整體建模，在思維中學(xué)會思維

鮑善軍 鄭書娟

[摘 要]教學(xué)“植樹問題”時，創(chuàng)設(shè)開放問題，以核心模型“只種一端”為抓手，凸顯間隔數(shù)與棵數(shù)的一一對應(yīng)，進(jìn)而溝通各模型間內(nèi)在的變化與聯(lián)系，讓學(xué)生打破原有的思維模式，重建新的知識體系。在這個過程中，學(xué)生對原有的解題策略進(jìn)行了一次全新的擴充，整體建構(gòu)“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)模型;植樹問題;應(yīng)用意識

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0061-03

【教學(xué)內(nèi)容】人教版教材五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角：植樹問題”

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過探究、實踐等數(shù)學(xué)活動，理解并掌握植樹問題的三種情況及其植樹棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系，能正確解決植樹問題。

2.經(jīng)歷植樹過程并推廣到生活中的類似問題，掌握解決植樹問題的多種策略，滲透一一對應(yīng)、化曲為直等數(shù)學(xué)思想方法，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力。

3.經(jīng)歷探究、類比、遷移等活動過程，體驗學(xué)習(xí)成功的樂趣，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，形成學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識。

【教學(xué)實踐】

一、談話：在生活情境中理解“間隔”

師：在數(shù)學(xué)王國里，植樹可是大有學(xué)問的。這節(jié)課，我們就一起用數(shù)學(xué)的眼光來探討“植樹問題”。我們在種樹過程中，是不是這里一棵、那里一棵的隨便亂種呢？

生：不是！一般情況下，每兩棵樹之間的距離都是相等的。

師：是的，每兩棵樹之間的距離在數(shù)學(xué)上有一個專屬名詞，叫作“間隔”。接下來，我們就按這樣的方法來種樹。

【設(shè)計意圖：點題形式的開門見山，拉近數(shù)學(xué)課堂與生活現(xiàn)實的距離。在生活情境中解讀“間隔”，掃除學(xué)生的理解障礙，避免學(xué)生在下一步解決問題過程中產(chǎn)生認(rèn)知偏差。】

二、探究：在多重體悟中建構(gòu)模型

1.自主探究，解決“植樹問題”

出示：學(xué)校有一條長20米的小路，打算在小路的一邊種樹，按照每隔5米種1棵的要求，你覺得可能會種幾棵？

師：要解決“可能會種幾棵”這個問題，首先要明確哪幾個信息？

生1：長20米的小路，每隔5米種1棵。

生2：在小路的一邊。

師：是的。這里的每隔5米種1棵，就是之前我們理解的“間隔長”。請獨立思考，并把你的思考方法在本子上用算式或者線段圖的方式表示出來。（學(xué)生嘗試，教師巡視）

2.反饋交流，凸顯“只種一端”

師：在長20米的小路一邊種了幾棵樹？

生3：我種了4棵。

生4：我種了5棵。

師：現(xiàn)在出現(xiàn)了兩種方案，分別是4棵和5棵。

生5：按照每隔5米種1棵的要求，也就是說間隔長是5米，20÷5=4（棵）。

師：那按照生5的方法來種樹，請看大屏幕。

師：第1個5米種第一棵，第2個5米種第二棵，第3個5米種第三棵，第4個5米種第四棵。你們也是這樣想的嗎？

生6：我覺得起點還要種1棵，應(yīng)該是種5棵。

師：生6說應(yīng)該是種5棵，生5有什么想法嗎？

生5：問題中說“你覺得可能會種幾棵”，那生活中也有可能起點處不種的。

師：現(xiàn)實生活中，什么時候起點處是不種的？

生5：有障礙物的時候，假如起點處是教學(xué)樓，就沒法種了。

生6：起點處不能種了，這樣就只能是種4棵。

師：像這樣，起點或終點處有障礙物的，就把這種植樹情況叫作只種一端。只種一端時，間隔數(shù)和棵數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

生7：只種一端時，間隔數(shù)=棵數(shù)。

師：是的。只種一端時，1個間隔對應(yīng)著1棵樹，這樣的關(guān)系在數(shù)學(xué)上叫作一一對應(yīng)。

【設(shè)計意圖：充分利用問題資源，以“可能”引發(fā)思維，以“可能”提升思維。以核心模型“只種一端”為抓手，凸顯間隔數(shù)與棵數(shù)的一一對應(yīng)，為進(jìn)一步溝通各模型間內(nèi)在的變化與聯(lián)系做好孕伏?！?/p>

3. 類比遷移，探究“多元植樹”

師：剛才我們研究了“只種一端”的植樹情況，還可以怎樣植樹？

生8：我是種5棵的，用線段圖表示，就是在前面起點處再種上1棵。

師：這位同學(xué)把每兩棵樹之間的間隔都標(biāo)出來了，真棒！兩端都要種，應(yīng)該怎樣列算式？

生8：20÷5+1=5（棵）。

師：20除以5的商再加1，這里的商是指什么？

生8：商4表示有4個間隔，每個間隔對應(yīng)一棵樹。

師：是??！每個間隔都與1棵樹對應(yīng)，4個間隔就對應(yīng)4棵樹，為什么要加1呢？

生8：因為現(xiàn)在是兩端都要種，我們要加上起點或終點處的那1棵，所以一共種5棵。

師：兩端都種時，間隔數(shù)與棵數(shù)之間又有怎樣的關(guān)系？

生9：兩端都種，間隔數(shù)+1=棵數(shù)。

生10：如果兩端都有障礙物，是不是可以理解為“兩端不種”？

師：其他同學(xué)認(rèn)為呢？

生11：兩端不種，就是不但起點的1棵不種，終點的1棵也不種。因此，間隔數(shù)-1=棵數(shù)，列式是20÷5-1=3（棵）。

師：看來大家思維大爆發(fā)。在一條20米長的小路上，每隔5米種1棵樹，我們研究出了幾種方案？它們又有什么異同？

【設(shè)計意圖：把三種情況整合在一個開放的問題情境中，放在一起讓學(xué)生辨析，學(xué)生發(fā)散了思維，拓寬了思路，使得數(shù)學(xué)思想方法真正得以滲透，整體建構(gòu)起“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型?！?/p>

4.深入探究，在變中找關(guān)聯(lián)

師：對于“在一條長20米的小路一邊植樹”，還有不同的想法嗎？

生12：我有個疑問，題目中并沒有說明這條路是一條筆直的線段，難道這條路不可以是一個封閉圖形嗎？比如說，圍成一個圈。

師：你的思考太有價值了！現(xiàn)實中，這條路完全有可能是一個封閉圖形！比如，圓形草坪的外面有一條小路，周長是20米，這時該怎么植樹呢？

生13：20÷5=4（棵），我是通過畫圖得到的。

師：在圓形草坪周圍植樹，間隔數(shù)和棵數(shù)有什么關(guān)系？

生14：間隔數(shù)=棵數(shù)。只要把圓形草坪外的小路展開，得到一條線段，就很清楚了。

師：可以看到，起點和終點正好重合了，也就是“只種一端”。

（課件演示;師生張開雙臂模擬）

師：通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)在圓形草坪周圍植樹，棵數(shù)正好等于間隔數(shù)。那么，其他封閉圖形是不是也存在這樣的規(guī)律呢？比如，正方形、橢圓形、五邊形……

生15：所有的封閉圖形都可以像圓一樣，只要斷開后拉直，就得到一條線段。而這個斷開的點既是線段的起點，也是線段的終點。

生16：在封閉圖形中植樹，與在一條線段上只種一端的植樹相同，棵數(shù)正好等于間隔數(shù)。

師：對！“封閉圖形中的植樹問題”就相當(dāng)于“在一條線段上植樹”的“只種一端”。在這里，什么相當(dāng)于路長？

生17：周長相當(dāng)于路長。

強化板書：

（1）只種一端? 20÷5=4（棵）? 封閉圖形：圓、正方形……

（2）兩端都種? ? ? ? ? ?20÷5 +1=5（棵）

（3）兩端不種? ? ? ? ? ?20÷5-1=3（棵）

【設(shè)計意圖：在同一問題中，先通過化曲為直體會到在圓形草坪周圍植樹的間隔數(shù)和棵數(shù)的一一對應(yīng)，再拓展到正方形、橢圓形等其他封閉圖形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)封閉圖形中的植樹問題與線段上的植樹問題之間的緊密聯(lián)系，實現(xiàn)學(xué)生從對模型的感知到對模型的優(yōu)化過程?！?/p>

三、鞏固：在模型應(yīng)用中豐富理解

1.只列式不計算（略）

2.舉例拓展

師：為什么鋸木頭、架設(shè)電線桿、插彩旗等問題都可以用植樹問題的方法來解決？

（學(xué)生回答略）

師：在生活中有很多類似于植樹的問題都可以用今天學(xué)習(xí)的方法解決。老師也搜集了一些類似于植樹問題的圖片。請邊欣賞邊思考“什么相當(dāng)于‘樹，什么相當(dāng)于‘間隔”。

【設(shè)計意圖：在整體建模的基礎(chǔ)上，將植樹問題對應(yīng)的策略推廣到生活中，使學(xué)生明白“植樹問題”只是一種類型，可以把解決植樹問題的方法應(yīng)用到生活中類似于植樹問題?！?/p>

四、小結(jié)：在過程回顧中總結(jié)收獲

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲與感受？

【教學(xué)反思】

“植樹問題”雖然被編入“數(shù)學(xué)廣角”，但它依然不缺少“解決問題”的特性，即問題的復(fù)雜性和策略的模糊性。楊振寧先生說過：“過去的學(xué)習(xí)方法是人家指出路讓你去走，新的學(xué)習(xí)方法是要自己找路去走?！薄罢衣贰保谶@里無疑表現(xiàn)為學(xué)生主體在教師引導(dǎo)下對“解題策略”的構(gòu)建。筆者通過整合教材，創(chuàng)設(shè)開放性問題“學(xué)校有一條長20米的小路，打算在小路的一邊種樹，按照每隔5米種一棵的要求，你覺得可能會種幾棵？”，以核心模型“只種一端”為抓手，凸顯間隔數(shù)與棵數(shù)的一一對應(yīng)，進(jìn)而溝通各模型間的聯(lián)系，讓學(xué)生“跳出來”，打破原有的思維模式，重建新的知識體系。在這個過程中，學(xué)生對原有的解題策略進(jìn)行了一次全新的擴充，整體建構(gòu)起“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。

“智慧生成于思考過程中?！薄皵?shù)學(xué)廣角”的教學(xué)目的主要是讓學(xué)生體驗知識的形成過程和感悟數(shù)學(xué)思想方法。教學(xué)中，關(guān)注學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，通過簡單的事例，將封閉圖形中的植樹問題蘊含在“一條長20米的小路”中，在學(xué)生充分探究“一條線段上植樹”的基礎(chǔ)上提出疑問，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考：原來這條小路還可以是“一個封閉圖形”！如此，打通不同類型“植樹問題”之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生明白解決“植樹問題”還要聯(lián)系生活實際，豐富學(xué)生對“植樹問題”內(nèi)涵和外延的擴充。

鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本含義就在于：我們應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生學(xué)會思維，并能使他們想得更清晰、更深入、更全面、更合理。”“植樹問題”只是眾多數(shù)學(xué)問題中的一個點，無數(shù)個點組成小學(xué)數(shù)學(xué)知識的整體。教師只有潛心研究每一節(jié)課，通過對教材內(nèi)容的思考與整合，在教學(xué)實踐與問題解決的過程中幫助學(xué)生建構(gòu)好數(shù)學(xué)模型，交給學(xué)生解決問題的“金鑰匙”，促使學(xué)生在思維中學(xué)會思維，才能讓核心素養(yǎng)真正落地開花。

（責(zé)編 金 鈴）