《矩陣與變換》考點(diǎn)探究

在高考命題中，對(duì)《矩陣與變換》的考查一般以選做題的形式出現(xiàn)，出現(xiàn)在解答題中，試題難度中等或?yàn)榛A(chǔ)題，占10分.對(duì)于高考來說，不管是簡(jiǎn)單題，中檔題還是具有一定難度的壓軸題，必須做到每分必爭(zhēng).而要做到這一點(diǎn)，必須先對(duì)考點(diǎn)了如指掌.那么，在高考命題中，關(guān)于《矩陣與變換》主要考點(diǎn)有哪些呢？讓我們一起登上《矩陣與變換》考點(diǎn)直通車看個(gè)究竟！

考點(diǎn)一、矩陣的相關(guān)概念

對(duì)矩陣概念的考查以矩陣相等為主.

例1?設(shè)矩陣M=x-110q-1，N=21-py2+y2，若M=N，求x，y，p，q.

分析：題中涉及x，y，p，q四個(gè)未知量，可根據(jù)M=N列出4個(gè)方程，解方程組求值即可.

解：因?yàn)镸=x-110q-1，

N=21-py2+y2，且M=N，

所以x-1=2y2+y=01-p=1q-1=2，

解得x=3，y=0或-1，p=0，q=3.

評(píng)注：解方程（組）是解決此類問題的基本運(yùn)算，因此對(duì)一元二次方程根的求法，消元法解方程組要熟練掌握，避免出現(xiàn)運(yùn)算錯(cuò)誤.

考點(diǎn)二、矩陣的乘法運(yùn)算

矩陣與矩陣的乘法運(yùn)算，歷來是高考考查矩陣與變換的一個(gè)重要考點(diǎn).但難度不大，一般屬于送分的基礎(chǔ)題.

例2?已知二階矩陣M滿足M10=10，M11=22，求M21-1.

分析：設(shè)M=abcd，再由已知條件列出方程組求出a，b，c，d的值，從而得到二階矩陣M，最后求M21-1.

解：設(shè)M=abcd，

由M10=10得ac=10，所以a=1，c=0.

由M11=22得a+bc+d=22，

所以b=1，d=2.所以M=1102.

所以M2=11021102=1304.

所以M21-1=13041-1=-2-4.

評(píng)注：雖然這類問題的難度不大，但必須注意矩陣的運(yùn)算法則，如二階矩陣相乘，滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律.

考點(diǎn)三、二階矩陣與曲線的變換

矩陣與變換體現(xiàn)了學(xué)習(xí)“矩陣”就是為了“變換”，因此二階矩陣與曲線的變換也是一類常考不衰的熱點(diǎn)問題.

例3?在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓x2+4y2=1，矩陣M=0110，N=0210，求橢圓x2+4y2=1在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積.

分析：先計(jì)算矩陣MN，再求橢圓上點(diǎn)（x0，y0）在MN的作用下所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）.

解：MN=01100210=1002.

設(shè)（x0，y0）為橢圓x2+4y2=1上任一點(diǎn)，它在MN的作用下所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），

則xy=1002x0y0=x02y0，

∴x=x0y=2y0，即x0=xy0=y2，

代入x20+4y20=1，得x2+y2=1，

∴在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積為π.

評(píng)注：利用二階矩陣變換求曲線（或點(diǎn)）問題，與平面解析幾何中的相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程有驚人形似的一幕，破解此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出坐標(biāo)之間的變換公式.

考點(diǎn)四、逆矩陣的求法及其應(yīng)用

逆矩陣問題，既體現(xiàn)了矩陣的運(yùn)算，又體現(xiàn)了逆矩陣的幾何意義，計(jì)算難度不大，因而也一直成為熱門考點(diǎn).

例4?已知點(diǎn)P（a，b），先對(duì)它作矩陣M=12-323212對(duì)應(yīng)的變換，再作N=2002對(duì)應(yīng)的變換，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，43），求實(shí)數(shù)a，b的值.

分析：先求出NM和（NM）-1，再利用矩陣乘法求出實(shí)數(shù)a，b的值.

解：依題意，

NM=200212-323212=1-331，

由逆矩陣公式得，（NM）-1=1434-3414，

所以1434-3414843=5-3，

即有a=5，b=-3.

評(píng)注：解答本題的關(guān)鍵是求出NM的逆矩陣.求逆矩陣的方法各有千秋，有方程思想的體現(xiàn)，有公式法的簡(jiǎn)潔展現(xiàn)，有線性變換的巧妙揭示，解題的過程中應(yīng)根據(jù)題目條件特點(diǎn)，恰當(dāng)選取最優(yōu)方法解題.

考點(diǎn)五、求矩陣的特征值，特征向量

利用矩陣的特征值與特征向量可以將Anα簡(jiǎn)單表示，因此這類問題往往有兩個(gè)小問題，先求矩陣的特征值與特征向量，再求Anα的值

例5?已知矩陣M=7-64-3，向量ξ=65.

（1）求矩陣M的特征值λ1，λ2和特征向量ξ1和ξ2;

（2）求M6ξ的值.

分析：求矩陣的特征值與特征向量可按照相應(yīng)的步驟進(jìn)行，先寫出特征多項(xiàng)式，并求出特征值，再將M6ξ用特征向量表示出來.

解：（1）M=7-64-3的特征多項(xiàng)式為

f（λ）=λ-76-4λ+3=λ2-4λ+3，

令f（λ）=0，得λ1=1，λ2=3.

當(dāng)λ1=1時(shí)，得ξ1=11;

當(dāng)λ2=3時(shí)，得ξ2=32.

（2）由ξ=mξ1+nξ2得m+3n=6m+2n=5得m=3，n=1.

M6ξ=M6（3ξ1+ξ2）=3（λ61ξ1）+λ62ξ2=21901461.

評(píng)注：求矩陣的特征向量及特征值時(shí)，準(zhǔn)確寫出特征多項(xiàng)式，解出特征方程的根是解題的前提.列出線性方程組后，根據(jù)系數(shù)特點(diǎn)恰當(dāng)賦值求出特征向量，最后注意特征向量與特征值對(duì)應(yīng)要準(zhǔn)確.同時(shí)還需注意：（1）不是每個(gè)矩陣都有特征值與特征向量;（2）屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線.

從以上考點(diǎn)分析可以看出，高考對(duì)矩陣與變換的考查注重知識(shí)的基礎(chǔ)性與應(yīng)用性，這具體表現(xiàn)在一是對(duì)矩陣概念的認(rèn)識(shí)，主要考查一階矩陣和二階矩陣;二是有關(guān)矩陣的計(jì)算，主要考查二階矩陣的乘法運(yùn)算和求已知矩陣的逆矩陣;三是矩陣與變換的應(yīng)用，如矩陣變換下的點(diǎn)的坐標(biāo)問題，曲線問題和面積問題等，只要我們抓住以上重點(diǎn)內(nèi)容和基本考點(diǎn)，那么在高考中一定會(huì)立于不敗之地.

（作者：侯仰古，江蘇省太倉市明德高級(jí)中學(xué)）