基于自由振動響應(yīng)識別橋梁斷面顫振導數(shù)的人工蜂群算法

林 陽，封周權(quán)，華旭剛，陳政清

(湖南大學風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，湖南，長沙 410082)

顫振導數(shù)是表征橋梁斷面氣動特性的重要參數(shù)之一，對于一般的橋梁斷面，目前多通過風洞試驗[1]或流體動力學模擬[2_3]來得到顫振導數(shù)。在風洞試驗中，識別橋梁節(jié)段模型顫振導數(shù)的主要方法有均勻流風場的自由振動法[4_7]和強迫振動法[8_9]以及紊流風場的隨機激勵法[10_11]；其中均勻流風場自由振動法識別顫振導數(shù)是其中較為簡便的方法。1998年，張若雪[12]提出了基于豎彎信號和扭轉(zhuǎn)信號總體誤差最小的總體最小二乘法(ULS)，用于識別顫振導數(shù)。為了解決豎彎信號和扭轉(zhuǎn)信號幅值差異所造成的識別誤差問題，丁泉順[13]基于 ULS法在整體誤差函數(shù)中引入了一個平衡豎彎和扭轉(zhuǎn)信號權(quán)重的加權(quán)因子，提出了修正最小二乘法(MLS)。2017年，李加武等[14]通過加權(quán)矩陣對加權(quán)因子進行細化，提出了加權(quán)矩陣最小二乘法(WLS)，對高噪聲處信號取較小權(quán)值，低噪聲處信號取較大權(quán)值。在自由振動試驗中，通常在同一風速下對節(jié)段模型進行多次激振，采集多組同風速下的自由振動衰減信號，以提高識別精度[15]。為了解決同一風速下多次激振的自由振動信號識別誤差問題，李永樂等[16]提出了加權(quán)整體最小二乘法(WELS)，對相同風速下N次采樣的各時程信號進行加權(quán)，避免了識別過程中弱信號被強信號所“淹沒”。除了基于最小二乘原理的識別方法，部分學者還提出了基于特征系統(tǒng)實現(xiàn)理論的識別算法[17_18]。

使用最小二乘原理對橋梁斷面的顫振導數(shù)進行識別時，所構(gòu)造的目標函數(shù)是含有多個待求參數(shù)的非線性函數(shù)，在求解該優(yōu)化問題時，可以使用梯度下降算法[19]或者隨機搜索方法[20]。使用傳統(tǒng)迭代算法求解時需要使用迭代初值，且初值對識別結(jié)果具有一定的影響，欠佳的初值可能只得到一個局部最優(yōu)解。為解決這一難題，可采用生物啟發(fā)類的全局優(yōu)化算法，人工蜂群算法就是其中性能較為優(yōu)異的一種。人工蜂群算法最先由土耳其學者Karaboga[21]于 2005年提出，是一種模擬蜂群群體尋找優(yōu)良蜜源的智能仿生計算方法。從算法尋優(yōu)機理來看，該方法是一種進行廣義鄰域搜索的智能算法，通過采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂三種蜂的轉(zhuǎn)換，不僅能有效地進行局部鄰域搜索，還具有全局尋優(yōu)能力。人工蜂群算法對待優(yōu)化的目標函數(shù)無特殊要求，也不需要特定的初值，算法本身具有全局收斂能力，因此初值可設(shè)為特定值或者隨機值，參數(shù)可搜索的范圍較廣，算法適應(yīng)性比較強。本文基于最小二乘原理，將豎彎和扭轉(zhuǎn)信號的整體殘差平方和作為目標函數(shù)，使用人工蜂群算法對中間參數(shù)進行識別，進而識別出橋梁斷面的顫振導數(shù)。

1 節(jié)段模型自由衰減振動的數(shù)學模型

根據(jù)Scanlan橋梁顫振導數(shù)理論，橋梁斷面的自激升力和自激力矩的表達式為[22]：

式中：Lse、Mse分別為自激升力和自激力矩；ρ為空氣密度；U為平均風速；K=Bω/U為折算頻率；B為模型寬度；h、α分別為模型的豎向線位移和扭轉(zhuǎn)角位移；為顫振導數(shù)。

在氣動自激力的作用下，彎扭兩自由度橋梁節(jié)段模型運動微分方程為：

式中：m、I分別為單位長度模型質(zhì)量和質(zhì)量慣性矩；ζh、ζα分別為豎彎和扭轉(zhuǎn)阻尼比；、分別為豎彎和扭轉(zhuǎn)圓頻率。

將式(1)、式(2)分別代入式(3)、式(4)，經(jīng)整理后可得：

式中：

將式(5)和式(6)寫成矩陣形式：

求解方程式(8)可得到自由振動響應(yīng)。

矩陣A具有復共軛特征值以及復共軛特征向量令：

則自由振動豎彎h和扭轉(zhuǎn)α信號時程響應(yīng)估計值為：

式中，ci、di、ei、fi(i=1,2)是由初始條件決定的常數(shù)。

式(10)和式(11)中的ai、bi、ci、di、ei、fi(i=1, 2)為 12個待求中間參數(shù)，其中ci、di、ei、fi(i=1, 2)為8個線性參數(shù)，ai、bi(i=1, 2)為4個非線性參數(shù)。通過人工蜂群算法求出這 12個參數(shù)，進而識別出顫振導數(shù)。

設(shè)豎彎信號h和扭轉(zhuǎn)信號α的時程長度為m，h和α時程實測值和估計值之間誤差分別為：

相應(yīng)地，豎彎信號和扭轉(zhuǎn)信號實際值和估計值之間誤差的權(quán)值分別為：

豎彎信號的權(quán)值可取扭轉(zhuǎn)信號的最大值，扭轉(zhuǎn)信號的權(quán)值可取豎彎信號的最大值[13]。

豎彎信號和扭轉(zhuǎn)信號誤差平方和函數(shù)分別為：

總體誤差平方和函數(shù)為：

下面討論如何求解12個待求中間參數(shù)。

由λi＝ai+ibi，記：

式中，k=1, 2, …，m，m為振動采樣記錄總點數(shù)。

則總體誤差平方和函數(shù)為：

通過交叉迭代的方法可以求解 12個中間參數(shù)ai、bi、ci、di、ei、fi(i=1, 2)。該問題本質(zhì)上屬于優(yōu)化問題，本文采用人工蜂群算法得到使總體誤差目標函數(shù)J最小的最優(yōu)解。

將式(8)中的狀態(tài)向量Y寫成Y=的形式，將狀態(tài)向量寫成的形式。矩陣P和Q由12個中間參數(shù)組成，且

系統(tǒng)矩陣A=QP-1，從系統(tǒng)矩陣中可確定顫振導數(shù)。

2 人工蜂群算法基本原理及求解步驟

人工蜂群算法是受自然界中蜜蜂采蜜行為啟發(fā)而產(chǎn)生的一種生物啟發(fā)式算法。人工蜂群算法的尋優(yōu)過程參照了蜜蜂尋找最優(yōu)蜜源的機理。負責尋找新蜜源的偵察蜂外出隨機尋找蜜源，一旦尋找到蜜源，偵察蜂就轉(zhuǎn)變?yōu)椴擅鄯?。采蜜蜂記錄所采的蜜源信?蜜源好壞和蜜源位置)并與觀察蜂分享。觀察蜂接收采蜜蜂分享的蜜源信息并依據(jù)蜜源的好壞對蜜源進行選擇，較好的蜜源吸引到觀察蜂的概率較大，被蜜源吸引的觀察蜂轉(zhuǎn)化為采蜜蜂。采蜜蜂分享蜜源信息后，根據(jù)記憶，在原蜜源附近選擇一個新的蜜源，若在附近找不到更好的蜜源，采蜜蜂則放棄該蜜源，成為偵察蜂，隨機尋找新的蜜源[23]。

將人工蜂群算法應(yīng)用到顫振導數(shù)識別上，蜜源對應(yīng)于由參數(shù)確定的橋梁振動數(shù)學模型，蜜源的好壞與數(shù)學模型對橋梁斷面響應(yīng)預(yù)測的精確程度相對應(yīng)，本文由最小二乘總體誤差平方和函數(shù)來度量。誤差函數(shù)值越小，數(shù)學模型對真實系統(tǒng)的預(yù)測越精確，相對應(yīng)蜜源越好，最好的蜜源則對應(yīng)已有信息下數(shù)學模型對真實系統(tǒng)的最佳估計。

基于自由振動響應(yīng)信號將人工蜂群算法應(yīng)用于橋梁斷面顫振導數(shù)識別的基本步驟如下(見圖1)。

1)蜜蜂種群的初始化：蜜蜂的總數(shù)為N(其中采蜜蜂為Ne，觀察蜂為Nu)，蜜蜂個體向量維度為4(a1,b1,a2,b2)，S為個體搜索的待定參數(shù)空間。是Ne個個體，則X=(X1,X2, …,代表一個采蜜蜂種群。用X(0)表示初代采蜜蜂種群，X(n)表示第n代采蜜蜂種群。

2)n=0時刻，在搜索空間內(nèi)隨機生成Ns個可行解可行解Xi為：

式中，j取值于{1，2，3，4}，為 4維解向量的某個分量。

3)計算[C]，[S]，A1，B1，D1，Xh，Yh，Xα，Yα。計算ci、di、ei、fi(i=1, 2)。計算總體誤差平方和函數(shù)J，根據(jù)蜜源的收益度計算各向量的“收益度”函數(shù)值，將排名靠前一半的蜜蜂作為初代采蜜蜂X(0)。

4)對于第n代的采蜜蜂X(n)，在搜索空間內(nèi)從其位置向附近鄰域搜索新位置，所采用的搜索公式為：

式中，j取自于{1，2，3，4}，k取自于且k不等于i，k和i隨機生成。

圖1 人工蜂群算法流程Fig.1 The flowchart of the ABC algorithm

5)在采蜜蜂搜索到的新向量new-Xi和原位置向量Xi中，選取“收益度”較大的，保留給下一代，這保證了種群能夠保留精英個體，使得進化方向不會后退。

6)觀察蜂依據(jù)采蜜蜂“收益度”的大小選擇其所要跟隨的采蜜蜂，并在鄰域內(nèi)搜索。

7)同步驟 4)和步驟 5)，并記下種群更新后的最優(yōu)“收益度”值，以及相應(yīng)的參數(shù)。

8)在某只采蜜蜂的周圍，若搜索次數(shù)Bas達到一定的閾值Limit仍然沒有搜索到更優(yōu)的位置時，則初始化該采蜜蜂，隨機搜索新的位置。

9)若滿足停止準則，則停止計算并輸出最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)的參數(shù)，否則轉(zhuǎn)向步驟3)。

10)將人工蜂群算法識別出的 12個參數(shù)代入系統(tǒng)矩陣，計算出顫振導數(shù)。

3 理想平板模型仿真

3.1 仿真模型

為驗證人工蜂群算法識別橋梁斷面顫振導數(shù)的可行性，設(shè)計理想平板仿真模型，節(jié)段模型氣動自激力采用Theodorsen理論解[24]。模型參數(shù)為：平板寬0.45 m，單位長度質(zhì)量11.94 kg，單位長度質(zhì)量慣性矩0.532 kg·m2，豎彎基頻1.488 Hz，扭轉(zhuǎn)基頻2.966 Hz，豎彎阻尼比ζh=0.007，扭轉(zhuǎn)阻尼比ζα=0.002。豎彎信號的權(quán)值取扭轉(zhuǎn)信號的最大值，扭轉(zhuǎn)信號的權(quán)值取豎彎信號的最大值。將計算的理論參數(shù)代入式(7)中進行求解，得到仿真模型在各個風速下自由衰減時程。

3.2 顫振導數(shù)識別

3.2.1 添加白噪聲的識別結(jié)果

仿真計算風速增量為 2 m/s，為考察人工蜂群算法在混有測量噪聲時的識別精度，對無噪聲，添加 2%白噪聲、5%白噪聲、10%白噪聲水平的情況進行仿真，由于無噪聲的結(jié)果和理論解完全吻合，這里不再單獨列出。各個工況顫振導數(shù)識別結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，在2%小噪聲情況下，各個風速下用人工蜂群算法識別出的顫振導數(shù)和Theodorsen理論解非常吻合，識別值幾乎完全等于理論值；在 5%中等噪聲情況下，識別值與理論值有較少的偏差，其中識別值與理論值在低風速區(qū)間有一定的偏差，的識別值和理論值在高風速區(qū)間有一定的偏離；在10%大噪聲情況下，除顫振導數(shù)在部分風速下偏差較大外，其余顫振導數(shù)的識別值與理論值相差較小，且所有識別值與理論值趨勢性完全相同。在中高等白噪聲水平下，顫振導數(shù)中有部分識別結(jié)果與理論值出現(xiàn)了一些偏差，其余顫振導數(shù)識別值與理論值偏差很小。顫振導數(shù)仿真識別的結(jié)果表明，人工蜂群算法具有較好的抵抗白噪聲能力。

圖2 不同白噪聲水平下識別的顫振導數(shù)和Theodorsen理論解的對比Fig.2 Comparison on the flutter derivatives for Theodorsen’s theoretical solutions and identified results with different white noise levels

在計算效率方面，利用同一計算平臺(酷睿i5-6500CPU，內(nèi)存 12G，MATLABR2017a)，分別采用ABC法和MLS法對某一風速下的顫振導數(shù)進行識別，識別結(jié)果收斂至同一精度，重復 20次計算，ABC算法平均用時為0.074 s，MLS法平均用時為0.017 s，采用ABC算法計算時無須提供初值，但會增加一定的計算時間，由于兩種方法的計算時間均較短，ABC法計算時間的增加幾乎可以忽略不計。

3.2.2 添加有色噪聲的識別結(jié)果

為多方面驗證人工蜂群算法的抗噪能力，對添加 2%有色噪聲、5%有色噪聲、10%有色噪聲水平的情況進行仿真，5%有色噪聲信號的功率譜如圖3所示。識別結(jié)果如圖4所示。

從圖4中可以看出，在添加2%有色噪聲的情況下，各顫振導數(shù)的識別值與Theodorsen理論解十分吻合，除的個別值出現(xiàn)一定的偏離外，其余識別值幾乎完全等于理論值；在添加 5%有色噪聲的情況下，、和有一定的偏離，其余識別值仍能與理論值吻合較好；在添加10%有色噪聲的情況下，A4*和 H2*與理論解偏離較大，其余識別值只在高風速下有稍大的偏離，且所有識別值與理論值都具有相同的趨勢性。識別結(jié)果表明，人工蜂群算法也具有較好的抗有色噪聲能力。

圖3 添加有色噪聲的功率譜Fig.3 Power spectrum of the non-white noise

圖4 不同有色噪聲水平下識別的顫振導數(shù)和Theodorsen理論解的對比Fig.4 Comparison on the flutter derivatives for Theodorsen’s theoretical solutions and identified results with different non-white noise levels

4 某大橋主梁斷面顫振導數(shù)

某大橋節(jié)段模型測振試驗在湖南大學風工程試驗研究中心 HD－2號風洞第一試驗段邊界層風洞中進行。模型設(shè)計參數(shù)為：縮尺比 1∶40；風速比1∶8；模型寬度B=0.28 m；質(zhì)量m=14.327 kg/m；慣性矩I=0.6543 kg·m2/m。實橋主梁斷面和節(jié)段模型見圖5和圖6。

圖5 主梁標準斷面/mmFig.5 Typical cross section of main girder

風洞試驗進行了0°風攻角下的測振試驗，分別使用人工蜂群算法和 MLS算法對顫振導數(shù)進行識別，豎彎信號的權(quán)值取扭轉(zhuǎn)信號的最大值，扭轉(zhuǎn)信號的權(quán)值取豎彎信號的最大值，識別結(jié)果如圖7所示?；谧R別出的顫振導數(shù)，采用 M-S搜索法[22]計算顫振臨界風速，計算值為11.8 m/s，節(jié)段模型風洞試驗測得的顫振臨界風速為12 m/s，兩者相差1.56%，從而驗證了識別結(jié)果的準確性。從識別結(jié)果中可以看出：

圖6 風洞中的節(jié)段模型Fig.6 Sectional model in wind tunnel

圖7 ABC法和MLS法識別結(jié)果對比Fig.7 Comparison on the identified results for ABC method and MLS method

(1)人工蜂群算法與已有 MLS法的識別結(jié)果幾乎完全一致，且由識別的顫振導數(shù)計算出的顫振臨界風速與風洞試驗結(jié)果吻合較好，說明了人工蜂群算法在識別橋梁斷面顫振導數(shù)上的有效性。

(2)相比MLS迭代法，人工蜂群算法對初值沒有要求，識別精度與需要設(shè)定初值的迭代算法一致，這體現(xiàn)了群體智能算法在全局尋優(yōu)方面的優(yōu)勢。

5 結(jié)論

本文首先介紹了橋梁斷面彎扭兩自由度自由振動的數(shù)學模型，并建立了基于最小二乘原理的目標函數(shù)，進而將人工蜂群算法應(yīng)用到顫振導數(shù)的識別，最后采用理想平板數(shù)值仿真和節(jié)段模型風洞試驗驗證了該方法的有效性。本文的數(shù)值仿真和試驗結(jié)論如下：

(1)應(yīng)用人工蜂群算法對仿真理想平板進行識別，在無噪聲時，得到的顫振導數(shù)與Theodorsen理論解完全一致，表明在高風速下人工蜂群算法仍能精確地識別出顫振導數(shù)，可以克服風速較高時，信號衰減快，有效豎彎信號短對顫振導數(shù)識別帶來的困難。

(2)在2%小噪聲情況下，理想平板的識別結(jié)果與理論解幾乎完全吻合；在 5%中等噪聲情況下，識別結(jié)果有微小偏差；在10%大噪聲情況下識別結(jié)果與理論值的趨勢仍完全相同。這表明，人工蜂群算法具有較好的抗噪能力。

(3)對某大橋節(jié)段模型進行了風洞試驗，并分別采用人工蜂群算法和 MLS迭代法進行了顫振導數(shù)的識別，結(jié)果表明，人工蜂群算法與 MLS迭代法具有相同的精度，且不需要提供初值，體現(xiàn)了群體智能算法的優(yōu)勢。

綜上所述，識別橋梁斷面顫振導數(shù)的人工蜂群算法具有穩(wěn)定可靠、抗噪聲能力強、識別精度高的特點，可以作為橋梁斷面顫振導數(shù)識別的有效新工具。