以全等三角形的知識(shí)為出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探索幾何入門(mén)之路

劉美娣

【內(nèi)容摘要】初中數(shù)學(xué)中，根據(jù)題目條件和圖形，運(yùn)用熟悉的三角形全等判定定理，靈活利用不同方法尋找相應(yīng)三角形全等的條件，從而根據(jù)條件運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的原理可以應(yīng)用它們綜合解決相關(guān)問(wèn)題。因此，數(shù)學(xué)教師要加強(qiáng)對(duì)全等三角形判定的重視，從而更好地促進(jìn)學(xué)生幾何水平的提高。

【關(guān)鍵詞】學(xué)情 條件 圖形 定理 證明 應(yīng)用

全等三角形的證明對(duì)于那些剛接觸幾何證明知識(shí)且基礎(chǔ)比較差的初中生來(lái)說(shuō)，確實(shí)是一件非常困難的事情。因此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該根據(jù)不同學(xué)生不同的數(shù)學(xué)水平，制定科學(xué)合理的教學(xué)計(jì)劃，由淺入深牽引學(xué)生積極探索幾何的入門(mén)之路。

一、了解學(xué)情——引導(dǎo)學(xué)生明白幾何證明知識(shí)的障礙有哪些

1.學(xué)生對(duì)概念、定理不熟練或者就算能滾瓜爛熟背得出來(lái)但不會(huì)靈活去利用。

2.學(xué)生對(duì)已知條件不會(huì)展開(kāi)聯(lián)想，不會(huì)利用己知條件索求結(jié)論，不夠耐心嘗試探尋結(jié)論。

3.證明過(guò)程表達(dá)格式由原來(lái)的數(shù)字語(yǔ)言轉(zhuǎn)變成幾何語(yǔ)言。對(duì)于書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程更是無(wú)從下手，老師分析引導(dǎo)時(shí)還說(shuō)得出來(lái)，但獨(dú)立書(shū)寫(xiě)時(shí)就無(wú)能為力了，動(dòng)筆書(shū)寫(xiě)過(guò)程時(shí)就懵了，無(wú)處下筆，不知哪步先寫(xiě)、哪步后寫(xiě)、怎么寫(xiě)。

二、化腐朽為神奇——引導(dǎo)學(xué)生掌握幾何證明的基本招數(shù)

1.不遺余力讓學(xué)生熟知概念、定理、公理

要充分掌握幾何證明的本領(lǐng)，學(xué)生需要對(duì)幾何概念及定理、公理爛熟于心。學(xué)習(xí)過(guò)程中，概念、定理、公理應(yīng)該熟練掌握。老師可以通過(guò)課前布置任務(wù)、學(xué)習(xí)小組互相競(jìng)賽、課堂檢測(cè)等方法檢查學(xué)生的掌握情況;還可以配合圖形對(duì)概念、定理、公理用淺顯的文字進(jìn)行解讀。例如，什么叫內(nèi)錯(cuò)角？?jī)?nèi)，就是夾在兩直線里面的角;錯(cuò)，就是兩個(gè)角錯(cuò)開(kāi)來(lái)的（即不是同側(cè)的角）。對(duì)于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣去理解內(nèi)錯(cuò)角的定義、判斷是否內(nèi)錯(cuò)角就容易多了。又例如，什么叫同旁?xún)?nèi)角？有了前面內(nèi)錯(cuò)角的理解，理解同旁?xún)?nèi)角就容易多了。同旁，就是同側(cè)（即同左或同右的角）;內(nèi)角，就是夾在兩條直線里面的角;再通過(guò)圖形畫(huà)一畫(huà)角，學(xué)生就掌握了，比記那些抽象的概念效果更好。另外，在三角形全等條件的判定過(guò)程中，需要充分利用圖形的輔助功能，否則學(xué)生運(yùn)用這個(gè)定理去證明時(shí)容易混淆，到底哪個(gè)是夾角最易錯(cuò)。當(dāng)學(xué)生熟練理解了概念、定理、公理等工具后，我們老師才能夠順利開(kāi)展幾何證明的教學(xué)工作。

2.耐心細(xì)致引導(dǎo)學(xué)生理解題目中的已知條件和求證部分

學(xué)生反復(fù)讀完一道題后，要明確題目中給出了哪些條件？這些條件可以引出什么樣的結(jié)論？引出的結(jié)論中哪些是對(duì)本題有用的？哪些是沒(méi)用的？如下題：

如圖1所示，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD.求證：AC=DF.

（1） 根據(jù)條件分析可以得出如下結(jié)論：

根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的判定定理，可以作出以下推斷：

由FB=CE可推出BC=EF（FB+FC=CE+FC）;

由AB∥ED可推出∠B=∠E;

由AC∥FD可推出∠ACB=∠EFD，

再根據(jù)三角形兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的全等判定條件，得出兩個(gè)三角形全等。

（2） 結(jié)論與條件之間的關(guān)系的思路：要證明兩條邊相等，那么結(jié)合圖形我們可以看出，只要證出△ABC和△DEF這兩個(gè)三角形全等即可;在全等三角形判定過(guò)程中，可以使用的判定定理有AAS、ASA、SAS、SSS、HL，通過(guò)充分分析題中所給的條件，看還缺少什么條件需要證明。這樣思考下去，我們就找到了解題的思路，然后把過(guò)程寫(xiě)出來(lái)就可以了。

3.反反復(fù)復(fù)引導(dǎo)學(xué)生掌握規(guī)范書(shū)寫(xiě)解題的步驟

幾何題的證明過(guò)程，其實(shí)就是把大腦中的思路再現(xiàn)到紙上的過(guò)程。讓學(xué)生熟練書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程的解題步驟，相當(dāng)于建樓房做好框架結(jié)構(gòu)，只要熟練了步驟，學(xué)生才不會(huì)覺(jué)得無(wú)從下筆。步驟如下：

（1）準(zhǔn)備條件：弄清楚三角形全等的條件，并把這些條件一一列舉出來(lái)，用畫(huà)圖的方式表示出來(lái)。

（2）證明兩個(gè)三角形全等的書(shū)寫(xiě)四步驟：

① 間接條件的要先證明出來(lái)

② 寫(xiě)明要證明哪兩個(gè)三角形全等;

③ 最后用大括號(hào)羅列出三角形全等的條件;

④ 寫(xiě)出全等的結(jié)論。

如下題：

如圖2所示，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E，求證：BC=DC.

證明：

∵∠BCE=∠DCA

∴∠BCE+∠ECA=∠DCA+∠ECA

即∠BCA=∠DCE

在△ABC和△DCE中

∠A=∠E ? ? （已知）

∠BCA=∠DCE ?（已證）

EC=AC ? ? ?（已知）∴△ABC≌△EDC （AAS）

∴ BC=DC

三、知識(shí)延伸——引導(dǎo)學(xué)生對(duì)求證部分進(jìn)行拆分，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化

對(duì)求證部分進(jìn)行拆分，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化即將原題的一個(gè)問(wèn)題拆成幾個(gè)問(wèn)題來(lái)讓學(xué)生完成，這樣學(xué)生在完成解題就容易多了。

如圖3：已知點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C。 求證：AB=DC.

這道題可將“求證：AB=DC”這個(gè)問(wèn)題拆成其它兩個(gè)問(wèn)題來(lái)分步解決：

①求證 △ABF≌△DCE;②求證AB=CD

通過(guò)引導(dǎo)的方式，使學(xué)生能夠知道全等三角形在幾何證明題中的重要作用，從而用更好的方式對(duì)全等三角形的運(yùn)用融會(huì)貫通。

又如圖4：已知AD、BC相交于點(diǎn)O，OA=OD，OB=OC。

求證： AB//DC

這道題可就將“求證： AB//DC” 這個(gè)問(wèn)題拆成其它三個(gè)問(wèn)題來(lái)分步解決：

①求證△ABO≌△DCO ②求證∠B=∠C或∠A=∠D ③AB//DC

證明兩條直線平行的方法有很多，從圖中觀察發(fā)現(xiàn)，只出現(xiàn)了內(nèi)錯(cuò)角∠B與∠C及∠A與∠D，所以要證明AB//DC，只要證明出∠B=∠C或∠A=∠D，因此學(xué)生們可以知道，證明兩角相等的方法也可以用證明全等三角形的方式。

這樣一來(lái)，再加上平時(shí)練習(xí)多訓(xùn)練，學(xué)生在書(shū)寫(xiě)證明題時(shí)難度降低了，準(zhǔn)確率也提高了。

以證明兩個(gè)三角形全等為基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，再牽引出相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，用來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種教學(xué)方法的優(yōu)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生迅速提高讀題審題的能力，能夠使學(xué)生從更多的角度去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而使學(xué)生掌握幾何證明題的解題技巧，使學(xué)生的解題能力進(jìn)一步提高。

【參考文獻(xiàn)】

[1]沈小軍.例析幾何證明中邏輯推理典型錯(cuò)誤——以“全等三角形”為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019， 401（5）：11-12.

[2]曾澤群，林江文.伸頭伸腳“話”變式，添頭添腳“悟”證法——以“全等三角形判定定理的應(yīng)用”的教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（初中版）下半月，2016（4）：36-37.

（作者單位：廣東省韶關(guān)市翁源縣鐵龍學(xué)校）