動(dòng)水力簡化計(jì)算方法對(duì)圓形橋墩傳遞函數(shù)的影響

郭 婕，趙 密，王丕光，杜修力

(北京工業(yè)大學(xué)城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100124)

與陸地結(jié)構(gòu)相比，水中結(jié)構(gòu)物存在著水_結(jié)構(gòu)相互作用，由地震動(dòng)引起的水對(duì)結(jié)構(gòu)物的動(dòng)力相互作用力稱為地震動(dòng)水力。已有的理論和試驗(yàn)的研究結(jié)果均表明，地震動(dòng)水力對(duì)水中結(jié)構(gòu)物動(dòng)力響應(yīng)的影響不可忽略[1－4]，同時(shí)也獲得了一些重要的研究成果[5－10]。

從連續(xù)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)的角度，水體作為擾動(dòng)的傳播介質(zhì)，表現(xiàn)出一定的體積變形能力時(shí)稱為可壓縮水體。可壓縮水體動(dòng)水力相應(yīng)的動(dòng)力剛度是頻率相關(guān)的，Du和Wang等[11－12]提出了將其時(shí)域化的方法。但許多研究者發(fā)現(xiàn)，在橋墩、樁等相對(duì)細(xì)柔的結(jié)構(gòu)物的動(dòng)力分析中水體的可壓縮性可忽略[13－14]。此類問題中將水體作為不可壓縮體考慮是合理的[15]。針對(duì)不可壓縮無粘性水體中的圓柱墩，可根據(jù)水體輻射理論得到動(dòng)水力的精確解，此解可表示為附加質(zhì)量的函數(shù)形式[16]，但由于自由度的相關(guān)性，精確解的直接應(yīng)用比較困難，因此需要尋找計(jì)算精度較高的簡化計(jì)算方法。

現(xiàn)有可供工程應(yīng)用的不可壓縮無粘性水體的動(dòng)水力的簡化計(jì)算模型可分為2大類：一種從動(dòng)力學(xué)角度基于一定的簡化條件和理論基礎(chǔ)得到相應(yīng)表達(dá)式；另一種為借鑒波浪力學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)公式。

對(duì)于第1類計(jì)算模型，代表性工作又可細(xì)分為以下2種。第1種從水體輻射理論出發(fā)，通過一定的簡化條件得到，代表性工作包括：Liaw和Chopra[13]基于不可壓縮無粘性水體的輻射理論得到了剛性懸臂圓柱體假設(shè)下的非均勻動(dòng)水力，文中稱此方法為剛性柱法，Li和Yang[17]、Jiang等[18]、Wang等[19]基于此解析法擬合得到了表達(dá)更簡潔的計(jì)算公式。第2種方法從動(dòng)水力附加質(zhì)量的概念出發(fā)，根據(jù)柔性柱體有水工況相對(duì)無水工況中1階固有頻率的改變率，求得相應(yīng)動(dòng)水附加質(zhì)量，代表性工作包括：Han和Xu[20]提出了計(jì)算動(dòng)水附加質(zhì)量的頻率近似法，Yang和 Li[21]通過大量參數(shù)的分析，擬合得到了覆蓋范圍較廣的基頻近似法的經(jīng)驗(yàn)公式。

在波浪力學(xué)中，為計(jì)算小直徑柱體的水平波浪力，假設(shè)柱體的存在對(duì)波浪場(chǎng)的影響可忽略，Morison等[22]提出了半經(jīng)驗(yàn)半理論的Morison方程，之后Penzien和Kaul[23]將其引入計(jì)算結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)水力，由于公式形式簡單且具有一定的精度而得到廣泛應(yīng)用[24－26]，此方法被稱為莫里森(Morison)法，為第2類計(jì)算模型。

上述2類模型中的3種簡化方法，包含了對(duì)柱體剛度從剛性到真實(shí)柔性再到完全柔性的假定，覆蓋面較廣，具有一定代表性。然而，針對(duì)上述簡化方法在求解圓形橋墩動(dòng)力響應(yīng)時(shí)計(jì)算精度的研究還比較缺乏。筆者在前期工作中，通過對(duì)圓柱體模型在144種工況條件下的地震動(dòng)響應(yīng)，在時(shí)域中分析了幾種簡化方法的計(jì)算精度并獲得了一些對(duì)宏觀結(jié)果的認(rèn)知[27]。但時(shí)域響應(yīng)同時(shí)受到輸入荷載和結(jié)構(gòu)特性的影響，且峰值響應(yīng)的誤差是對(duì)眾多影響因素的宏觀表現(xiàn)，如在不同頻譜成分的地震動(dòng)作用下，結(jié)構(gòu)響應(yīng)可能有很大差異，所以時(shí)域分析不能從細(xì)部上研究誤差來源。頻域傳遞函數(shù)包含了系統(tǒng)所有動(dòng)力特性參數(shù)，能深入分析結(jié)構(gòu)在不同頻率下的動(dòng)力響應(yīng)特性[28]?；趥鬟f函數(shù)，將輸入和系統(tǒng)分開，從能量分布的角度分析各因素對(duì)系統(tǒng)的影響是一種有效的手段。如Goyal和Chopra[29]通過頻域傳遞函數(shù)研究了動(dòng)水力和結(jié)構(gòu)_地基相互作用對(duì)水塔動(dòng)力特性的影響。因此，本文仍然以圓形橋墩為研究對(duì)象，從頻域傳遞函數(shù)的角度，再研究3種動(dòng)水力簡化方法的計(jì)算精度。

1 地震動(dòng)水力計(jì)算方法簡介

針對(duì)浸沒于水中的懸臂圓柱體，簡要說明基于水體輻射理論得到的不可壓縮無粘性水體的精確解及上文所提3種簡化方法：剛性柱法、莫里森法和基頻近似法。

1.1 水體輻射理論法

1.1.1 不可壓縮無粘性水體的精確動(dòng)水力解

圖1所示坐標(biāo)系中，不可壓縮無粘性水體的深度為H，彈性懸臂圓柱體半徑為R、高度為h。假設(shè)地基剛性水平，忽略水體自由表面波條件，由動(dòng)水壓力p(t)表示的水體控制方程為：

通過控制方程和邊界條件可知，桿件單元在深度z處的單位高度的精確動(dòng)水力解為[16]：

式中：ρ為水體密度；其中λ＝為第 2 類第 1 階修正Bessel函數(shù)；為結(jié)構(gòu)在高度z處的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度，由圖1可知，u=us+ug，因此不可壓縮無粘性水體的精確動(dòng)水力是與結(jié)構(gòu)變形相關(guān)的函數(shù)。通過有限元法離散圓柱體，得到動(dòng)水力向量：

其中：

式中：N為形函數(shù)矩陣；上標(biāo)T為矩陣或向量的轉(zhuǎn)置。假定水體深度與墩高相等，由此得到考慮不可壓縮無粘性水體的精確動(dòng)水力影響的結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程：

式中：Ms、Cs、Ks分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；us為結(jié)構(gòu)相對(duì)變形向量；為結(jié)構(gòu)變形的速度和加速度向量。

圖1 受水平地震作用的水中圓柱體Fig.1 Cylinder in water subjected to horizontal earthquake

1.1.2 剛性柱法

假設(shè)結(jié)構(gòu)為剛體，由式(2)得到剛性柱法相應(yīng)的附加質(zhì)量為[16]：

為方便工程使用，Wang等[19]擬合得到下式：

其中：

式中，L為結(jié)構(gòu)直徑和水深的比值，即L=2R/H，稱為寬深比。

下文剛性柱法計(jì)算中采用式(9)的形式。

1.2 基頻近似法

基于基頻近似法的思想，Yang和 Li[21]通過大量計(jì)算，擬合得到動(dòng)水附加質(zhì)量的計(jì)算公式：

式中：ρc為橋墩所用混凝土密度；Cm2＝

1.3 莫里森法

將Morison方法用于計(jì)算地震引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)水力時(shí)，假定水體靜止，非線性阻尼項(xiàng)對(duì)一般橋梁結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的影響可忽略[30]，此時(shí)方程簡化得到的附加質(zhì)量為[23]：

式中：ρ為水體密度；為單位長度柱體的排水體積；Cm1為附加質(zhì)量系數(shù)，與形狀相關(guān)，圓柱體取1。

將上述4種方法所得動(dòng)水力應(yīng)用于結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，形成類似式(6)的總方程，再通過求解總方程便可得到考慮動(dòng)水力影響的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)。

2 計(jì)算工況

采用上述4種方法分別考慮動(dòng)水力對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。各方法附加質(zhì)量是半徑R、寬深比L或水深H的函數(shù)，又由于L=2R/H，實(shí)際僅兩參數(shù)獨(dú)立，因此本文選取L和H為參數(shù)。算例中水深與墩高相等，共設(shè)計(jì)84種尺寸的橋墩，L和H的取值范圍和橋墩材料參數(shù)取值見表1(橋墩為混凝土構(gòu)件并保持彈性)。為考慮橫向剪切變形的影響，橋墩采用Timoshenko梁單元模擬。輸入荷載為狄拉克脈沖，其位移時(shí)程曲線及相應(yīng)Fourier譜見圖2。

表1 參數(shù)及其取值[31]Table 1 Parameters and values[31]

圖2 輸入脈沖的位移時(shí)程及其Fourier譜Fig.2 Displacement time-history and Fourier amplitude spectrum of input impulse

3 頻域傳遞函數(shù)

多自由度體系結(jié)構(gòu)的動(dòng)力運(yùn)動(dòng)方程為：

由式(14)可看出，頻域傳遞函數(shù)在頻域ω內(nèi)建立了系統(tǒng)反應(yīng)和激勵(lì)之間的映射關(guān)系。而反應(yīng)和激勵(lì)選擇不同的物理參數(shù)，將出現(xiàn)多種含義的頻域傳遞函數(shù)。如當(dāng)外荷載為地震動(dòng)(可表示為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣和輸入地震動(dòng)加速度向量積的形式)，此時(shí)，選擇輸入荷載的位移為激勵(lì)，結(jié)構(gòu)的相對(duì)變形為系統(tǒng)反應(yīng)，因此得到的位移頻域傳遞函數(shù)的計(jì)算公式為：

本文采用了3種傳遞函數(shù)做分析，分別為位移、剪力和彎矩傳遞函數(shù)。而剪力和彎矩傳遞函數(shù)較難得到類似式(15)的表達(dá)式解，因此本文基于數(shù)值分析結(jié)果計(jì)算3種傳遞函數(shù)。其中位移傳遞函數(shù)的解同式(15)所得的解是一致的，另外剪力和彎矩傳遞函數(shù)的激勵(lì)均為輸入荷載的加速度，反應(yīng)分別為橋墩的剪力和彎矩響應(yīng)。

4 結(jié)果分析研究

4.1 頻域傳遞函數(shù)對(duì)比

提取各工況中橋墩頂部節(jié)點(diǎn)的位移傳遞函數(shù)、底部節(jié)點(diǎn)的剪力和彎矩傳遞函數(shù)。

圖3為工況H=80 m、L=0.2時(shí)各方法所得相應(yīng)傳遞函數(shù)。通過圖3可看出，不同方法的結(jié)果的差異集中在共振峰附近，尤其是1階、2階共振峰，體現(xiàn)在共振峰幅值和共振頻率的差異。

因此，提取各工況在上述傳遞函數(shù)的 1階、2階共振峰幅值和共振頻率。將精確法所得結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)，求得3種簡化方法的位移、剪力和彎矩共振峰幅值的相對(duì)誤差和共振周期的相對(duì)誤差。其中不同傳遞函數(shù)得到的共振頻率是一致的，因此共振周期的相對(duì)誤差也是相同的。相對(duì)誤差(其中X=U、F、M或T，分別代表位移、剪力、彎矩和周期；n=1或2，分別代表1階和2階)定義為：(簡化法值-精確法值)/精確法值×100%。由上式定義的誤差有正負(fù)之分，誤差值的絕對(duì)值越大，計(jì)算精度越低；誤差值為負(fù)時(shí)說明該方法的結(jié)果相對(duì)精確法結(jié)果偏小。

圖3 工況H=80 m、L=0.2各方法的頻域傳遞函數(shù)曲線Fig.3 The frequency domain transfer function of each method in case H=80 m , L=0.2

4.2 共振周期的誤差

84種尺寸的橋墩工況下剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的1階、2階的共振周期誤差分別如圖4、圖5和圖6所示。各方法的誤差范圍和極差統(tǒng)計(jì)于表2。

基頻近似法的誤差在±3%內(nèi)變化，且1階誤差多為正，2階誤差多為負(fù)。隨著寬深比增大，誤差趨于穩(wěn)定；誤差在寬深比等于0.25時(shí)較小，在寬深比等于0.05或0.7時(shí)較大。隨著水深的增大，誤差先減小后穩(wěn)定，水深20 m時(shí)誤差較大。莫里森法的1階、2階誤差分別在9%、6%內(nèi)變化，誤差值均為正值。隨著寬深比增大，誤差不斷增大但增速減緩，寬深比等于0.05時(shí)誤差最小。隨著水深的增大，誤差僅在寬深比較小(小于0.2)時(shí)有一定程度的波動(dòng)，其中水深120 m時(shí)誤差最小。

圖4 剛性柱法的共振周期誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.4 The resonant period errors of the rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖5 基頻近似法的共振周期誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.5 The resonant period errors of a method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖6 莫里森法的共振周期誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.6 The resonant period errors of Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

剛性柱法和莫里森方法的周期誤差均為正，表明Mrw和MM對(duì)結(jié)構(gòu)1階、2階振動(dòng)的質(zhì)量貢獻(xiàn)大于Mw的貢獻(xiàn)。

在每種工況下比較各方法誤差絕對(duì)值的相對(duì)大小，所得最小值對(duì)應(yīng)的方法見圖7，每種方法在圖7中所占比例見表2。剛性柱法在1階72%、2階2%的工況中值最小，1階時(shí)主要分布在寬深比大于0.35的工況，2階時(shí)僅分布在寬深比小于0.1且水深等于20 m的工況。基頻近似法在1階27%、2階98%的工況中值最小，1階時(shí)該方法分布于寬深比小于0.4且水深大于20 m的大部分工況。莫里森法僅分布在1階的個(gè)別工況。

4.3 位移共振峰的幅值誤差

剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的 1階、2階位移共振峰幅值誤差分別如圖8、圖9和圖10所示，各方法的誤差范圍和極差統(tǒng)計(jì)于表2。

剛性柱法的前兩階誤差均在±2%內(nèi)變化，且基本是負(fù)值誤差。

基頻近似法的1階、2階誤差分別在±4%、±12%內(nèi)變化且?guī)缀蹙鶠樨?fù)。隨著寬深比的增大，誤差絕對(duì)值先增大后減小并趨于穩(wěn)定。寬深比等于0.05時(shí)誤差絕對(duì)值最小，寬深比在0.4附近誤差絕對(duì)值較大。對(duì)水深變化而言，誤差絕對(duì)值隨著水深的增加先增大后減小并趨于穩(wěn)定(除寬深比等于0.05時(shí))，水深20 m時(shí)誤差最小。

莫里森法的誤差在±6%內(nèi)變化。1階誤差基本為正值，各水深條件下，誤差均隨寬深比的增大呈線性增大的趨勢(shì)。2階誤差基本為負(fù)值，誤差絕對(duì)值隨著寬深比的增大，先增大后減小。寬深比在0.05時(shí)1、2階誤差均較小，寬深比等于0.3和0.7時(shí)誤差較大。

在每種工況下比較各方法誤差絕對(duì)值的相對(duì)大小，所得最小值對(duì)應(yīng)的方法如圖11所示，每種方法在圖中出現(xiàn)次數(shù)占總工況數(shù)的比例統(tǒng)計(jì)于表2。剛性柱法的占比在93%~95%。莫里森法的占比在4%~7%，1階時(shí)出現(xiàn)在寬深比等于0.5且水深等于20 m~60 m的工況，2階時(shí)出現(xiàn)在寬深比大于0.65的工況。基頻近似法僅出現(xiàn)在1階時(shí)水深為20 m且寬深比為0.1的工況。

由表３可以看出，在95%的置信水平下，值小于0.05，可以驗(yàn)證月消費(fèi)水平與所選擇的外賣價(jià)格之間是相互關(guān)聯(lián)的，月消費(fèi)水平與選擇外賣的價(jià)格不是相互獨(dú)立的，即大學(xué)生的月消費(fèi)水平與選擇外賣價(jià)格之間具有一定的相關(guān)性．

圖7 絕對(duì)最小共振周期誤差對(duì)應(yīng)的方法Fig.7 Method corresponding to absolute minimum resonance period error

表2 各方法的誤差范圍、極差和各方法在絕對(duì)誤差最小值分布圖中所占比例Table 2 The scope and range of the error, and the proportion of each method in the distribution of absolute minimum error

圖8 剛性柱法的位移共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.8 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖9 基頻近似法的位移共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.9 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖10 莫里森法的位移共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.10 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖11 絕對(duì)最小位移共振峰幅值誤差對(duì)應(yīng)的方法Fig.11 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of displacement

4.4 剪力共振峰的幅值誤差

剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的剪力共振峰幅值誤差分別如圖12、圖13和圖14所示，相應(yīng)誤差范圍統(tǒng)計(jì)于表2。與位移誤差相比，各方法的誤差范圍和變化趨勢(shì)都有一定程度改變，其中基頻近似法的差異相對(duì)較小。

剛性柱法的剪力誤差在±3%內(nèi)變化。隨著寬深比的增大，各水深下的1階誤差由正變負(fù)，誤差絕對(duì)值先減小后增大并趨于穩(wěn)定；2階誤差均為正，誤差先減小后增大并趨于穩(wěn)定。

基頻近似法的 1、2階誤差幾乎均為負(fù)，分別在±8%、±11%內(nèi)變化。隨著寬深比增大，誤差絕對(duì)值先增大后減小(除水深20 m時(shí))，寬深比等于0.05時(shí)誤差絕對(duì)值較小，寬深比在0.3附近時(shí)誤差絕對(duì)值較大。隨著水深增大，誤差絕對(duì)值先增大后穩(wěn)定(除寬深比等于0.05時(shí))，水深20 m時(shí)誤差最小。

莫里森法的1、2階誤差均為正，分別在21%、16%內(nèi)變化。各水深條件下，誤差均隨著寬深比增大呈線性增大的趨勢(shì)。結(jié)合誤差隨水深變化的規(guī)律，寬深比等于0.05、水深等于120 m時(shí)誤差最小。

各工況誤差絕對(duì)值最小時(shí)對(duì)應(yīng)的方法如圖15所示，每種方法在圖中所占比例見表2。從圖15可以發(fā)現(xiàn)，1階誤差和2階誤差的方法分布相同。其中，剛性柱法的占比為93%。莫里森法的占比為5%，并分布在寬深比為0.05且水深為60 m~120 m的工況?；l近似法的占比僅為2%。

4.5 彎矩共振峰的幅值誤差

剛性柱法、基頻近似法和莫里森法的彎矩共振峰幅值誤差分別如圖16、圖17和圖18所示，誤差范圍統(tǒng)計(jì)于表2。與位移、剪力誤差相比，各方法的誤差區(qū)間和變化趨勢(shì)均有一定差異。

剛性柱法的誤差在±5%內(nèi)變化，且誤差值基本為正。隨寬深比增大，1階誤差不斷減小并趨于零，2階誤差先減小后增大。

基頻近似法的誤差在±7%內(nèi)變化，且誤差幾乎都是負(fù)值。隨著寬深比增大(除水深20 m時(shí))，誤差絕對(duì)值先增大后減小。寬深比等于0.05或0.7時(shí)，誤差絕對(duì)值相對(duì)較小，寬深比在0.2附近時(shí)誤差絕對(duì)值較大。隨著水深增大(除寬深比等于0.05和0.7時(shí))，誤差絕對(duì)值先增大后趨于穩(wěn)定，水深20 m時(shí)誤差最小。

圖12 剛性柱法的剪力共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.12 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖13 基頻近似法的剪力共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.13 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖14 莫里森法的剪力共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.14 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖15 絕對(duì)最小剪力共振峰幅值誤差對(duì)應(yīng)的方法Fig.15 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of shear force

圖16 剛性柱法的彎矩共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.16 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

莫里森法誤差在 24%內(nèi)變化，且誤差均為正值。1階、2階誤差均隨著寬深比增大呈線性增大的趨勢(shì)，即寬深比越大，誤差越大。結(jié)合誤差隨水深變化的規(guī)律，寬深比等于0.05、水深等于120 m時(shí)誤差最小。

各工況誤差絕對(duì)值最小時(shí)對(duì)應(yīng)的方法如圖19所示，每種方法在圖中所占比例見表2。剛性柱法在1階86%、2階61%的工況中值最小。基頻近似法在1階11%、2階37%的工況中最小。莫里森法在1階3%、2階2%的工況中最小，分布在寬深比為0.05且水深大于80 m的工況。

圖17 基頻近似法的彎矩共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.17 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖18 莫里森法的彎矩共振峰幅值誤差(實(shí)線柱：正值誤差；虛線柱：負(fù)值誤差)Fig.18 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)

圖19 絕對(duì)最小彎矩共振峰幅值誤差對(duì)應(yīng)的方法Fig.19 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of bending moment

4.6 誤差綜合分析

結(jié)合位移、剪力、彎矩共振峰幅值誤差和共振周期誤差的分析，從誤差絕對(duì)值的角度，剛性柱法的極限誤差最小，且隨著各參數(shù)變化，誤差變化平緩；基頻近似法的極限誤差次之，隨著參數(shù)變化，誤差變化較平緩；莫里森法的極限誤差最大，且隨參數(shù)變化，誤差改變劇烈。

結(jié)合各方法的簡化依據(jù)可知，剛性柱法根據(jù)解析公式并作結(jié)構(gòu)剛性假定得到，考慮了動(dòng)水力沿高度的分布，所以各工況下誤差均較小，但在小寬深比情況下，即結(jié)構(gòu)相對(duì)柔的情況下，誤差相對(duì)較大。

基頻近似法基于橋墩真實(shí)柔性得到，因此計(jì)算共振周期時(shí)誤差相對(duì)較小；但該方法計(jì)算得到的各種響應(yīng)的共振峰幅值偏小，這主要是由于該方法低種響應(yīng)的共振峰幅值偏小，這主要是由于該方法低估了地面剛性運(yùn)動(dòng)引起的動(dòng)水力附加質(zhì)量。此時(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)將被低估，因此將該方法用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)果是偏于不安全的。

莫里森法是基于柱體存在對(duì)波浪場(chǎng)影響可忽略的假定得到的經(jīng)驗(yàn)公式，出現(xiàn)了隨寬深比增大，誤差也增大的現(xiàn)象。且各響應(yīng)的共振峰幅值和共振周期總被過大估計(jì)。此時(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)多將被高估，因此將該方法用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)結(jié)果將偏于保守。

通過在每種計(jì)算工況下比較各方法所得誤差的絕對(duì)值后發(fā)現(xiàn)，在1階共振周期計(jì)算中，剛性柱法在寬深比大于0.4的工況中有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，基頻近似法在小寬深比條件下具有明顯的優(yōu)勢(shì)；在2階共振周期計(jì)算中，基頻近似法有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。在位移和剪力計(jì)算中，剛性柱法的結(jié)果占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，93%以上的工況中誤差絕對(duì)值都是最小的;莫里森法和基頻近似法僅在寬深比小于0.1的工況中有分布(除位移的2階誤差)，且莫里森法的分布多于基頻近似法。彎矩誤差中，基頻近似法的分布增多，剛性柱法的分布相對(duì)減少，莫里森法僅分布在寬深比小且水深大的個(gè)別工況。

結(jié)合位移、剪力、彎矩共振峰幅值誤差和共振周期誤差的分析，與水深變化相比，各方法誤差對(duì)寬深比變化更敏感。對(duì)水深變化而言，基頻近似法較其余兩方法更敏感。

5 結(jié)論

針對(duì)不可壓縮無粘性水體，本文通過各方法所得頻域傳遞函數(shù)的對(duì)比分析得到以下結(jié)論：

(1)所選參數(shù)范圍內(nèi)，從共振周期的角度，基頻近似法和剛性柱法誤差的變化幅度小，莫里森法誤差變化區(qū)間較大；從共振幅值的角度，剛性柱法誤差的變化幅度最小，基頻近似法次之，莫里森法誤差變化區(qū)間稍大。

(2)對(duì)比各方法所得誤差的絕對(duì)值可發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算各響應(yīng)的共振峰幅值時(shí)，剛性柱法具有較明顯的精度優(yōu)勢(shì)；而在共振周期計(jì)算中，基頻近似法的優(yōu)勢(shì)更明顯。

(3)與精確解所得結(jié)果相比，基頻近似法所得共振峰幅值大多偏小，用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)偏于不安全；莫里森法所得共振峰幅值和周期大多偏大，用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)偏于保守。結(jié)合共振周期和峰值的計(jì)算精度，推薦使用剛性柱法。