智慧在指尖生成:當(dāng)折紙邂逅數(shù)學(xué)

王蕊

[摘 要]將折紙應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以讓學(xué)生的智慧在指尖生成。折紙能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使其感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣;折紙可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和提高學(xué)生解決問題的能力。

[關(guān)鍵詞]折紙;數(shù)學(xué);智慧

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）35-0018-03

折紙，是一門藝術(shù)，亦是一門學(xué)問。將一張普通的紙進(jìn)行一系列的折疊活動，實現(xiàn)靈活多樣的形狀變換，能充分展現(xiàn)折紙人的智慧。早在盛唐時期，折紙藝術(shù)就已經(jīng)在中國流行起來并傳播到世界各國。隨后的一個世紀(jì)里，阿拉伯人獨立發(fā)展了的折紙藝術(shù)，將歐洲幾何學(xué)原理運用到折紙學(xué)中，并利用折紙來研究幾何學(xué)，這就是折紙與數(shù)學(xué)結(jié)合的開始。

折紙，這項學(xué)生熟知的手工活動，既能展示直觀的形象，又能充分發(fā)揮學(xué)生的能動性，幫助學(xué)生把抽象的知識轉(zhuǎn)化為具象的動作，促進(jìn)學(xué)生思維的提升。教育家蘇霍姆林斯基有一句名言：“兒童的智慧在他的手指尖上。”折紙與數(shù)學(xué)邂逅，能碰撞出怎樣的火花？

一、折紙，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

折紙活動本身就很有趣，通過折紙活動來探索知識，感受數(shù)學(xué)的魅力，對學(xué)生來說具有很強的吸引力。

比如，莫比烏斯帶——將一根紙條扭轉(zhuǎn)180°后，兩頭再粘連起來，會形成一個單側(cè)曲面的圓環(huán)。普通紙帶具有兩個面（即雙側(cè)曲面），正面和反面;而莫比烏斯帶卻把曲面從兩個減少到只有一個（即單側(cè)曲面），一只小蟲可以不必跨過它的邊緣就能爬遍整個曲面。這神奇的性質(zhì)會讓學(xué)生感到驚奇，此時就可讓他們用一張小紙片制作莫比烏斯帶，通過折疊體會創(chuàng)造的樂趣?；蛟S學(xué)生還沒辦法弄清楚莫比烏斯帶中蘊含的道理，但他們對于幾何圖形的學(xué)習(xí)興趣卻得到激發(fā)。

波利亞曾說過：“抽象的道理很重要，但要用一切辦法使它們能看得見、摸得著?！闭奂?，就是看得見、摸得到的好辦法，它具有直觀形象的特點，恰好符合學(xué)生好動與直觀思維的天性，能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

蘇教版教材三年級上冊“平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱”單元中“軸對稱圖形”一課的教學(xué)，就可以引導(dǎo)學(xué)生從折紙入手，通過觀察、操作等活動，得出直觀的折紙模型，幫助學(xué)生感受對稱及對稱美。抽象的概念躍然“紙”上，學(xué)生更容易理解，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣更加濃厚。

二、折紙，幫助學(xué)生深入理解概念

數(shù)學(xué)折紙活動的魅力不在于其最終能得到漂亮的藝術(shù)品，而重在能詮釋數(shù)學(xué)概念或演繹數(shù)學(xué)原理。

折紙活動過程中會出現(xiàn)許多幾何概念，如直線、角、相交、垂直、平行、對稱等，有些概念在用語言文字描述時，學(xué)生難以理解，但學(xué)生卻可通過折紙活動來感知體驗。蘇教版教材四年級下冊“軸對稱圖形”就是安排學(xué)生折紙——把長方形沿著長和寬對折，折痕兩邊的部分都能夠完全重合，從而明確長方形有2條對稱軸。之后，學(xué)生又能用不同的方法將正方形紙對折，最終發(fā)現(xiàn)正方形有4條對稱軸。

蘇教版教材三年級上冊“長方形和正方形的認(rèn)識”是讓學(xué)生想辦法檢驗猜想“正方形的四條邊相等”是否正確。有的學(xué)生用“量”的方法驗證正方形四條邊相等，有的學(xué)生則想到了用折紙的辦法驗證：

折紙分兩次，第一次對折，證明下邊和左邊、右邊和上邊兩組鄰邊分別相等;第二次對折，驗證上邊與左邊兩條鄰邊相等，并且直觀地顯示四條邊完全重合。這樣巧妙的折紙方法，讓人一眼就能看出“正方形的四條邊相等”，學(xué)生在頭腦中對“正方形四條邊都相等”的性質(zhì)形成感性認(rèn)識。

蘇教版教材三年級上冊“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”是在學(xué)生認(rèn)識了二分之一的意義以后，讓學(xué)生把一張正方形的紙平均分成四份，并把其中的一份或幾份涂上顏色，用分?jǐn)?shù)表示涂色部分是這張紙的幾分之幾。學(xué)生在操作中得出了不同的折紙方法，經(jīng)歷了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程，領(lǐng)會了分?jǐn)?shù)的意義?？梢姡_放性的折紙活動能借助直觀的操作活動，加深學(xué)生對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識。

通過折紙活動，學(xué)生經(jīng)歷了觀察、操作、分析、歸納等過程，經(jīng)歷了知識的形成過程，建立了正確的數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也因此變得有趣。

三、折紙，發(fā)展學(xué)生空間觀念

空間想象能力的培養(yǎng)一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一。折紙不僅能使學(xué)生在視覺上把握圖形中各要素的空間位置關(guān)系，還能使學(xué)生用雙手感受幾何圖形，調(diào)動多種感官充分參與，全面深入地把握幾何圖形的空間關(guān)系。

不同年段的學(xué)生的認(rèn)知水平不相同，折紙活動的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)逐步提高，使思維含量逐漸增加。通過折紙，低年級學(xué)生初步認(rèn)識幾何圖形的特征，中年級學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識各種圖形的性質(zhì)，高年級學(xué)生則可以探究長方形、平行四邊形、三角形等圖形面積的計算方法。

蘇教版教材一年級下冊“認(rèn)識圖形（二）”的練習(xí)四的一道習(xí)題“你能用一張長方形紙折出一個正方形嗎？”。如圖3，這個折紙活動不但可以幫助學(xué)生感知長方形和正方形的幾何特征，還可以幫助學(xué)生認(rèn)識長方形與正方形直接的關(guān)系。

關(guān)于三角形的內(nèi)容，教材也安排了折紙活動。學(xué)生在把一個三角形紙片折疊成一個長方形的過程中（如圖4），就會發(fā)現(xiàn)三角形的三個內(nèi)角能夠拼成一個平角，從而驗證三角形的內(nèi)角和是180°，還會發(fā)現(xiàn)所折疊成的長方形的面積是原來三角形的面積的一半，等等。這些看似簡單的操作活動，不僅是學(xué)生將來進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何的基礎(chǔ)，還能夠促進(jìn)學(xué)生空間想象力的發(fā)展。

把平面的紙變成立體的“物”是比較容易實現(xiàn)的，比如學(xué)生都熱衷的“紙塔”就是可以立在桌面上的。教師不妨借助折紙來把分散在小學(xué)數(shù)學(xué)不同年級的內(nèi)容，貫穿為一個有機的整體來教學(xué)，以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解。

首先，拿一張圓形紙對折兩次，找出圓心，弧線緊貼圓心，折出三角形;然后，找到三角形一條邊的中點，把這條邊對應(yīng)的角折至該邊的中點，得到梯形;接著，把另外一個角沿著斜線折起，使頂點和對面重合，得到平行四邊形。最后把剩下的一個角也折起，把已經(jīng)折疊的兩個角打開，讓三個角在空中拼合，得到正四面體。小學(xué)數(shù)學(xué)雖然沒有四面體的內(nèi)容，但還是讓學(xué)生知道原來四個相同的面也可以構(gòu)成的一個立體圖形。這樣的折紙活動，既能增強學(xué)生的動手能力，又能發(fā)展學(xué)生的空間觀念。

四、折紙，提升學(xué)生解題能力

折紙的過程不僅會出現(xiàn)形狀的變化，也會出現(xiàn)數(shù)量的變化。比如，把一張正方形紙對折，再對折，數(shù)一數(shù)，把每次對折后平均分成的份數(shù)填在表里：

學(xué)生多折幾下，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)字呈2的倍數(shù)增長。學(xué)生結(jié)合折紙操作的過程進(jìn)行思考探究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在將來學(xué)習(xí)“冪”的時候，學(xué)生一下子就能想起來 “2的n次冪” 原來就是折紙折出來的。

蘇教版教材六年級上冊中的折紙操作主要是結(jié)合長方體和正方體的表面展開圖這一知識?！伴L方體和正方體”例3“練一練”的第2題：下面哪些圖形沿虛線折疊后能圍成正方體？先想一想，再照樣子剪一剪、折一折。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖示，想象后再動手操作驗證，如果發(fā)現(xiàn)操作和想象不一致，就結(jié)合實際操作的過程進(jìn)行思考并糾正。這樣，動手做與動腦想的相互補充，有效激發(fā)了學(xué)生的思維活動。

蘇教版教材三年級下冊“長方形和正方形的面積”中有一道思考題：青灣村有一個正方形養(yǎng)魚池，在養(yǎng)魚池的四周都栽有一棵樹，現(xiàn)在要擴大養(yǎng)魚池，擴大后的養(yǎng)魚池形狀仍然是正方形，面積是原來的兩倍，不移動這4棵樹，能做到嗎？[圖7]

學(xué)生看完題目都覺得無從下手，這時不妨讓學(xué)生通過折紙想一想：連接正方形的四條邊的中點，所得到的四邊形與之前的四邊形有什么關(guān)系？（如圖8）。

事實證明，學(xué)生通過折紙能有更多的探索和思考，從而逐步找到解決問題的好方法，獲得成功的體驗。這樣的折紙活動，能讓學(xué)生的實踐經(jīng)驗逐步轉(zhuǎn)化為思維經(jīng)驗，成為學(xué)生分析和解決問題的重要幫手。

當(dāng)折紙邂逅數(shù)學(xué)，智慧在指尖生成。教學(xué)中教師要組織學(xué)生開展豐富多彩的折紙活動，引導(dǎo)學(xué)生手腦并用，以動促思，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 姚建法.讓數(shù)學(xué)思維“看得見”：淺談蘇教版教材中的折紙活動[J].教學(xué)研究，2016（6） .

[2] 曉星.小學(xué)數(shù)學(xué)活動設(shè)計之十七[J].理論博覽，2008（9）.

[3] 林世熊.折紙中蘊含的數(shù)學(xué)思維與動手能力[J].讀寫算（教師版）：素質(zhì)教育論壇，2016（1）.

[4] 王銀芳.摭談?wù)奂堅跀?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].時代教育，2008（4）.

（責(zé)編 童 夏）