三維球內(nèi)近晶A相液晶徑向?qū)ΨQ缺陷構(gòu)型的穩(wěn)定性

趙方鑫 李思銳 羅永順 王曉淵

摘 要：在平衡狀態(tài)下，缺陷結(jié)構(gòu)的位置和構(gòu)型由自由能極小解與邊界約束共同確定。通過極小化近晶A相液晶的自由能泛函，可以獲得其區(qū)域限制在三維球內(nèi)的平衡態(tài)解，從而利用二階變分方法證明其徑向?qū)ΨQ的點(diǎn)缺陷構(gòu)型的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：液晶;近晶A相;點(diǎn)缺陷;徑向?qū)ΨQ性;穩(wěn)定性

中圖分類號：O175.2; O176

文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A

液晶是介于通常液體和固態(tài)晶體之間的中間態(tài)物質(zhì)， 它既有晶體的分子有向特性，又有流體那樣的流動性。液晶分子幾何的各向異性促使液晶系統(tǒng)表現(xiàn)出像晶體一樣的各向異性，其復(fù)雜而迷人的結(jié)構(gòu)以及獨(dú)特的物理化學(xué)性能吸引著眾多科學(xué)家的關(guān)注。 隨著溫度從高到低的變化，液晶材料往往表現(xiàn)出從均勻相到向列相再到近晶相的相變過程。詳細(xì)的液晶介紹可以參考文獻(xiàn)[1]。

液晶除了呈現(xiàn)出各種豐富的相結(jié)構(gòu)外， 它的一個十分重要物理現(xiàn)象就是缺陷的存在。 從直觀上講， 缺陷（包括點(diǎn)缺陷和線缺陷）就是局部分子排列不連續(xù)的地方。 缺陷存在的原因比較多，有雜質(zhì)的存在、邊界條件的限制、區(qū)域拓?fù)湎拗啤⒁壕У牧鲃拥?，他們會對液晶材料產(chǎn)生重要的影響。 缺陷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究不僅數(shù)學(xué)上重要，而且也與許多物理現(xiàn)象直接相關(guān)聯(lián)。因此，缺陷性態(tài)的研究已經(jīng)成為液晶研究的重要問題之一。

液晶缺陷的早期研究主要集中在描述向列相的向量模型。對單常數(shù)近似情形的Oseen￣Frank模型（即對應(yīng)調(diào)和映照），SCHOEN和UHLENBECK[2]證明了它的奇點(diǎn)為有限集。對一般形式的Oseen￣Frank模型，HARDT等[3]證明了其極小解的奇點(diǎn)集的一維Hausdorff測度為零，這從數(shù)學(xué)上排除Oseen￣Frank模型描述線缺陷存在的可能性。對于修正的Ericksen模型，ALPER等[4-5]研究了相應(yīng)的液晶缺陷結(jié)構(gòu)。由于Q￣張量模型能夠刻畫更復(fù)雜的線缺陷結(jié)構(gòu)，目前也有一些工作。例如，IGNAT等[6]研究線缺陷結(jié)構(gòu)的存在性與穩(wěn)定性。針對三維Q￣張量模型，CANEVARI[7]研究了線缺陷在小彈性常數(shù)趨于零的漸近行為。

在不同區(qū)域拓?fù)涞南拗葡拢相與向列相的缺陷結(jié)構(gòu)在物理性態(tài)上往往表現(xiàn)出巨大的差異性，近晶A相分子層排列促使其出現(xiàn)的缺陷結(jié)構(gòu)更為豐富。 在二維情形，CALDERER等[8]研究了近晶A相徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)和焦錐織構(gòu)的物理性態(tài);通過極小化能量泛函，在二維區(qū)域限制下獲得了近晶A相缺陷的分類：向錯、位錯和焦錐織構(gòu)。三維情形焦錐織構(gòu)的穩(wěn)定性研究仍是一個重要而有意義的公開問題，本文主要工作是在三維球形區(qū)域和邊界條件限制下，研究近晶A相徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。

1 近晶A相靜力學(xué)模型

根據(jù)分子指向有序的不同，液晶可以分為：向列相（nematic phase）、膽甾相（cholesteric phase）、近晶相（smectic phase）等。 當(dāng)液晶分子的空間位置和指向都處于無序狀態(tài)時，稱為均勻相。 向列相的特點(diǎn)是分子位置無序但分子排列長程有序，而且在局部區(qū)域分子傾向于朝某個方向排列，這個方向也稱為分子的優(yōu)取向，通常用一個單位向量n來刻畫。膽甾相的特點(diǎn)是分子指向傾向于沿著某個方向螺旋式的改變。近晶相也稱層狀相，顧名思義，其特點(diǎn)是分子分層排列，每層之間的液晶可以自由流動。近晶A相是近晶相中最簡單而重要的相結(jié)構(gòu)，其分子層的法向與分子優(yōu)取向平行，可以看成是分子層法向的一維晶體、分子層內(nèi)的二維流體。

為了研究液晶的現(xiàn)象和性質(zhì)，最有力的工具就是建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。類似于向列相液晶，根據(jù)序參量選取的不同，近晶數(shù)學(xué)模型也大致分為三類：分子模型（molecular model），如McMillan模型[9];張量模型（tensor model）和向量模型（vector model），它們的典型代表是Landau￣de Gennes模型[10]和 Chen￣Lubensky模型[11]。本文主要針對de Gennes向量模型，開展近晶A相徑向?qū)ΨQ缺陷結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性研究。 為了描述近晶相，除了向列相的分子指向序參數(shù)n之外，DE GENNES利用近晶相液晶與超導(dǎo)相似性，引入一個獨(dú)立的復(fù)值序參數(shù)

4 結(jié)語

缺陷結(jié)構(gòu)是液晶實(shí)驗(yàn)中十分重要而且引人注目的圖案樣品。如何理解缺陷產(chǎn)生的機(jī)理以及它們的穩(wěn)定性，已經(jīng)成為液晶理論與實(shí)驗(yàn)研究的中心課題。在三維球內(nèi)的區(qū)域限制下，本文針對描述近晶A相的de Gennes模型（本質(zhì)就是向量模型），研究了其徑向?qū)ΨQ點(diǎn)缺陷結(jié)構(gòu)的性態(tài)，通過最大值原理確定了相應(yīng)缺陷結(jié)構(gòu)的存在性，然后利用標(biāo)準(zhǔn)的二階變分方法證明了這樣的點(diǎn)缺陷結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯：周曉南）