關(guān)于工科院校線性代數(shù)教學的幾點體會

王維忠　梁力　范虹霞

[摘 要]針對線性代數(shù)課程學生難學、教師難教的現(xiàn)實情況， 試圖從教材的“現(xiàn)代化”建設、幾何與線性代數(shù)課程的融合以及MATLAB在線性代數(shù)教學中的應用三個方面， 討論工科院校中線性代數(shù)課程的教學改革問題， 同時提出了一些具體的改進建議.

[關(guān)鍵詞]線性代數(shù); 教材的現(xiàn)代化; MATLAB; 幾何語言

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2020）01-0074-03

線性代數(shù)的主要特點在于應用的廣泛性和理論的抽象性. 正是因為這樣， 我們在教學中常常會感到苦惱， 一方面為了數(shù)學理論本身的發(fā)展， 抽象是需要的; 另一方面， 為了解決工程實際問題的需要， 突出矩陣應用是必不可少的. 倘若兩個方面都能兼顧， 那是最好不過了， 可實際情況是受到諸多因素的影響， 比如授課學時的限制、教師教學能力的參差不齊、教材內(nèi)容的導向等等， 我們很難達到二者兼顧的理想狀態(tài). 那我們究竟該怎么做呢？ 結(jié)合我們多年的線性代數(shù)授課以及教學改革的經(jīng)驗， 我們從以下幾點來談一些關(guān)于工科院校線性代數(shù)教學的體會.

一、教材的現(xiàn)代化需求日益突出

目前， 國內(nèi)多數(shù)工科院校與西方國家尤其是美國的同類院校相比， 所使用的線性代數(shù)教材的主要差異在于對同樣內(nèi)容的表述和處理方式、 突出的重點不同.國內(nèi)線性代數(shù)教材可以說“邏輯嚴密、表述嚴謹、 風格嚴肅”， 內(nèi)容編排多為“概念-定理-例題-習題”這樣的模式[1]. 而美國教材的特點是取材廣泛、注重應用、風格活潑， 便于培養(yǎng)學生的主動性和創(chuàng)造性[2-3].

線性代數(shù)這門課程在美國是20個世紀60年代納入數(shù)學系本科的， 最初的教學大綱是以向量空間為主體而為數(shù)學專業(yè)設計的. 伴隨修這門課程的工科學生人數(shù)的增長， 原有的大綱逐漸地出現(xiàn)了一些問題， 于是1990年美國成立了線性代數(shù)課程研究組LACSG（Linear Algebra Curiculum Study Group）開始專門討論線性代數(shù)的教學改革問題， 以促進作為公共課的線性代數(shù)轉(zhuǎn)向矩陣的應用， 進而滿足非數(shù)學專業(yè)的需求[4]. 我國自20世紀80年代將線性代數(shù)引入本科以來， 30多年過去了， 基本上一直執(zhí)行的是1995年制訂的全國性的大綱. 近年來， 教學大綱和教材雖有調(diào)整和改進， 尤其是教材編寫方面， 已經(jīng)出現(xiàn)了一些新的好的教材， 但總體上還不能適應應用型人才培養(yǎng)的需求， 因此我們有必要重新修訂大綱， 以加快線性代數(shù)教材“現(xiàn)代化”過程的步伐！

李大潛院士指出： “數(shù)學的教學不能和其他學科和外部世界隔離， 只是一個勁地在數(shù)學內(nèi)部的概念、方法和理論中打圈子， 這不利于了解數(shù)學的概念、方法和理論的來龍去脈， 不利于啟發(fā)學生自覺應用數(shù)學工具來解決各種各樣的現(xiàn)實問題， 不利于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)”.

基于上述觀點， 我們在編寫新教材時， 應力爭做到數(shù)學概念要通過精選的應用實例來引入， 教材內(nèi)容的編寫要體現(xiàn)線性代數(shù)知識應用的過程.例題與習題的設置環(huán)節(jié)上， 不僅要有常規(guī)的概念復習題、計算和證明題， 還需配置綜合性較強的探索性題目以及借助數(shù)學軟件來解決的實驗性習題. 目前， 西方國家的教材在上述幾個方面有明確的體現(xiàn)， 我們應以學習交流、 融合互補的目的， 吸取借鑒國外的優(yōu)秀教材， 為我們教材的“現(xiàn)代化”提供參考和新思路.

二、要注重運用幾何語言闡釋線性代數(shù)的概念或命題

抽象性是線性代數(shù)課程的主要特點之一. 因此， 一方面， 大多數(shù)學生修完該課程后的普遍反應是：內(nèi)容抽象枯燥、定義繁多， 難以與其他數(shù)學知識進行聯(lián)系等;另一方面， 擔任線性代數(shù)教學的教師常感到相比較微積分而言， 線性代數(shù)的教學更困難一些. 主要原因是， 微積分經(jīng)過幾百年的錘煉以及與其他各個學科的融合， 已經(jīng)建立了大量的直觀性例題， 而現(xiàn)行的線性代數(shù)教材的編寫缺乏與其他學科的聯(lián)系， 直觀的應用顯得不足[5-7].

實踐表明， 借助幾何語言來闡釋線性代數(shù)中的概念和性質(zhì)， 是化解線性代數(shù)抽象、難學難教的一個行之有效的方法. 令人可喜的是， 目前已有一些院校的數(shù)學專業(yè)把高等代數(shù)和解析幾何兩門課程合成了一門新的課程， 相應的教材也不斷地出現(xiàn)[8-9]. 但在許多工科課程設置中， 解析幾何只是作為微積分中的一個章節(jié)， 目的是為多元函數(shù)微積分的教學服務， 客觀上造成了線性代數(shù)與幾何內(nèi)容上的割裂. 因此， 擔任線性代數(shù)教學的教師在課堂教學中要為學生架起代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁， 注重運用幾何語言解釋線性代數(shù)的概念或命題[10]. 比如我們可以從兩平面間的位置關(guān)系的角度來加強理解矩陣秩的概念：設有平面

[π1：a1x+b1y+c1z=d1]與[π2：a2x+b2y+c2z=d2]，

且設線性方程組

[a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為[A]與[A]. 則當[RA=RA=2]時， 平面[π1]和[π2]相交于一條直線;當[RA=RA=1]時， 平面[π1]和[π2]重合;當[RA=1，RA=2]時平面[π1]和[π2]平行.

事實上， 由于[a1，b1，c1]不全為零， 所以[RA≠0]， 于是， [A]與[A]的秩僅有三種可能的情形：

情形1 若[RA=RA=2]， 則方程組（1）是有解的. 假設[γ0=x0，y0，z0]是它的一個特解. 由于方程組（1）所對應的齊次方程組

[a1x+b1y+c1z=0a2x+b2y+c2z=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

的系數(shù)矩陣[A]的秩也為2， 顯然方程組（2）有非零解， 并且基礎解系中解的個數(shù)為[3-2=1]. 不妨設[η=η1，η2，η3]為方程組（2）的一個基礎解系， 那么

[γ0+kη=x0+kη1，y0+kη2，z0+kη3] （k∈R）

便是方程組（1）的通解. 從解析幾何的角度來看， 當[k]取遍全體實數(shù)時， 點[γ0+kη=x0+kη1，y0+kη2，z0+kη3]的軌跡是過定點[γ0=x0，y0，z0]且方向向量為[η]的一條直線， 從而當[RA=RA=2]時， 平面[π1]和[π2]相交于一條直線.

情形2 若[RA=RA=1，] 則[a1，b1，c1，d1]與[a2，b2，c2，d2]分量對應比例. 因此方程組（1）的通解為[a1x+b1y+c1z=d1]， 這就是平面[π1]的方程， 從而平面[π1]和[π2]是重合的.

情形3 若[RA=1，RA=2，] 則方程組（1）無解. 從而平面[π1]和[π2]沒有公共點， 因此[π1]和[π2]平行.

再比如， 課堂教學中通過介紹矩陣特征值在研究二次曲線時的應用， 不僅能使學生體會到矩陣理論應用的廣泛性、不同數(shù)學學科之間的相互交叉和聯(lián)系、二次型理論的起源等， 同時還能培養(yǎng)學生的綜合應用能力. 設有形如

[b11x2+b22y2+2b12xy+a1=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

的二次曲線， 且設[λ1]， [λ2]是對稱矩陣

[P=b11b12b12b22]

的特征值， 則二次曲線（3）的形狀可由矩陣[P]的特征值[λ1]、[λ2]和二次曲線常數(shù)項[a1]唯一地確定.

事實上， 若引入向量

[X=xy]， [Y=x1y1]，

則（3）可寫為[XTPX+a1=0]. 由于[P=b11b12b12b22]是實對稱的， 所以存在正交矩陣[C]滿足[CTPC=λ100λ2]， 即由正交變換[X=CY]可得[YTCTPCY+a1=0]， 從而

[YTλ100λ2Y+a1=0]

即 [λ1x12+λ2y22+a1=0]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4）

由于[X=CY]是正交變換， 而正交變換不改變向量的內(nèi)積與長度， 因此（3）式與（4）式表示的形狀相同， 由此可知二次曲線[b11x2+b22y2+2b12xy+a1=0]的形狀能由[λ1]， [λ2]和[a1]的取值唯一確定. 利用這個方法容易判斷方程

[x2+y2-xy-1=0]

和

[x2+y2+4xy+2=0]

分別表示橢圓和雙曲線.

三、要在線性代數(shù)教學中滲透科學計算能力的培養(yǎng)

錢學森先生早在1989年就曾富有前瞻性地指出：“現(xiàn)在已經(jīng)可以看到電子計算機對工程技術(shù)工作的影響;今后對一個問題求解可以全部讓電子計算機去干， 不需要人去一點一點算. 而直到今天， 工科理科大學一二年級的數(shù)學課是構(gòu)筑在人自己去算這一要求上的. …所以理工科的數(shù)學課必須改革， 數(shù)學課不是為了學生學會自己去求解， 而是為了學生學會讓電子計算機去求解， 學會理解電子計算機給出的答案， 知其所以然， 這就是工科教學改革的部分內(nèi)容.”近年來， 人們在探索培養(yǎng)理工科學生科學計算能力方面取得了一些成果， 比如陳懷琛教授等人編著的教材[11-12]， 把經(jīng)典理論與現(xiàn)代計算技術(shù)手段相結(jié)合， 使一些大規(guī)模的復雜計算問題得以解決， 體現(xiàn)了MATLAB數(shù)學計算軟件在求解涉及矩陣計算問題方面的巨大優(yōu)越性.

然而， 就我們所知， 國內(nèi)大多數(shù)工科院校并沒有積極地吸納上述成果， 在線性代數(shù)課程的教學中， 科學計算與實際應用能力的培養(yǎng)方面與國外發(fā)達國家的差距與日俱增. 因此， 目前我們應該明確一個方向， 那就是“為了解決工程實際問題， 工科線性代數(shù)教學就應當向矩陣應用方向發(fā)展.” 教師組織教學內(nèi)容時應以“需求牽引”和“問題驅(qū)動”為導向， 以盡量避免“抽象”為目標， 讓學生知道線性代數(shù)課程在其后續(xù)專業(yè)中的用途， 也讓學生體會到MATLAB在行列式的計算、線性方程組的求解以及化二次型為標準形等具體的線性代數(shù)計算問題中的應用， 尤其是能夠展現(xiàn)計算軟件在解決高階問題時的便捷性， 使學生初步掌握利用線性代數(shù)知識解決實際問題的能力.

但在線性代數(shù)教學中常面臨的困難是課時少、內(nèi)容多、多數(shù)學生沒有MATLAB的基礎， 那么我們又該怎么做呢？實踐表明， 充分利用好多媒體、翻轉(zhuǎn)課堂等方法就能較好地化解這一問題. 具體來說， 在線性代數(shù)傳統(tǒng)的板書教學中， 恰當穿插使用多媒體手段， 往往能有效提高授課效率， 增加課堂信息量， 更加直觀、生動地呈現(xiàn)教學內(nèi)容;可將線性代數(shù)中的重點和難點進行分解， 錄制成一些視頻節(jié)段提供給學生， 使學生課前預習和課后復習所用， 這樣課堂上就可用較少的時間介紹教材中的基本內(nèi)容， 節(jié)省出來的時間用以展現(xiàn)線性代數(shù)的一些典型應用案例和MATLAB實踐案例， 彌補現(xiàn)行教材的不足， 促進教學模式的轉(zhuǎn)變與教學質(zhì)量的提高.

最后我們以在諸多科研和工程實際問題中均會遇到的多項式求根問題為例，? 進一步說明用MATLAB求解一些計算問題時的便捷性和有效性. MATLAB提供的函數(shù)[roots（）]可以求出多項式的所有根， 調(diào)用格式為：[x=rootsp]： 這里[p]表示多項式的系數(shù)向量， [x]返回多項式[p]的全部根. 若已知多項式的所有根， 調(diào)用函數(shù)[poly（）]可求已知根的多項式， 調(diào)用格式為：[p=polyx]： 這里[x]為包含多項式的所有根的一個向量， 經(jīng)過計算返回以[x]為根的多項式系數(shù).比如求多項式[x3-9x2+26x-24]的根， 同時再驗證有這些根的多項式. 我們僅需以下兩行語言：

[p=1-926-24];

[x=rootsp]

便可得? ?[x=]

[4.00003.00002.0000]

再要計算具有該根的多項式， 我們只需輸入下面一個命令

>> [p=polyx]

即可得解? ? [p=]

[1.0000-9.000026.0000-24.0000]

以上僅以多項式的根為例， 說明了MATLAB在線性代數(shù)計算問題中的優(yōu)越性， 事實上， 這樣的例子在線性代數(shù)中舉不勝舉， 這里不再贅述.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王正盛.中外線性代數(shù)教材的比較與探討[J]. 大學數(shù)學， 2009， 25（1）： 200-203.

[2] D.C. Lay， S.R. Lay， J.J. McDonald. Linear Algebra and its applications （Fifth? Edition） [M]. 劉深泉等，譯. 北京： 機械工業(yè)出版社， 2018.

[3] S.J. Leon. Linear Algebra with applications （Ninth Edition） [M]. 張文博等，譯.北京： 機械工業(yè)出版社， 2015.

[4] 郭文艷，趙鳳群.數(shù)學建模及Matlab軟件在矩陣運算教學中的應用[J].大學數(shù)學，2013，29（4）：87-90.

[5] 同濟大學數(shù)學系.工程數(shù)學線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[6] 郝志峰，謝國瑞，方文波，等.線性代數(shù)（修訂版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[7] 楊文霞，何朗，萬源.面向能力培養(yǎng)和計算思維訓練的線性代數(shù)混合式教學改革與實踐[J].大學數(shù)學，2018（34）：45-51.

[8] 黃廷祝，成孝予.線性代數(shù)與空間解析幾何（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018.

[9] 鄭寶東，王忠英.線性代數(shù)與空間解析幾何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[10] 韓冰，李潔，楊威，高淑萍.線性代數(shù)教學改革中的幾點探討[J].高等數(shù)學研究，2013，16（4）：72-74.

[11] 陳懷琛，高淑萍，楊威.工程線性代數(shù)（MATLAB版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[12] 陳懷琛，龔杰民.線性代數(shù)實踐及MATLAB入門（第二版）[M].北京：電子工業(yè)出版社，2009.

[責任編輯：林志恒]