江蘇卷高考應(yīng)用題考查熱點(diǎn)

數(shù)學(xué)應(yīng)用性問(wèn)題是歷年高考命題的必考題型，也是同學(xué)們失分較多的一種題型.解答這類(lèi)問(wèn)題的要害是深刻理解題意，學(xué)會(huì)文字語(yǔ)言向數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言的翻譯轉(zhuǎn)化，這就需要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，在江蘇卷中，幾何圖形（空間圖形、平面圖形）、函數(shù)、三角、直線(xiàn)與圓等為常見(jiàn)的模型.高考應(yīng)用性問(wèn)題的熱門(mén)話(huà)題是增減比率型和方案優(yōu)化型，另外，估測(cè)計(jì)算型和信息遷移型也時(shí)有出現(xiàn).當(dāng)然，高考應(yīng)用性問(wèn)題關(guān)注當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的政治、經(jīng)濟(jì)、文化，緊扣時(shí)代的主旋律，凸顯了學(xué)科綜合的特色.

一、以空間圖形為背景的應(yīng)用題

例1?（2019南通七市二模）圖①是一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成.如圖②，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形.點(diǎn)F在平面ABCD和BC上的射影分別為H，M.已知HM=5m，BC=10m，梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍.設(shè)∠FMH=θ（0<θ<π4）.

（1）求屋頂面積S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式;

（2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k（k為正的常數(shù)），下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為16k.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)θ為何值時(shí)，總造價(jià)最低？

解：（1）由題意FH⊥平面ABCD，F(xiàn)M⊥BC，

又因?yàn)镠M平面ABCD，得FH⊥HM.

在Rt△FHM中，HM=5，∠FMH=θ，

所以FM=5cosθ.

因此△FBC的面積為12×10×5cosθ=25cosθ.

從而屋頂面積S=2S△FBC+2S梯形ABFE

=2×25cosθ+2×25cosθ×2.2=160cosθ.

所以S關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式為

S=160cosθ（0<θ<π4）.

（2）在Rt△FHM中，F(xiàn)H=5tanθ，所以主體高度為h=6-5tanθ.

所以別墅總造價(jià)為

y=S·k+h·16k

=160cosθ·k+（6-5tanθ）·16k

=160cosθk-80sinθcosθk+96k

=80k·（2-sinθcosθ）+96k，

記f（θ）=2-sinθcosθ，0<θ<π4，

所以f′（θ）=2sinθ-1cos2θ，

令f′（θ）=0，得sinθ=12，又0<θ<π4，所以θ=π6，

列表：

θ（0，π6）π6（π6，π4）

f′（θ）-0+

f（θ）3

所以當(dāng)θ=π6時(shí)，f（θ）有最小值.

答：當(dāng)θ為π6時(shí)該別墅總造價(jià)最低.

二、以平面圖形為背景的應(yīng)用題

例2?（2019南通三模）南通風(fēng)箏是江蘇傳統(tǒng)手工藝品之一.現(xiàn)用一張長(zhǎng)2m，寬1.5m的長(zhǎng)方形牛皮紙ABCD裁剪風(fēng)箏面，裁剪方法如下：分別在邊AB，AD上取點(diǎn)E，F(xiàn)，將三角形AEF沿直線(xiàn)EF翻折到A′EF處，點(diǎn)A′落在牛皮紙上，沿A′E，A′F裁剪并展開(kāi)，得到風(fēng)箏面AEA′F，如圖1.

（1）若點(diǎn)E恰好與點(diǎn)B重合，且點(diǎn)A′在BD上，如圖2，求風(fēng)箏面ABA′F的面積;

（2）當(dāng)風(fēng)箏面AEA′F的面積為3m2時(shí)，求點(diǎn)A′到AB距離的最大值.

解：（1）方法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

則B（2，0），D（0，32），

直線(xiàn)BD的方程為3x+4y-6=0.

設(shè)F（0，b）（b>0），

因?yàn)辄c(diǎn)F到AB與BD的距離相等，

所以b=|4b-6|5，解得b=23或b=-6（舍去）.

所以△ABF的面積為12×2×23=23m2，

所以四邊形ABA′F的面積為43m2.

答：風(fēng)箏面ABA′F的面積為43m2.

方法二：設(shè)∠ABF=θ，則∠ABA′=2θ.

在直角△ABD中，

tan2θ=ADAB=34，

所以2tanθ1-tan2θ=34，

解得tanθ=13或tanθ=-3（舍去）.

所以AF=ABtanθ=23.

所以△ABF的面積為12×2×23=23m2，

所以四邊形ABA′F的面積為43m2.

答：風(fēng)箏面ABA′F的面積為43m2.

（2）方法一：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

設(shè)AE=a，AF=b，A′（x0，y0），

則直線(xiàn)EF的方程為bx+ay-ab=0，

因?yàn)辄c(diǎn)A，A′關(guān)于直線(xiàn)EF對(duì)稱(chēng)，

所以y0x0=ab，bx02+ay02-ab=0，

解得y0=2a2ba2+b2.

因?yàn)樗倪呅蜛EA′F的面積為3，所以ab=3，

所以y0=23a3a4+3=23a+3a3.

因?yàn)?

設(shè)f（a）=a+3a3，233≤a≤2.

f′（a）=1-9a4=（a2+3）（a+3）（a-3）a4，

令f′（a）=0，得a=3或a=-3（舍去）.

列表如下：

a[233，3）3（3，2]

f′（a）-0+

f（a）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

當(dāng)a=3時(shí)，f（a）取得極小值，即最小值433，

所以y0的最大值為32，此時(shí)點(diǎn)A′在CD上，a=3，b=1.

答：點(diǎn)A′到AB距離的最大值為32m.

方法二：設(shè)AE=a，∠AEF=θ，則AF=atanθ.

因?yàn)樗倪呅蜛EA′F的面積為3，所以AE·AF=3，

即a2tanθ=3，所以tanθ=3a2.

過(guò)點(diǎn)A′作AB的垂線(xiàn)A′T，垂足為T(mén)，則

A′T=A′E·sin2θ=AE·sin2θ=asin2θ

=a·2sinθcosθsin2θ+cos2θ=a·2tanθtan2θ+1

=a·2×3a23a4+1=23a+3a3.

因?yàn)?

（下同方法一）

三、以解三角形為背景的應(yīng)用題

例3?（2018江蘇）某農(nóng)場(chǎng)有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點(diǎn)）和線(xiàn)段MN構(gòu)成.已知圓O的半徑為40米，點(diǎn)P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線(xiàn)段MN上，C，D均在圓弧上.設(shè)OC與MN所成的角為θ.

（1）用θ分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定sinθ的取值范圍;

（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3.求當(dāng)θ為何值時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

解：（1）連結(jié)PO并延長(zhǎng)交MN于H，則PH⊥MN，所以O(shè)H=10.

過(guò)O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，

故OE=40cosθ，

EC=40sinθ，

則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），

△CDP的面積為12×2×40cosθ（40-40sinθ）=1600（cosθ-sinθcosθ）.

過(guò)N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于G和K，則GK=KN=10.

令∠GOK=θ0，則sinθ0=14，θ0∈（0，π6）.

當(dāng)θ∈[θ0，π2）時(shí)，才能作出滿(mǎn)足條件的矩形ABCD，

所以sinθ的取值范圍是[14，1）.

答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ-sinθcosθ）平方米，sinθ的取值范圍是[14，1）.

（2）因?yàn)榧?、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，

設(shè)甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為

4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ-sinθcosθ）

=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）.

設(shè)f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），

則f′（θ）=cos2θ-sin2θ-sinθ

=-（2sin2θ+sinθ-1）=-（2sinθ-1）（sinθ+1）.

令f′（θ）=0，得θ=π6，當(dāng)θ∈（θ0，π6）時(shí)，f′（θ）>0，所以f（θ）為增函數(shù);

當(dāng)θ∈（π6，π2）時(shí)，f′（θ）<0，所以f（θ）為減函數(shù)，

因此，當(dāng)θ=π6時(shí)，f（θ）取到最大值.

答：當(dāng)θ=π6時(shí)，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

四、以直線(xiàn)和圓為背景的應(yīng)用題

例4?（2019年江蘇）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線(xiàn)型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）.規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線(xiàn)型道路PB、QA.規(guī)劃要求：線(xiàn)段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)A、B到直線(xiàn)l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng);

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由;

（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.

解法一：（1）過(guò)A作AE⊥BD，垂足為E.

由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，DE=BE=AC=6，AE=CD=8.

因?yàn)镻B⊥AB，

所以

cos∠PBD=sin∠ABE=810=45.

所以PB=BDcos∠PBD=1245=15.

因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.

（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線(xiàn)段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知

AD=AE2+ED2=10，

從而cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD·AB=725>0，所以∠BAD為銳角.

所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.

因此，Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

綜上，P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;

當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且P1B⊥AB，由（1）知，P1B=15，

此時(shí)P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35=9;

當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在△PP1B中，PB>P1B=15.

由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，CQ=QA2-AC2=152-62=321.此時(shí)，線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=321時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離

PQ=PD+CD+CQ=17+321.

因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+321（百米）.

解法二：（1）如圖，過(guò)O作OH⊥l，垂足為H.

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線(xiàn)l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，-3.

因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.

從而A（4，3），B（-4，-3），直線(xiàn)AB的斜率為34.

因?yàn)镻B⊥AB，所以直線(xiàn)PB的斜率為-43，

直線(xiàn)PB的方程為y=-43x-253.

所以P（-13，9），PB=（-13+4）2+（9+3）2=15.

因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.

（2）①若P在D處，取線(xiàn)段BD上一點(diǎn)E（-4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（-4，9），又A（4，3），

所以線(xiàn)段AD：y=-34x+6（-4≤x≤4）.

在線(xiàn)段AD上取點(diǎn)M（3，154），

因?yàn)镺M=32+（154）2<32+42=5，

所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.

因此Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

綜上，P和Q均不能選在D處.

（3）先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;

當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)P1為l上一點(diǎn)，且P1B⊥AB，由（1）知，P1B=15，此時(shí)P1（-13，9）;

當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在△PP1B中，PB>P1B=15.

由上可知，d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.

當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），

由AQ=（a-4）2+（9-3）2=15（a>4），

得a=4+321，所以Q（4+321，9），此時(shí)，線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上，當(dāng)P（-13，9），Q（4+321，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離

PQ=4+321-（-13）=17+321.

因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+321（百米）.

五、以函數(shù)為背景的應(yīng)用題

例5?（2019無(wú)錫一模）十九大提出對(duì)農(nóng)村要堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧，至2020年底全面脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實(shí)施脫貧工作.經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶(hù)100家，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶(hù)年純收入為1萬(wàn)元，扶貧工作組一方面請(qǐng)有關(guān)專(zhuān)家對(duì)水果進(jìn)行品種改良，提高產(chǎn)量;另一方面，抽出部分農(nóng)戶(hù)從事水果包裝、銷(xiāo)售工作，其人數(shù)必須小于種植的人數(shù).從2018年初開(kāi)始，若該村抽出5x戶(hù)（x∈Z，1≤x≤9）從事水果包裝、銷(xiāo)售.經(jīng)測(cè)算，剩下從事水果種植農(nóng)戶(hù)的年純收入每戶(hù)平均比上一年提高x20，而從事包裝銷(xiāo)售農(nóng)戶(hù)的年純收入每戶(hù)平均為（3-14x）萬(wàn)元（參考數(shù)據(jù)：1.13=1.331，1.153≈1.521，1.23=1.728）.

（1）至2020年底，為使從事水果種植農(nóng)戶(hù)能實(shí)現(xiàn)脫貧（每戶(hù)年均純收入不低于1萬(wàn)6千元），至少抽出多少戶(hù)從事包裝、銷(xiāo)售工作？

（2）至2018年底，該村每戶(hù)年均純收人能否達(dá)到1.35萬(wàn)元？若能，請(qǐng)求出從事包裝、銷(xiāo)售的戶(hù)數(shù);若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

考點(diǎn)：不等式，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解應(yīng)用題的能力.

答案：（1）至2020年底，種植戶(hù)平均收入=（100-5x）（1+x20）3100-5x≥1.6，

即（1+x20）3≥1.6，即x≥20（31.6-1），

由題所給數(shù)據(jù)，知：1.15<31.6<1.2，

所以，3<20（31.6-1）<4，

所以，x的最小值為4，5x≥20，

即至少抽出20戶(hù)從事包裝、銷(xiāo)售工作.

（2）至2018年底，假設(shè)能達(dá)到1.35萬(wàn)元，

每戶(hù)的平均收為：f（x）=5x（3-14x）+（100-5x）（1+x20）100≥1.35，

化簡(jiǎn)，得：3x2-30x+70≤0，因?yàn)閤∈Z，1≤x≤9，

解得：x∈{4，5，6}，

所以，當(dāng)從事包裝、銷(xiāo)售的戶(hù)數(shù)達(dá)到20戶(hù)，25戶(hù)，30戶(hù)時(shí)，能達(dá)到，否則，不能.

例6?如圖，矩形ABCD是某生態(tài)農(nóng)莊的一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路MN（寬度不計(jì)）經(jīng)過(guò)該矩形區(qū)域，其中MN都在矩形ABCD的邊界上.已知AB=8，AD=6（單位：百米），小路MN將矩形ABCD分成面積分別為S1，S2（單位：平方百米）的兩部分，其中S1≤S2，且點(diǎn)A在面積為S1的區(qū)域內(nèi)，記小路MN的長(zhǎng)為l百米.

（1）若l=4，求S1的最大值;

（2）若S2=2S1，求l的取值范圍.

解：依題意，折痕有下列三種情形：

①折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上;

②折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上;

③折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上.

（1）在情形②、③中MN≥6，故當(dāng)l=4時(shí)，折痕必定是情形①.

設(shè)AM=xcm，AN=ycm，則x2+y2=16.

因?yàn)閤2+y2≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，

所以S1=12xy≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22時(shí)取等號(hào).

即S1的最大值為4.

（2）由題意知，長(zhǎng)方形的面積為S=6×8=48.

因?yàn)镾1∶S2=1∶2，S1≤S2，所以S1=16，S2=32.

（?。┊?dāng)折痕是情形①時(shí)，設(shè)AM=xcm，AN=ycm，則12xy=16，即y=32x.

由0≤x≤8，0≤32x≤6，得163≤x≤8.

所以l=x2+y2=x2+322x2，163≤x≤8.

令t=x2，則2569≤t≤64，設(shè)y=t+322t，

則y′=1-322t2，令y′=0，得t=32（負(fù)舍）.

t2569（2569，32）32（32，64）64

y′-0+

y64496480

所以f（x）的取值范圍為[64，80]，

故l的取值范圍是[8，45];

（ⅱ）當(dāng)折痕是情形②時(shí)，設(shè)AM=xcm，DN=ycm，

則12（x+y）×6=16，即y=163-x.

由0≤x≤8，0≤163-x≤8，得0≤x≤163.

所以l=62+（x-y）2=4（x-83）2+36，0≤x≤163.

所以l的取值范圍為[6，21453];

（ⅲ）當(dāng)折痕是情形③時(shí)，設(shè)BN=xcm，AM=ycm，

則12（x+y）×8=16，即y=4-x.

由0≤x≤8，0≤4-x≤6，得0≤x≤4.

所以l=82+（x-y）2=4（x-2）2+64，0≤x≤4.

所以l的取值范圍為[8，45].

綜上所述，l的取值范圍為[6，45].

應(yīng)用題的信息量大，重點(diǎn)考查同學(xué)們處理問(wèn)題的能力.在解應(yīng)用題時(shí)通常有以下步驟：首先是審題：理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這一關(guān)是基礎(chǔ);接著是建模：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進(jìn)行建“?！笔顷P(guān)鍵的一關(guān);然后求模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，一要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實(shí)際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過(guò)程;最后還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原成實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果.

（作者：殷高榮，如皋市教育局教研室）