談?wù)剶?shù)學歸納法

一、對數(shù)學歸納法的理解

如果（1）當n取第一個值n0（n0∈N*）時，結(jié)論成立;（2）假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時結(jié)論正確，可以證明當n=k+1時結(jié)論也正確.那么命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.這種證明方法叫做數(shù)學歸納法.數(shù)學歸納法是一種重要的證明方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題.證明時步驟（1）和（2）缺一不可，步驟（1）是步驟（2）的基礎(chǔ)，步驟（2）是遞推的依據(jù).在用數(shù)學歸納法證明時，第（1）步驗算n=n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求，選擇合適的起始值;第（2）步，證明n=k+1時命題也成立的過程中，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學歸納法.

如果對數(shù)學歸納法理解不到位，就會出現(xiàn)以下錯誤：

1.初始值搞錯

問題1：用數(shù)學歸納法證明“2n>n2+1對于n≥n0的自然數(shù)都成立”時，第一步中的值n0應(yīng)取多少？

解析：根據(jù)數(shù)學歸納法的步驟，首先要驗證當n取第一個值時命題成立;

結(jié)合本題，n=1時，左=21=2，右=12+1=2，2n>n2+1不成立，

n=2時，左=22=4，右=22+1=5，2n>n2+1不成立，

n=3時，左=23=8，右=32+1=10，2n>n2+1不成立，

n=4時，左=24=16，右=42+1=17，2n>n2+1不成立，

n=5時，左=25=32，右=52+1=26，2n>n2+1成立，

越往后左邊比右邊大得越多，即n>5時，2n>n2+1恒成立.故答案為5.

問題2：用數(shù)學歸納法證明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在驗證n=1時，左邊計算所得的式子為多少？

解析：左邊的指數(shù)從0開始，依次加1，直到n+2，所以當n=1時，應(yīng)加到23.所以答案為1+2+22+23.這里不能粗心的認為n=1時，左邊計算所得的式子就只有一項.

在利用數(shù)學歸納法證明問題中，第一步是論證n取初值時結(jié)論是否成立，此時一定要分析不等式左邊的項的特點，不能多寫也不能少寫，否則會引起答案的錯誤.

2.對假設(shè)設(shè)而不用

在進行n=k+1時命題證明中，一定要用n=k時的命題，沒有用到該命題而推理證明的方法不是數(shù)學歸納法.歸納假設(shè)是必須要用的，這個假設(shè)是起橋梁作用的，橋梁斷了就通不過去了.

問題3：對于不等式n2+n

（1）當n=1時，12+1<1+1，不等式成立.

（2）假設(shè)當n=k（k∈N*）時，不等式成立，即k2+k

則當n=k+1時，（k+1）2+k+1=k2+3k+2<k2+4k+4=k+2=k+1+1，

∴當n=k+1時，不等式成立.

綜上，不等式n2+n

上述證法正確嗎？

解析：上述證法是錯誤的.數(shù)學歸納法證明第（2）步驟時，在從“k”到“k+1”的過程中，必須把n=k的命題作為已給定的條件，要在這個條件基礎(chǔ)上去導出n=k+1時的命題，所以在推導過程中必須把n=k時的命題用上，本解法錯因是對假設(shè)設(shè)而不用.

3.對k到k+1的跨度不清楚

用數(shù)學歸納法證明恒等式時，由n=k遞推到n=k+1時，左端增加的項有時是一項有時不只是一項，有時左端的第一個因式也可能變化.

問題4：用數(shù)學歸納法證明1+2+3+…+n2=n4+n22，則當n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上多少？

解析：當n=k時，左端=1+2+3+…+k2.

當n=k+1時，左端=1+2+3+…+k2+（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2，

故當n=k+1時，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2.

這里有同學經(jīng)常誤以為從n=k到n=k+1時，等式左端只多了一項，從而導致出錯，尤其在較復雜的式子中，應(yīng)仔細分析，觀察通項，弄清式子中項數(shù)的變化.

4.機械套用數(shù)學歸納法中的兩個步驟

“假設(shè)n=k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n=k+1時結(jié)論也成立”，是數(shù)學歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴謹性，規(guī)范性.

問題5：用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”，當?shù)诙郊僭O(shè)n=k（k為正奇數(shù)）命題為真時，進而需證n為多少時命題亦真？

解析：因為n為正奇數(shù)，所以與k相鄰的下一個奇數(shù)是k+2.這里不少同學套用數(shù)學歸納法的步驟，想去證明n=k+1時命題成立，忽略了n是正奇數(shù)的條件，所以證明前要看準條件.

二、數(shù)學歸納法從P（k）過渡到P（k+1）的策略

數(shù)學歸納法兩個步驟中第（2）步是歸納遞推的證明，它往往也是證明的核心步驟，如何從P（k）過渡到P（k+1）呢？做好兩湊：一“湊”假設(shè)，二“湊”結(jié)論.

例1?已知n為正整數(shù)，a∈Z，用數(shù)學歸納法證明：an+1+（a+1）2n-1能被a2+a+1整除.

證明：（1）當n=1時，an+1+（a+1）2n-1=a2+a+1，能被a2+a+1整除.

（2）假設(shè)n=k（k∈N+）時，ak+1+（a+1）2k-1能被a2+a+1整除，

當n=k+1時，

ak+2+（a+1）2k+1

=（a+1）2[ak+1+（a+1）2k-1]+ak+2-ak+1（a+1）2

=（a+1）2[ak+1+（a+1）2k-1]-ak+1（a2+a+1）能被a2+a+1整除.

即當n=k+1時命題也成立.

根據(jù)（1）（2）可知，對于任意n∈N+，an+1+（a+1）2n-1能被a2+a+1整除.

評析：本題在進行遞推性的證明時，采用了“湊”的思想，用增項、減項、拆項和因式分解等方法，也可以說將式子“硬提公因式”，即將n=k時的項從n=k+1時的項中“硬提出來”，構(gòu)成n=k時的項，后面的式子相對變形，使之與n=k+1時的項相同，從而達到利用假設(shè)的目的.

例2?證明42n+1+3n+2能被13整除，其中n為正整數(shù).

證明：（1）當n=1時，42×1+1+31+2=91能被13整除.

（2）假設(shè)當n=k（k∈N+）時，42k+1+3k+2能被13整除，

當n=k+1時，

因為[42（k+1）+1+3k+3]-3（42k+1+3k+2）

=（42k+1·42+3k+2·3）-3（42k+1+3k+2）

=42k+1·13，

∵42k+1·13能被13整除，

∴[42（k+1）+1+3k+3]-3（42k+1+3k+2）能被13整除，因而42（k+1）+1+3k+3能被13整除，

∴當n=k+1時命題也成立，

由（1）（2）知，當n∈N+時，42n+1+3n+2能被13整除.

評析：P（k）P（k+1）的整式變形是個難點，我們可以仿照例1找出它們之間的差異，然后將P（k+1）進行分拆、配湊成P（k）的形式，也可運用結(jié)論：“P（k）能被p整除且P（k+1）-P（k）能被p整除P（k+1）能被p整除.”

例3?用數(shù)學歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+13）（1+15）·…·（1+12n-1）>2n+12均成立.

證明：（1）當n=2時，左邊=1+13=43;右邊=52.

∵左邊>右邊，∴不等式成立.

（2）假設(shè)當n=k（k≥2，且k∈N*）時不等式成立，即（1+13）（1+15）·…·（1+12k-1）>2k+12.

則當n=k+1時，

（1+13）（1+15）·…·（1+12k-1）[1+12（k+1）-1]>2k+12·2k+22k+1=2k+222k+1

=4k2+8k+422k+1>4k2+8k+322k+1

=2k+32k+122k+1=2（k+1）+12.

∴當n=k+1時，不等式也成立.

由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立.

評析：用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k時成立得n=k+1時成立，主要方法有①放縮法;②利用基本不等式法;③作差比較法等.在該例的第（2）步證明中，我們也可用2k+222k+1與2（k+1）+12作差，證明差為正值.

三、數(shù)學歸納法常常與各種考點聯(lián)袂而行

數(shù)學歸納法能幫助我們判斷種種與自然數(shù)有關(guān)的猜想的正確性，因此數(shù)學歸納法常常與各種考點綜合在一起考查，我們來看看試卷中數(shù)學歸納法怎么考.

類型1?與函數(shù)、導數(shù)結(jié)合

例4?已知函數(shù)f（x）=x2-x+1，記f1（x）=f（x），當n≥2時，fn（x）=fn-1（f（x））.

（1）求證：f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù);

（2）對于任意n∈N*，判斷fn（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明.

證明：（1）因為f2（x）=f1（f（x））=f（x2-x+1），所以f′2（x）=（2x-1）f′（x2-x+1），

因為x>1，所以2x-1>0，x2-x+1>1，

所以f′（x2-x+1）=2（x2-x+1）-1>0，所以f′2（x）>0，

所以f2（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù).

（2）結(jié)論：對于任意n∈N*，fn（x）在區(qū)間（1，+∞）上均為增函數(shù).

證明：①當n=1時，結(jié)論顯然成立;

②假設(shè)當n=k時結(jié)論也成立，即fk（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù)，

所以當x>1時，f′k（x）>0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立.

當n=k+1時，fk+1（x）=fk（f（x））=fk（x2-x+1），

所以f′k+1（x）=（2x-1）f′k（x2-x+1），

又當x>1時，2x-1>0，x2-x+1>1，

所以f′k（x2-x+1）>0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，

所以f′k+1（x）=（2x-1）f′k（x2-x+1）>0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，

所以fk+1（x）在區(qū)間（1，+∞）上為增函數(shù).

由①②得證，對于任意n∈N*，fn（x）在區(qū)間（1，+∞）上均為增函數(shù).

評析：復合函數(shù)的求導法則、數(shù)學歸納法都是理科附加題部分的必考內(nèi)容，例4把這兩個考點有機整合在一起，題目難度不大，但是這兩個考點都得到了有效的考查.

類型2?與數(shù)列結(jié)合

例5?已知數(shù)列{an}滿足：a1=2a-2，an+1=aan-1+1（n∈N*）.

（1）若a=-1，求數(shù)列{an}的通項公式;

（2）若a=3，試證明：對n∈N*，an是4的倍數(shù).

解：（1）當a=-1時，a1=-4，an+1=（-1）an-1+1.

令bn=an-1，則b1=-5，bn+1=（-1）bn.

因b1=-5為奇數(shù)，n≥2時bn也是奇數(shù)且只能為-1，

所以，bn=-5，n=1，-1，n≥2，即an=-4，n=1，0，n≥2.

（2）當a=3時，a1=4，an+1=3an-1+1.

下面利用數(shù)學歸納法來證明：an是4的倍數(shù).

當n=1時，a1=4=4×1，命題成立;

設(shè)當n=k（k∈N*）時，命題成立，則存在t∈N*，使得ak=4t，

∴ak+1=3ak-1+1=34t-1+1

=27·（4-1）4（t-1）+1=27·（4m+1）+1

=4（27m+7），

其中，4m=44（t-1）-C14（t-1）·44t-5+…+（-1）rCr4（t-1）·44t-4-r+…-C4t-34（t-1）·4，

∴m∈Z，∴當n=k+1時，命題成立.

∴由數(shù)學歸納法原理知命題對n∈N*成立.

評析：例5第（1）問中a=-1比較特殊，數(shù)列通項可以輕松求解;第（2）問通項不好求，也不需要求，只要能證明數(shù)列具有性質(zhì)：an是4的倍數(shù)，此處處理的最佳方法就是數(shù)學歸納法，當然本例中還順帶考查了二項式定理的知識.

類型3?與幾何問題結(jié)合

例6?在教材中，我們已研究出如下結(jié)論：平面內(nèi)n條直線最多可將平面分成12n2+12n+1個部分.現(xiàn)探究：空間內(nèi)n個平面最多可將空間分成多少個部分，n∈N*.設(shè)空間內(nèi)n個平面最多可將空間分成f（n）=an3+bn2+cn+1個部分.

（1）求a，b，c的值;

（2）用數(shù)學歸納法證明此結(jié)論.

解：（1）由f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，

得a+b+c=1，8a+4b+2c=3，27a+9b+3c=7，解得a=16，b=0，c=56.

（2）用數(shù)學歸納法證明f（n）=16n3+56n+1，n∈N*.

①當n=1時，顯然成立.

②假設(shè)當n=k時成立，即f（k）=16k3+56k+1，

那么當n=k+1時，在k個平面的基礎(chǔ)上再添上第k+1個平面，

因為它和前k個平面都相交，所以可得到k條互不平行且不共點的交線，且其中任何3條直線不共點，這k條交線可以把第k+1個平面劃分成12k2+12k+1個部分.每個部分把它所在的原有空間區(qū)域劃分成兩個區(qū)域，因此，空間區(qū)域的總數(shù)增加了12k2+12k+1個，

所以f（k+1）=f（k）+12k2+12k+1

=16k3+56k+1+12k2+12k+1

=16（k+1）3+56（k+1）+1，

即n=k+1時，結(jié)論成立.

根據(jù)①②可知，f（n）=16n3+56n+1，n∈N*.

評析：歸納——猜想——證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學歸納法證明.由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時必須注意數(shù)學歸納法步驟的書寫.

類型4?與概率問題結(jié)合

例7?如圖，一顆棋子從三棱柱的一個頂點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為13，剛開始時，棋子在上底面點A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點的概率記為pn.

（1）求p1，p2的值;

（2）試比較∑ni=114Pi-1與n2n+1的大小.

解：（1）p1=23，

p2=23×23+13×（1-23）=59.

（2）因為移了n次后棋子落在上底面頂點的概率為pn，故落在下底面頂點的概率為1-pn.

于是移了n+1次后棋子落在上底面頂點的概率為pn+1=23pn+13（1-pn）=13pn+13.

從而pn+1-12=13（pn-12）.

所以數(shù)列{pn-12}是等比數(shù)列，其首項為16，公比為13.

所以pn-12=16×（13）n-1.

即pn=12+12×13n.

當n=1時，左式=14×23-1=35，右式=12，因為35>12，所以不等式成立.

當n=2時，左式=14×23-1+14×59-1=7855，右式=43，因為7855>43，所以不等式成立.

當n=3，4，5時皆是左邊大于右邊，故猜想

∑ni=114Pi-1>n2n+1.

用數(shù)學歸納法證明：

①當n=1時，左式=14×23-1=35，右式=12，因為35>12，所以不等式成立.

②假設(shè)n=k（k≥2）時，不等式成立，即

∑ki=114Pi-1>k2k+1.

則n=k+1時，左式=∑ki=114Pi-1+14Pk+1-1>k2k+1+14（12+12×13k+1）-1=k2k+1+3k+13k+1+2.

要證k2k+1+3k+13k+1+2≥（k+1）2k+2，

只要證3k+13k+1+2≥（k+1）2k+2-k2k+1.

即3k+13k+1+2≥k2+3k+1k2+3k+2.

即23k+1≤1k2+3k+1.

即3k+1≥2k2+6k+2.

因為k≥2，

所以3k+1=3（1+2）k≥3（1+2k+4C2k）=6k2+3=2k2+6k+2+2k（2k-3）+1>2k2+6k+2，

所以k2k+1+3k+13k+1+2≥（k+1）2k+2.

即n=k+1時，不等式也成立.

由①②可知，不等式∑ki=114Pi-1>n2n+1對任意的n∈N*都成立.

評析：用數(shù)學歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進行證明;二是給出兩個式子，按要求比較它們的大小，對第二類形式往往要先對n取前幾個值的情況分別驗證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個n值開始都成立的結(jié)論，常用數(shù)學歸納法證明.

（作者：夏志勇，海安市曲塘中學）