一道習(xí)題的拓廣與應(yīng)用

石峰 魏磊

解答數(shù)學(xué)問題時，要善于發(fā)現(xiàn)問題本身所隱含的規(guī)律或特征，或者經(jīng)過變式研究后，得到新的規(guī)律或特征，然后運(yùn)用這些規(guī)律或特征，幫助我們快速解決相關(guān)的問題，本文從一道課本習(xí)題出發(fā).通過反思、拓廣、應(yīng)用，讓同學(xué)們感受.數(shù)學(xué)探究的美妙過程.

例1（人教版數(shù)學(xué)教科書七年級下冊第23頁第7題第（2）小題）如圖1，如果AB//CD//EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=（ ）.

A.180°

B.270°

C.360°

D.540°

解析：因?yàn)锳B//CD，所∠BAC+∠ACD=180°，同理可得∠DCE+∠ CEF=180°.

所以∠BAC+ ∠ACE+∠CEF=（ ∠BA C+∠ACD）+（∠DCE+∠CEF） =180° +180°=360°，故選C.

【反思1】去掉圖1中的射線CD，如圖2，我們思考：若AB//EF，則∠BAC+ ∠ACE+∠ CEF=360°還會成立嗎？

圖2中沒有與兩平行線相關(guān)的三線八角模型，結(jié)合例1中問題情境，考慮在圖2中通過作輔助線構(gòu)造基本圖形解決問題.

如圖3，過點(diǎn)C作CD//AB，則∠BAC+∠ACD=180°.

因?yàn)锳B//EF，所以CD//EF，所以∠DCE+∠ CEF=180°.

所以 ∠BAC+ ∠ACE+ ∠CEF=（ ∠BAC+∠ACD ）+（ ∠DCE+ ∠CEF）=180°+180°=360°.

于是得到下面結(jié)論：

拓廣1：如圖2，若AB//EF，則∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.

這是一個非常有用的基本模型，它可以幫助我們快速而準(zhǔn)確地解決與此相關(guān)的選擇題或填空題，

例2一大門欄桿的平面示意圖如圖4所示，BA垂直地面AE于點(diǎn)A.CD平行于地面AE.若∠BCD=150°，則∠ABC=____ .

分析：根據(jù)上述模型及結(jié)論知：∠C+∠ABC+∠BAE=360°.從而150°+∠ABC+90°=360°.故∠ABC=120°.

【反思2】再觀察圖2，在直線AB與直線EF之間移動點(diǎn)C時，如下頁圖5，上述結(jié)論還會成立嗎？

過點(diǎn)C向左作CD//AB，如下頁圖6，同上可得CD//EF，可證得∠BAC=∠DCA，∠CEF= ∠DCE，故∠ACE=∠DCA+∠DCE=∠BAC+∠CEF.

于是又得到下面結(jié)論：

拓廣2：如圖5，若AB//EF，則∠ACE=∠BAC+∠CEF.

這又是一個非常有用的“M”模型，

例3 如圖7，將一副三角尺和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放：兩塊三角尺的一直角邊在同一直線上，含300角的三角尺的斜邊與紙條一邊在同一直線上，含45°角的三角尺的一個頂點(diǎn)在紙條的另一邊上.則∠1的度數(shù)是____ .

解析：圖7中，AB//CD，“B-A -E-C-D”正好構(gòu)成一個“M”模型，根據(jù)拓廣2，得∠AEC=∠1+∠ECD.

故∠1=∠AEC-∠ECD=45°-30°=15°.

例4 （2019年東營，改編）將一副三角尺（∠A =30°，∠E=45°）按如圖8所示的方式擺放，使得BA //EF、則∠BCE-∠AHF等于（ ）.

A.15°

B.30°

C.45°

D.50°

解析：由∠E=45°得∠F=45°，再由∠A=30°得∠B=60°.

因?yàn)锳B//EF，所以圖8中，“A-B-G-E-F'和“B-A -H-F-E”都分別構(gòu)成“M”模型，根據(jù)拓廣2，得∠BGE= ∠B+ ∠E，∠AHF=∠A+∠F，所以∠BGE- ∠AHF=（∠B+∠E）一（ ∠A+∠ F）=（60°+45°）-（30°+45°）=30°.故應(yīng)選B.

【反思3】再觀察圖2，當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上方或直線EF下方時，結(jié)論又會是怎樣的呢？

（1）當(dāng)點(diǎn)C在直線AB上方時，會出現(xiàn)兩種情況，如圖9、圖10.

過點(diǎn)C向左作CD //AB，因?yàn)锳B∥EF，所以CD//EF.

在圖9中，∠BAC= ∠DCA，∠CEF=∠DCE，故∠A CE= ∠DCA - ∠DCE= ∠BA C-∠CEF.在圖10中，∠CEF= ∠DCE，∠BA C=∠DCA.故∠A CE=∠DCE-∠DCA=∠CEF-∠BAC.

（2）當(dāng)點(diǎn)C在直線EF下方時，仍然會出現(xiàn)兩種情況，如圖11、圖12.

同上分析，得到圖11中有∠ACE=∠ CEF-∠BAC成立，圖12中有∠A CE=∠BA C-∠CEF成立.

上述四個模型及結(jié)論可合并歸納為：

拓廣3：已知直線l1//l2，A，B依次是L1.上兩點(diǎn)，E，F(xiàn)依次是l2上兩點(diǎn)，點(diǎn)C不在L1，l2上，也不在l1.與l2之間，則∠ACE，∠BAC和∠CEF三個角中，最大的角總等于另外兩個角的和.

運(yùn)用拓廣3同樣可以幫助我們快速而準(zhǔn)確地解決與此相關(guān)的選擇題或填空題，

例5如圖13，直線a//b，含30°角的三角尺如圖放置，∠DCB=90°.若∠1+∠B=70°，則∠2=____.

解析：直接利用上述模型有∠3=∠1+∠B=70°，故∠2=90°-∠3=20°.

要說明的是，上述四個模型中，平行線與平行線上的點(diǎn)有特定的位置關(guān)系，如果問題中的圖形結(jié)構(gòu)不滿足這里的“特定的位置關(guān)系”，就不要盲目套用模型解題.

例6如圖14，若AB//CD，則∠B，∠C，∠CEB之間的數(shù)量關(guān)系為____ ，

解析：仔細(xì)觀察，此題圖形與上述模型有區(qū)別，若直接利用上述結(jié)論，則會出錯.我們用最基本的方法解答，

如圖，過點(diǎn)E作EF//AB，則∠B=∠BEF，∠C+∠CEF=180°.

所以∠C+∠BEF+∠CEB=180°，故∠C+∠B+∠CEB=180°.

練一練

1.（2019年涼山）如圖15，若BD//EF，AE與BD交于點(diǎn)C，∠B=30°，∠A =75°，則∠E的度數(shù)為（ ）.

A.135°

B.125°

C.115°

D.105°

2.（2019年齊齊哈爾）如圖16，直線a//b，將一塊含30°角（∠BAC=30°）的三角尺按圖中方式放置，其中A和C兩點(diǎn)分別落在直線a和b上，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為（ ）.

A.20°

B.30°

C.40°

D.50°

3.（2019年寧波）已知直線m∥n.將一塊含45°角的三角尺ABC按如圖17所示的方式放置，其中斜邊BC與直線n交于點(diǎn)D.若∠1=25°.則∠2的度數(shù)為（? ）.

A.60°

B.65°

C.70°

D.75°

4.如圖18，若AB∥ CD，則∠B，∠C，∠E三者之間的數(shù)量關(guān)系為（? ）.

A.∠B+ ∠C+ ∠E=180°

B.∠B+∠C-∠E=180°

C.∠B=∠E+∠C

D.∠B一∠C=2∠E

5.如圖19，若AB//CD，則∠A，∠AEF，∠EFC，∠FCD之間的數(shù)量關(guān)系為（? ）.

A.∠A+∠EFC+∠FCD= ∠A EF+180°

B.∠A+∠EFC= ∠A EF+∠FCD

C.∠A+∠FCD= ∠AEF+∠EFC

D. ∠A +∠AEF=∠EFC+∠FCD

參考答案：1.D 2.C 3.C 4.B 5.A