和遵循的兩條原則

（1）前提：分層抽樣使用的前提是總體可以分層，層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個體間差異較小，每層中所抽取的個體數(shù)可按各層個體數(shù)在總體的個體數(shù)中所占比例抽取.

（2）遵循的兩條原則

①將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復、不遺漏的原則;

②分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比.

2.與分層抽樣有關(guān)問題的常見類型及解題策略

（1）求某一層的樣本數(shù)或總體個數(shù).可依據(jù)題意求出抽樣比，再由某層總體個數(shù)（或樣本數(shù)）確定該層的樣本（或總體）數(shù).

（2）求各層的樣本數(shù).可依據(jù)題意，求出各層的抽樣比，再求出各層樣本數(shù).

六、誤將頻率分布直方圖的縱坐標當作頻率

例6?中小學生的視力狀況受到社會的關(guān)注.某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生，對他們的視力狀況進行一次調(diào)查統(tǒng)計，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個小組的頻率之比為5∶7∶12∶10∶6，則該市6萬名高一學生中視力在[3.95，4.25）范圍內(nèi)的學生約有多少人？

錯解：由圖可知，第五小組的頻率為0.5，所以第一小組的頻率為0.5×56=512.

所以該市6萬名高一學生中視力在[3.95，4.25）范圍內(nèi)的學生約有60000×512=25000（人）.

剖析：表面上看本題的回答似乎正確無誤，其實答案是錯誤的，其錯因在于沒有看懂所提供的頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)的含義，誤將該頻率分布直方圖中的縱坐標（頻率與組距的比）看成了頻率，從而導致問題的解答出錯.

正解：由圖可知，第五小組的頻率為0.5×0.3=0.15，

所以第一小組的頻率為0.15×56=0.125.

所以該市6萬名高一學生中視力在[3.95，4.25）范圍內(nèi)的學生約有60000×0.125=7500（人）.

答案：7500.

應對策略：

1.畫頻率分布直方圖的步驟

（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）;