基于MUSIC 的分布式極化敏感立體陣列DOA 估計(jì)*

趙立鵬，姚國(guó)國(guó)，禹永植，陳 濤

（1.哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001；2.中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院航空制導(dǎo)武器航空科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南洛陽(yáng)471009）

0 引言

共形陣列是指天線附著于載體表面且與載體貼合的陣列，可以與飛機(jī)、導(dǎo)彈以及衛(wèi)星等高速運(yùn)行的載體平臺(tái)表面相共形。由于其具有節(jié)省空間、質(zhì)量和不破壞空氣動(dòng)力學(xué)等特點(diǎn)，在電子偵察、電子干擾、航空航天及通信等領(lǐng)域引起了廣泛關(guān)注。

分布式極化敏感陣列由于其單陣元多分量的特點(diǎn)，非常適用于空間受限的共形陣列。隨著共形陣列的技術(shù)發(fā)展，分布式極化敏感陣列也得到了廣泛應(yīng)用，但目前的研究都是針對(duì)平面陣列，或是結(jié)構(gòu)比較規(guī)則的球面、柱面和錐面立體陣列。文獻(xiàn)[1]建立了錐面、柱面和球面的陣列模型，并將多重信號(hào)分類(lèi)(MUSIC)算法[2]移植到上述模型中。文獻(xiàn)[3]針對(duì)柱面陣列，實(shí)現(xiàn)了極化參數(shù)與DOA 參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。文獻(xiàn)[4]針對(duì)球面陣列提出了基于子陣分割的有向陣元MUSIC 算法。文獻(xiàn)[5]針對(duì)柱面陣列，提出一種基于數(shù)據(jù)自適應(yīng)子陣分割的快速DOA 估計(jì)算法，大幅度降低了運(yùn)算復(fù)雜度，同時(shí)提高DOA 估計(jì)精確度。若共形陣列的載體有特殊要求，以上模型不再適用，需要更靈活的天線擺放形式，同時(shí)由于每個(gè)天線的單一極化特性，多極化接收也需要通過(guò)天線的不同擺放來(lái)實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，共形陣列的擺放形式可能不再是同一平面內(nèi)擺放或規(guī)則的立體擺放，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在此方面研究較少，故本文提出了分布式極化敏感立體陣列的模型，可以實(shí)現(xiàn)陣元在三維立體空間內(nèi)任意擺放。

隨著DOA 估計(jì)技術(shù)的發(fā)展，包括MUSIC、ESPRIT 和Root-MUSIC 等DOA 估計(jì)算法移植到極化敏感平面陣列的應(yīng)用已經(jīng)比較成熟，但是ESPRIT 和Root-MUSIC 等算法只對(duì)特殊陣列有效，而MUSIC 算法對(duì)陣列有著普遍的適用性，可以移植到多種陣列中。文獻(xiàn)[6]首次將MUSIC 算法移植到極化敏感陣列，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行4 維聯(lián)合DOA 估計(jì)即可求出信號(hào)的DOA 和極化參數(shù)。在此基礎(chǔ)上，為了減小計(jì)算復(fù)雜度以及提高測(cè)角精度，諸多學(xué)者對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)，文獻(xiàn)[7]使用秩虧MUSIC 方法將角度域和極化域的四維搜索變?yōu)? 個(gè)分別唯角度域和唯極化域的二維搜索，實(shí)現(xiàn)了到達(dá)角和極化參數(shù)的四維參數(shù)估計(jì)。針對(duì)分布式極化敏感立體陣列的DOA 估計(jì)問(wèn)題，本文將極化MUSIC 算法移植到了分布式極化敏感立體陣列的模型中，同時(shí)提出了相應(yīng)的通道幅相誤差校正方法，實(shí)現(xiàn)了到達(dá)角參數(shù)和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。

1 分布式極化敏感立體陣列

以下為陣列模型的假設(shè)條件：

1）入射信號(hào)均為遠(yuǎn)場(chǎng)源信號(hào)。

2）各陣元接收噪聲為高斯白噪聲，噪聲之間以及噪聲與信號(hào)之間相互獨(dú)立。

3）各陣元為單偶極子，線極化方式接收信號(hào)。

4）各天線的波束指向一致。

1.1 陣列幾何結(jié)構(gòu)

分布式極化敏感立體陣列的幾何結(jié)構(gòu)如圖1 所示，陣列中各陣元為單偶極子，分布在三維空間內(nèi)。并且各陣元指向不同，對(duì)不同極化狀態(tài)的入射信號(hào)有不同的響應(yīng)，可以達(dá)到敏感極化信息的目的。

圖1 分布式極化敏感立體陣列幾何結(jié)構(gòu)

各天線波束指向一致，不再考慮擺放滾轉(zhuǎn)角，定義天線擺放角為(α,β)，其中α 為共形天線在XOY 平面的投影與X 軸的夾角，β 為共形天線與Z 軸的夾角，如圖2 所示。在一般的分布式極化敏感平面陣列中，β為固定值，而在立體陣列中，隨著各天線的靈活擺放β會(huì)隨之變動(dòng)。

圖2 共形天線與擺放角定義

1.2 分布式極化敏感立體陣列接收模型

假設(shè)有M 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到該陣列中，其中第m 個(gè)入射信號(hào)的到達(dá)角和極化參數(shù)分別為(θm,φm,γm,ηm)，立體極化敏感陣列的信號(hào)接收模型可以表示為：

式中，u(θm,φm)為第m 個(gè)信號(hào)的陣元空間相位矩陣。

式中，diag [·]表示對(duì)角矩陣，un(θm,φm)為第n 個(gè)陣元處，第m 個(gè)信號(hào)形成的空間延遲：

式 中，ω=2πc/λ，c 為 光 速，λ 為 信 號(hào) 波 長(zhǎng)。τn=(xnsinθmcosφm+ynsinθmsinφm+zncosθm)，為信 號(hào) 在第n 個(gè)陣元與原點(diǎn)之間的空間延遲。(xn,yn,zn)為第n個(gè)陣元相對(duì)于原點(diǎn)的坐標(biāo)。

式(2)中，B 為極化敏感矩陣，與各陣元的擺放有關(guān)。設(shè)入射信號(hào)與天線極化完全匹配時(shí)的增益為1，則天線的增益矢量為：

對(duì)于分布式極化敏感立體陣列，極化敏感矩陣B 為：

式(2)中，φ(θm,φm,γm,ηm)描述了極化域與角度域的相干結(jié)構(gòu)，如圖3 所示，與每個(gè)極化敏感陣元的位置無(wú)關(guān)。在分布式極化敏感立體陣列中可以表示為：

圖3 極化域與角度域的相干結(jié)構(gòu)

將u(θm,φm)，B 和φ(θm,φm,γm,ηm)的具體形 式 代入式(2)即可得到導(dǎo)向矢量的具體形式。

2 極化MUSIC 算法

基于以上給出的分布式極化敏感立體陣列的信號(hào)接收模型，將極化MUSIC 算法拓展到此模型中，根據(jù)導(dǎo)向矢量的形式構(gòu)造達(dá)到角和極化參數(shù)聯(lián)合譜，估計(jì)信號(hào)參數(shù)。

2.1 極化MUSIC 算法原理

假設(shè)有M 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶完全極化信號(hào)入射到由N個(gè)陣元組成的陣列中，對(duì)信號(hào)x(t)采樣K 次并構(gòu)造協(xié)方差矩陣：

對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解可得：

式中，US為信號(hào)子空間，由M 個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量[u1,u2,…,uM]構(gòu)成。UN為噪聲子空間，由N-M個(gè)小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量[uM+1,uM+2,…,uN]構(gòu)成。根據(jù)信號(hào)子空間與導(dǎo)向矢量及噪聲子空間的關(guān)系有：

因此，導(dǎo)向矢量和噪聲子空間存在正交的關(guān)系，根據(jù)此關(guān)系，構(gòu)造譜密度函數(shù)：

在4 個(gè)參數(shù)(θ,φ,γ,η)張成的四維空間中，通過(guò)譜峰搜索獲得譜峰位置坐標(biāo)值，即可得到信號(hào)的到達(dá)角和極化參數(shù)估計(jì)值。

2.2 到達(dá)角和極化參數(shù)估計(jì)

由以上得到的譜密度函數(shù)，需要進(jìn)行四維搜索譜峰值才可以得到四維參數(shù)的估計(jì)值，運(yùn)算復(fù)雜度比較高，運(yùn)算量非常大。下面介紹一種結(jié)合秩虧原理的極化MUSIC 方法，將四維空間搜索化簡(jiǎn)為唯角度域和唯極化域的2 個(gè)二維空間搜索。

根據(jù)導(dǎo)向矢量和噪聲子空間的正交關(guān)系，有：

而aθ,φ,γ,η可以改寫(xiě)為：

進(jìn)一步，式(13)可以改寫(xiě)為：

由于hγ,η為滿秩 矩陣，若式(15)成立，則Hθ,φ必為虧秩矩陣，也就是當(dāng)即滿足M組真實(shí)入射信號(hào)的到達(dá)角參數(shù)時(shí)，上式成立。由此，到達(dá)角參數(shù)的譜函數(shù)搜索可以表示為：

經(jīng)過(guò)2 次二維搜索后得到M 組到達(dá)角估計(jì)值和M組極化參數(shù)估計(jì)值。

當(dāng)多個(gè)信號(hào)入射時(shí)，需要對(duì)到達(dá)角參數(shù)和極化參數(shù)進(jìn)行配對(duì)。根據(jù)正確配對(duì)的參數(shù)譜密度值必定會(huì)大于其他配對(duì)錯(cuò)誤時(shí)參數(shù)譜密度值的原理，以2 信號(hào)入射為例，即：

使用秩虧極化MUSIC 方法得到入射信號(hào)的到達(dá)角和極化參數(shù)估計(jì)值后再使用此判斷法對(duì)譜密度大小進(jìn)行判斷，即可得到入射信號(hào)的正確配對(duì)參數(shù)。

2.3 通道幅相誤差校正

在極化敏感立體陣列中，由于極化參數(shù)以及陣元三維擺放的影響，針對(duì)傳統(tǒng)標(biāo)量平面陣列的幅相誤差校正方法不再適用，下面給出基于分布式極化敏感立體陣列的通道幅相誤差校正方法。

基于圖1 所示的八陣元分布式極化敏感立體陣列，當(dāng)陣列存在幅相誤差時(shí)，陣列接收到的信號(hào)形式與式(1)不同，可以表示為：

式 中 ， W =diag[ g1exp(jφ1),…,gnexp(jφn),…,gNexp(jφN)]為通道幅相誤差矩陣，gn和φn分別表示第n 個(gè)通道的幅度增益和相位誤差。

1）消除固有影響

①極化參數(shù)影響。分布式極化敏感陣列中，與傳統(tǒng)標(biāo)量陣列不同的是，極化參數(shù)的加入會(huì)對(duì)各通道的幅相帶來(lái)一定影響，由分布式極化敏感立體陣列的模型可以得出極化參數(shù)的影響P 可以表示為：

②縱軸空間延遲影響。除極化參數(shù)的影響外，立體陣列由于陣元在三維空間內(nèi)擺放，與平面陣列相比，各陣元接收信號(hào)在縱軸方向的不同空間延遲也會(huì)對(duì)各通道幅相造成影響。

為消除這兩部分影響，使用靜態(tài)校正的方法，用已知極化和入射角度的輔助源，假設(shè)極化與角度已知且到達(dá)角為(θ,φ)=(0°,0°)，極化方式為圓極化的輔助源，將參數(shù)代入式(2)可得此時(shí)導(dǎo)向矢量為：

式中，Z 為0°信號(hào)入射立體陣列時(shí)縱軸方向達(dá)到角參數(shù)的影響，P 即為極化參數(shù)帶來(lái)的影響，這兩部分總影響I=Z.*P，“.*”代表矩陣對(duì)應(yīng)元素相乘，計(jì)算消除兩部分總影響后接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

2）幅相不一致補(bǔ)償

消除固有影響后，再對(duì)通道的幅相不一致進(jìn)行補(bǔ)償。

以第1 個(gè)通道為參考，W 可以變換為：

式 中 ，W′=diag [1,g2/g1exp(j(φ2-φ1)),…,gN/g1exp(j(φN-φ1))]為以第1 通道為參考的幅相誤差矩陣。由式(23)可得存在幅相誤差的陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以表示為：

式中，R 是消除固有影響且不存在通道幅相誤差時(shí)的陣列接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣。理想條件下，在只有一個(gè)0°入射信號(hào)時(shí)，R 中的元素滿足(i,j=1,2,…,N )，xi為不存在幅相誤差時(shí)第i 個(gè)通道接收的數(shù)據(jù)，可以得到：

通道幅相誤差校正方法總結(jié)如下：

1）使用一個(gè)到達(dá)角參數(shù)為(0°,0°)，極化方式為圓極化的輔助源，根據(jù)式(22)計(jì)算陣列接收數(shù)據(jù)消去固有影響的協(xié)方差矩陣

3）根據(jù)式(27)校正公式對(duì)導(dǎo)向矢量矩陣進(jìn)行校正，得到校正后的導(dǎo)向矢量矩陣再進(jìn)行入射信號(hào)的參數(shù)估計(jì)。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

采用模型為圖1 所示的八陣元分布式極化敏感立體陣列，每個(gè)陣元的位置坐標(biāo)(x,y,z)分別為（0.1，-0.05，-0.01），（0.15，0.03，-0.03）（0.1，0.08，-0.04），（0，0.1，-0.05），（-0.1，0.08，-0.04），（-0.15，0.03，-0.03），（-0.1，-0.04，-0.01），（0，-0.1，0），坐標(biāo)單位為m。第n 個(gè)陣元的擺放角為αn=360°n/8，βn=90°n/8?；诖岁嚵羞M(jìn)行以下計(jì)算機(jī)仿真。

3.1 通道幅相誤差校正

假設(shè)單信源入射到陣列中，信號(hào)到達(dá)角和極化參數(shù)為(θ,φ,γ,η)=(30°,40°,20°,35°)，快拍數(shù)為100，信噪比為15 dB，頻率為4 GHz，使用極化MUSIC 算法仿真得到幅相誤差校正前后的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如圖4—7所示。

假設(shè)單信源入射到該陣列，信源到達(dá)角參數(shù)在±60°內(nèi)隨機(jī)給出，極化參數(shù)為(γ,η)=(45°,20°)，入射信號(hào)信噪比分別為0 dB、4 dB、8 dB、12 dB、16 dB、20 dB 時(shí)，快拍數(shù)為100，搜索步進(jìn)為0.2°。在校正前后使用極化MUSIC 算法各做100 次Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)，得到不同信噪比下的單信源均方根誤差如圖8 所示。

估計(jì)均方根誤差(RMSE)定義為：

圖4 校正前DOA 估計(jì)結(jié)果

圖5 校正后DOA 估計(jì)結(jié)果

圖6 校正前極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖7 校正后極化參數(shù)估計(jì)結(jié)果

式中，N 為Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)中測(cè)向結(jié)果正確的次數(shù)，θ和φ 的估計(jì)值與真實(shí)值的差值均在2°以?xún)?nèi)視為測(cè)向正確。分別為俯仰角和方位角的估計(jì)值，θ 和φ 為俯仰角和方位角的真實(shí)值。

圖8 幅相誤差校正前后均方根誤差

由圖4—7 可以看出，幅相誤差校正后譜峰明顯尖銳許多，DOA 估計(jì)結(jié)果更加準(zhǔn)確，證明了通道幅相誤差校正方法的正確性。且由圖8 可以看出，經(jīng)過(guò)通道幅相誤差校正后的測(cè)角精度得到明顯提高。

3.2 測(cè)角性能比較

假設(shè)單信源入射到該陣列，信源到達(dá)角參數(shù)在±60°內(nèi)隨機(jī)給出，極化參數(shù)為(γ,η)=(45°,20°)，入射信號(hào)信噪比分別為0 dB、4 dB、8 dB、12 dB、16 dB、20 dB 時(shí)，快拍數(shù)為100，搜索步進(jìn)為0.2°。使用極化MUSIC 算法以及傳統(tǒng)MUSIC 算法各做100 次Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)，得到不同信噪比下的單信源均方根誤差如圖9 所示。

圖9 均方根誤差隨信噪比變化情況

由圖9 可以看出，極化MUSIC 算法的測(cè)角性能要優(yōu)于普通標(biāo)量陣列下的MUSIC 算法，尤其在低信噪比的情況下，且隨著信噪比增大，均方根誤差逐漸減小，DOA 的估計(jì)性能也越好。

3.3 分辨力比較

假設(shè)有2 個(gè)信源同時(shí)入射到該陣列，信源a 的到達(dá)角和極化參數(shù)為(θ,φ,γ,η)=(θ1,φ1,45°,20°)，信源b 的 參 數(shù) 為(θ,φ,γ,η)=(θ1+Δ,φ1+Δ,20°,30°)，(θ1,φ1) 在 ±60° 內(nèi) 隨 機(jī) 給 出 ，Δ 分 別 取±1°、±1.5°、±2°即比較對(duì)極化參數(shù)不同但到達(dá)角只相差Δ 情況下的2 信號(hào)分辨情況。入射信號(hào)信噪比為5～20 dB，頻率為4 GHz，快拍數(shù)為100。θ 和φ 的估計(jì)值與真實(shí)值的差值均在2°以?xún)?nèi)視為測(cè)角成功。使用極化MUSIC 算法和傳統(tǒng)MUSIC 算法各進(jìn)行1 000次Monte-Carlo 實(shí)驗(yàn)，得到不同信噪比下測(cè)角成功率如圖10 所示。

圖10 不同信噪比下2 信源測(cè)角成功率

由圖10 可以看出，極化MUSIC 算法可以在2 信源角度間隔1°及信噪比15 dB 以上時(shí)達(dá)到99%測(cè)角成功率，分辨力遠(yuǎn)優(yōu)于普通標(biāo)量陣列下的MUSIC算法。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種分布式極化敏感立體陣列。首先給出了該陣列的幾何結(jié)構(gòu)并建立了接收信號(hào)的數(shù)學(xué)模型，之后將適用于極化敏感平面陣列的秩虧極化MUSIC 算法移植到立體陣列中，并采用靜態(tài)校正的方法對(duì)通道幅相誤差進(jìn)行校正，即先消除固有影響后補(bǔ)償通道幅相不一致，實(shí)現(xiàn)了到達(dá)角和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì)。相較于平面陣列和錐面、球面、柱面立體陣列，本文提出的陣列模型擺放形式更加靈活，可以更方便地應(yīng)用于共形陣列?！?/p>