解析證明四色定理

摘? 要：嚴(yán)格定義鄰居，通過討論鄰居環(huán)中鄰居總數(shù)的奇偶性，得出四色定理。

關(guān)鍵詞：四色定理，四色問題，四色猜想，格斯里（Francis Guthrie）。

1.地圖著色原則：

接壤的兩個區(qū)域不同色，這里的接壤是共同擁有邊界線，而不是點(diǎn)。

這里的地圖，是平面上的，或是球面上的，不考慮其它情形。

2.問題的提出：

1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發(fā)現(xiàn)每幅地圖都可以用四種顏色著色。這個現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢？他和正在讀大學(xué)的弟弟決心試一試，但是稿紙已經(jīng)堆了一大疊，研究工作卻是沒有任何進(jìn)展。

1852年10月23日，他的弟弟就這個問題的證明請教了自己的老師、著名數(shù)學(xué)家德.摩爾根，摩爾根也沒有能找到解決這個問題的途徑，于是寫信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密頓爵士請教，但直到1865年哈密頓逝世為止，問題也沒有能夠解決。

1872年，英國當(dāng)時最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦數(shù)學(xué)學(xué)會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題，世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。

3.計算機(jī)證明：

1976年6月，在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺計算機(jī)上，用了1200個小時，作了100億個判斷結(jié)果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。

4.論據(jù)不充分：

計算機(jī)證明雖然做了百億個判斷，終究只是在龐大的數(shù)量上取得成功，這并不符合數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯體系，至今仍有無數(shù)數(shù)學(xué)愛好者投身其中研究。

5.猜想：

地圖著色四色足夠。

6.地圖著色法：

①關(guān)注一個區(qū)域（本區(qū)）著A色。

多個區(qū)域交于一點(diǎn)，本區(qū)為點(diǎn)，不著色。

②檢查有沒有與本區(qū)多次接壤的區(qū)域（復(fù)鄰）。

如果沒有復(fù)鄰，都是單鄰，就用B色C色交替著色。

如果有復(fù)鄰，先把它當(dāng)做單鄰處理，（被它扣住的區(qū)域以后處理）。

③順色鄰居之一著D色。

④復(fù)鄰內(nèi)區(qū)域，用本區(qū)和復(fù)鄰顏色以外的二色交替著色。

嵌套的復(fù)鄰，逐層扒皮。

⑤關(guān)注下一個區(qū)域（已著色的邊緣區(qū)域做新的本區(qū)）

7.定義：

本區(qū)：關(guān)注的區(qū)域。

復(fù)鄰：與本區(qū)接壤多次的區(qū)域（兩次接壤之間有獨(dú)立的區(qū)域）。

嵌套：多層復(fù)鄰。

復(fù)鄰體：復(fù)鄰及其與本區(qū)之間區(qū)域的總和。

鄰居：與本區(qū)接壤且不被復(fù)鄰扣住的區(qū)域。

單鄰：與本區(qū)接壤一次的鄰居（哪怕它包圍了本區(qū)）。

鄰居環(huán)：所有鄰居組成的環(huán)，首尾相接。

偶數(shù)環(huán)：偶數(shù)個鄰居的鄰居環(huán)。

奇數(shù)環(huán)：奇數(shù)個鄰居的鄰居環(huán)。

鄰居鏈：整段鄰居組成的鏈，首尾不接。

本區(qū)集團(tuán)：本區(qū)及所有鄰居的總和。

8.證明：

鄰居鏈著色二色足夠。

∵鄰居鏈?zhǔn)孜膊唤?，不受順色制約，

∴二色交替即可，二色足夠。

復(fù)鄰體著色三色足夠。

∵復(fù)鄰內(nèi)的區(qū)域只能是鄰居鏈，

∴復(fù)鄰內(nèi)區(qū)域著色二色足夠。再加復(fù)鄰一色，復(fù)鄰體著色三色足夠。

鄰居環(huán)著色（鄰居總數(shù)>1時）：

偶數(shù)環(huán)著色二色足夠。

∵偶數(shù)環(huán)的首尾奇偶性不同，

∴奇偶不同色即可，二色足夠。

奇數(shù)環(huán)著色三色足夠。

∵奇數(shù)環(huán)的首尾奇偶性相同，

∴奇偶不同色到扣環(huán)時首尾順色，必須且僅需第三色介入。

∴奇數(shù)環(huán)著色三色足夠。

∵所有鄰居著色三色足夠，再加本區(qū)一色，

∴本區(qū)集團(tuán)著色四色足夠。

∵本區(qū)是在地圖上任選的，

∴地圖著色四色足夠。

9.結(jié)論：

四色定理成立。

參考文獻(xiàn)

[1]? 網(wǎng)絡(luò)-四色定理-百度百科。

作者簡介：張奎福，（1962.12-），男，漢族，吉林省松原市長嶺縣巨寶山鎮(zhèn)，1962年12月，數(shù)論，中專，吉林銀行學(xué)校，從事數(shù)論研究。