核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高考數(shù)學(xué)命題創(chuàng)新探究

孔令潤?談濤　劉杰

近日，中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《深化新時代教育評價改革總體方案》，提出建立科學(xué)的、符合時代要求的教育評價制度和機制，為高考評價機制改革提供理論支撐和改革方向。高考命題在改革中不斷探索創(chuàng)新，折射出國家對于新時代全面育人目標的要求，以《中國高考評價體系》為依托，以學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，通過情境和情境活動兩類載體，實現(xiàn)“四層”考查內(nèi)容和“四翼”考查要求。拓展試題情境來源，巧設(shè)情境呈現(xiàn)方式和創(chuàng)新設(shè)問方式，已成為基于核心素養(yǎng)的高考命題改革和創(chuàng)新的基本原則。高考數(shù)學(xué)學(xué)科的情境包括三類：課程學(xué)習(xí)情境、探索創(chuàng)新情境和社會實踐情境，三種問題情境在高考中發(fā)揮不同作用。以情境創(chuàng)新試題孕育創(chuàng)新意識，對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)和備考具有現(xiàn)實指導(dǎo)意義。本文僅從四個方面對情境試題創(chuàng)新方向和策略進行探究。

一、利用時事熱點問題為背景創(chuàng)設(shè)體育情境

高考強調(diào)學(xué)以致用。“在命題時應(yīng)堅持理論聯(lián)系實際的原則，使用貼近時代、貼近社會、貼近生活的素材，選取日常生活、工業(yè)生產(chǎn)、國家發(fā)展、社會進步中的實際問題”，情境類試題在近幾年高考中出現(xiàn)頻率呈現(xiàn)逐年加大趨勢，它們從不同維度和視角將數(shù)學(xué)知識與社會熱點緊密結(jié)合，考查學(xué)生的理性思維，數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)探索能力，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向和時代特征。下面是以體育素材為情境命制的一道創(chuàng)新題。

2020年9月13日，斯諾克2020/2021賽季大幕開啟，斯諾克臺球比賽以其特有的魅力而被廣大群眾所喜愛，比賽中擊球規(guī)則可簡化為：球桌上共有15個紅球和6個彩球（黃、綠、咖啡、藍、粉、黑），參賽選手需先擊打紅球，然后再擊打彩球，之后紅球和彩球依次間隔擊打。若某次比賽中，參賽者開局連續(xù)打進10個球，則不同的擊球順序共有____種。

分析：計數(shù)原理是數(shù)學(xué)中的重要研究對象之一，排列、組合是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多實際情境中的問題提供了思想和工具。實際生活中計算某種情形可能出現(xiàn)的種數(shù)，是最常見的設(shè)問方式，有時需要添加具有一定約束的條件，而斯諾克臺球比賽中的擊球順序需滿足一定的規(guī)則要求，可作為考查計數(shù)原理知識較為合理的載體。

本題的命題素材所隱含的數(shù)學(xué)知識（計數(shù)原理）和方法（排列數(shù)計算）均直接源自學(xué)生已有的學(xué)習(xí)儲備，通過對擊球規(guī)則的簡化，提出了計算不同擊球順序的種數(shù)的問題。本題把數(shù)學(xué)核心知識的考查與體育緊密聯(lián)系起來，體現(xiàn)“高考內(nèi)容改革要貫徹五育并舉的教育方針，完善覆蓋德智體美勞全面發(fā)展要求的考試內(nèi)容體系”的指導(dǎo)思想，貫徹高考命題“鑄魂育人”的要求。試題情境新穎，問題設(shè)計難度適中，體現(xiàn)基礎(chǔ)性，在考查學(xué)生的閱讀理解能力的同時，激發(fā)他們對體育運動的興趣。

二、用跨學(xué)科知識為背景創(chuàng)設(shè)學(xué)科交叉情境

在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點設(shè)計試題，增強考核內(nèi)容的基礎(chǔ)性和綜合性。在近幾年的高考試題中可以發(fā)現(xiàn)有以化學(xué)、生物、物理、地理、醫(yī)學(xué)等知識融合為情境載體，考查數(shù)學(xué)核心知識和關(guān)鍵能力的題目。下面是以高中物理知識為情境命制的一道創(chuàng)新題。

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，閉合電路中瞬時感應(yīng)電動勢false的大小，跟穿過這一電路的磁感應(yīng)強度false與該閉合電路的面積false的乘積的瞬時變化率成正比，即false，已知false，false，false，則當(dāng)false時，_________ false。

分析：求物理量的瞬時變化率需要用到導(dǎo)數(shù)這一工具，而物理學(xué)科中的法拉第電磁感應(yīng)定律涉及磁通量的瞬時變化率的問題，磁通量與磁感應(yīng)強度和閉合電路面積有關(guān)，且高中物理對這一知識的要求一般是磁感應(yīng)強度不變或者閉合電路面積不變，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能會對這兩者都發(fā)生變化時的問題感到好奇，但又不知該如何解決。

本題選取物理學(xué)科中的法拉第電磁感應(yīng)定律為命題情境，與高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)求導(dǎo)乘法法則問題建立關(guān)聯(lián)，屬于對基本知識和運算能力的考查。與物理中求瞬時感應(yīng)電動勢不同的是，試題中的磁感應(yīng)強度false與閉合電路的面積false均隨著時間false的變化而變化。試題設(shè)計巧妙，在考查數(shù)學(xué)知識的同時，也有助于加深對物理學(xué)科中法拉第電磁感應(yīng)定律的理解，凸顯了數(shù)學(xué)的工具性特征，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，符合跨學(xué)科命題的特點。

三、用傳統(tǒng)文化及數(shù)學(xué)史等為背景創(chuàng)設(shè)文化情境

數(shù)學(xué)文化是對數(shù)學(xué)知識、技能、能力和素養(yǎng)的高度概括，無論是中國文化的源遠流長，還是世界歷史的百家爭鳴，數(shù)學(xué)都在其中留下了不可磨滅的寶貴成就。數(shù)學(xué)文化是一種理性的藝術(shù)，利用傳統(tǒng)文化及數(shù)學(xué)史等為背景創(chuàng)設(shè)文化情境類試題，可以讓學(xué)生感受先賢天馬行空的想象和精益求精的科研精神，從而勇于創(chuàng)新，不斷求索。縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)命題，數(shù)學(xué)文化類試題已經(jīng)從開始引導(dǎo)到逐步滲透，逐漸浸潤到數(shù)學(xué)的每個模塊和專題中，這也是順應(yīng)新課改和新高考對育人方式變革要求的又一舉措。

命制符合新課改導(dǎo)向的數(shù)學(xué)文化情境試題，可以采用先選取素材，再確定考查的知識點，或者先確定考查知識點再反方向?qū)ふ宜夭牡姆椒ǎ旅嬉韵冗x取素材再確定考查知識點的方法為例說明。

18世紀初普魯士的哥尼斯堡有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯(lián)系起來。當(dāng)?shù)亓鱾髦S多與七座橋有關(guān)的傳說，其中一個是這樣的：能否不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋。1736年，29歲的歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，在解答問題的同時，開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一個新的分支—圖論與幾何拓撲。同學(xué)A和B在如圖1所示的花園中模擬這個問題，他們同時從四個入口中任意兩個不同的入口出發(fā)，則他們都可以不重復(fù)、不遺漏地游覽完整個花園的五條路的概率是___________。

A.falseB.false

C.falseD.false

分析：本題的材料背景來源于《人教A版 選修3-1 數(shù)學(xué)史選講》，故事流傳性很廣。被選入小學(xué)、初中、高中課本，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的連續(xù)性和延展性。材料中歐拉從這個問題開創(chuàng)出了數(shù)學(xué)新的分支—圖論與幾何拓撲，是對現(xiàn)有問題經(jīng)過思考后的總結(jié)升華，整個過程引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生用發(fā)展的、關(guān)聯(lián)的眼光看問題。選定素材后，即可確定材料想要考查的知識點，材料中“怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋”暗含了兩個核心關(guān)鍵“能不能完成”以及“如何完成”，這其中涉及了“選擇”和“事件”，與概率知識點有很高的關(guān)聯(lián)性，故可以創(chuàng)設(shè)如下命題原型。

從圖2四個點出發(fā)可以不重復(fù)、不遺漏地走完所有線路的概率是多少？

本題在情境問題設(shè)計方面，受學(xué)生是否看過歐拉解決這個問題的方法影響，難度會有較大變動，不符合公平性原則，故設(shè)計的問題可以考慮減弱學(xué)生在判斷是否能完成上的難度，增加對概率知識的考查，即可得到上述例題。當(dāng)然，也可以通過改變設(shè)問方式適當(dāng)增加難度。

四、用貼近生活的熟悉背景創(chuàng)設(shè)實際應(yīng)用情境

給一些簡單的問題賦予應(yīng)用的情境是試題改編的一種方式，合適的問題情境可以賦予枯燥的數(shù)學(xué)知識以鮮活的生命力。在賦予一定的應(yīng)用情境的同時，還需要在數(shù)據(jù)、數(shù)量關(guān)系等方面進行再加工，使之貼近生活實際。

原題：如圖3，K是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，連接CK，并延長交邊AB于點M，求ΔCKD與ΔBKM的面積和的最小值及此時的DK長。

加載情境后的改編題：如圖3，某園林規(guī)劃部公司計劃在一塊邊長為2百米的正方形區(qū)域ABCD內(nèi)設(shè)計兩塊綠化區(qū)域和兩塊休閑區(qū)域，具體設(shè)計的方案為：在對角線BD上取一點K（不含端點），連接CK并延長交線段AB于點M，ΔCKD與ΔBKM為綠化區(qū)，其余區(qū)域均為休閑區(qū)，已知綠化區(qū)每平方百米造價為50萬元，休閑區(qū)每平方百米造價為25萬元，設(shè)DK長為x百米，綠化區(qū)和休閑區(qū)的總造價為false萬元。

（1）求函數(shù)false的解析式，并指出其定義域;

（2）當(dāng)DK長為多少時，總造價最少？最少為多少？

分析：原題是一個純數(shù)學(xué)情境的幾何問題，賦予應(yīng)用情境后改編變成有一定閱讀量、數(shù)量關(guān)系也較原題復(fù)雜的應(yīng)用題，要求學(xué)生能夠從實際應(yīng)用情境中抽象與提取數(shù)學(xué)問題，建構(gòu)與解決相應(yīng)函數(shù)模型，屬于較復(fù)雜的生活實踐情境，對學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀與理解能力、信息識別與提取能力有較高要求。改編后的試題在綜合性和應(yīng)用性層次上考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)以及對新問題的探究能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和在解決實際問題中的作用。

總之，試題情境的創(chuàng)設(shè)，既為提高試題質(zhì)量提供技術(shù)保障，也為實現(xiàn)價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基的命題理念提供方法保障。在創(chuàng)設(shè)試題情境時，多結(jié)合社會現(xiàn)實，反映數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣闊領(lǐng)域，體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)應(yīng)用的領(lǐng)域，回歸學(xué)生發(fā)展，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，回歸教育規(guī)律，回歸實際背景。情境材料所隱含的知識與方法，必須與試題的考查內(nèi)容、考查要求相一致，情境的設(shè)置和對考生解題思路的預(yù)設(shè)應(yīng)當(dāng)符合中學(xué)生實際的認知水平，使考生能夠應(yīng)用所學(xué)知識對題干內(nèi)容進行深層挖掘和分析，其作答應(yīng)該能夠體現(xiàn)分析和解決問題的思維過程，使數(shù)學(xué)的重點知識、技能方法成為考生分析、解答問題的有效工具，培養(yǎng)考生靈活運用所學(xué)知識解決各類問題的良好思維習(xí)慣，為其今后的成長和發(fā)展提供智力支持。研究情境類試題的創(chuàng)新策略，對提高數(shù)學(xué)教師創(chuàng)新型試題的命題意識和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力是有益的。

（作者單位：科大訊飛）

責(zé)任編輯：李莎

lis@zgjszz.cn